數(shù)據(jù)的分析重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（解析版）

2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)提升精講精練《人教版》

專題18數(shù)據(jù)的分析重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

國(guó)【題型目錄】

題型一求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)或加權(quán)平均數(shù)

題型二利用平均數(shù)做決策

題型三求中位數(shù)并用中位數(shù)做決策

題型四求眾數(shù)并用眾數(shù)做決策

題型五求方差并用方差做決策

題型六極差、標(biāo)準(zhǔn)差的相關(guān)問(wèn)題

題型七數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)大題專訓(xùn)

題型八數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度大題專訓(xùn)

,31經(jīng)典例題一求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)或加權(quán)平均數(shù)】

【解題技巧】

平均數(shù)，統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ)，是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組

數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)。

加權(quán)平均值即將各數(shù)值乘以相應(yīng)的權(quán)數(shù)，然后加總求和得到總體值，再除以總的單位數(shù)。加權(quán)平均值

的大小不僅取決于總體中各單位的數(shù)值（變量值）的大小，而且取決于各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)（頻數(shù)），由于

各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)對(duì)其在平均數(shù)中的影響起著權(quán)衡輕重的作用，因此叫做權(quán)數(shù)。

【例1】（2023春?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）在風(fēng)凰山教育共同體數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)中，為展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，〃老師

組織了一個(gè)數(shù)學(xué)沉浸式互動(dòng)游戲：隨機(jī)請(qǐng)4B,C,D,￡五位同學(xué)依次圍成一個(gè)圓圈，每個(gè)人心里先想好

一個(gè)實(shí)數(shù)，并把這個(gè)數(shù)悄悄的告訴相鄰的兩個(gè)人，然后每個(gè)人把與自己相鄰的兩個(gè)人告訴自己的數(shù)的平均

數(shù)報(bào)出來(lái).若/,B,C,D,E五位同學(xué)報(bào)出來(lái)的數(shù)恰好分別是1,2,3,4,5,則。同學(xué)心里想的那個(gè)數(shù)

是（）

1

A.—3B.-4C.5D.9

【答案】D

【分析】設(shè)報(bào)D的人心里想的數(shù)是x,則再分別表示報(bào)4,C,E,8的人心里想的數(shù)，最后通過(guò)平均數(shù)列出

方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)。同學(xué)心里想的那個(gè)數(shù)是x,報(bào)/的人心里想的數(shù)是10-x,報(bào)C的人心里想的數(shù)是x-6,

報(bào)E的人心里想的數(shù)是14-x,報(bào)B的人心里想的數(shù)是x-12,

所以有x-12+x=2x3,

解得:x=9.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有平均數(shù)的相關(guān)計(jì)算及方程思想的運(yùn)用，把題中的等量關(guān)系全部展示出來(lái)，再

結(jié)合題意進(jìn)行整合，問(wèn)題即可解決.

■【變式訓(xùn)I練】

【變式1］（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）本學(xué)期，學(xué)校對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)從平時(shí)作業(yè)、期中考試、期末考試

三個(gè)方面評(píng)分，各項(xiàng)成績(jī)均按百分制計(jì)，然后再按扇形圖中的占比，計(jì)算學(xué)生的綜合成績(jī)（百分制）.李

明同學(xué)的各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦?，則他本學(xué)期的綜合成績(jī)是（）

平時(shí)作業(yè)期中考試期末考試

李明

908588

D.87.8

【答案】A

【分析】先從統(tǒng)計(jì)圖得到數(shù)據(jù)，再利用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法求解.

【詳解】解：根據(jù)題意李明本學(xué)期的綜合成績(jī)是：90><20%+85x30%+88x50%=87.5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的求法和從不同的統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息的能力，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均

數(shù)的求法，知道扇形統(tǒng)計(jì)圖能反映各部分所占的百分比.

【變式2］（2023春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┘?、乙、丙三種糖果的售價(jià)分別為每千克6元、每千克7

元、每千克8元，若將甲種糖果6千克，乙種糖果10千克，丙種糖果4千克混合在一起，則混合后的糖果

的售價(jià)應(yīng)定為每千克元.

【答案】6.9

【分析】先根據(jù)甲種糖果6千克，乙種糖果10千克，丙種糖果4千克求出混合后的糖果甲、乙、丙比，再

用各自所占比乘各自的售貨單價(jià)相加即可.

【詳解】解：若將甲種糖果6千克，乙種糖果10千克，丙種糖果4千克混合在一起，

則混合后的糖果甲、乙、丙比為3:5:2,

352

??.混合后的糖果的售價(jià)每千克應(yīng)定為正x6+而x7+歷x8=6.9（元），

故答案為：6.9.

【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，讀懂題意，熟練運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考一模）某公司要招聘一名職員，根據(jù)實(shí)際需要，從學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)

度四個(gè)方面對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤?

應(yīng)聘者

項(xiàng)目

甲乙丙

學(xué)歷988

經(jīng)驗(yàn)869

能力788

態(tài)度575

（1）若將學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度四項(xiàng)得分按的比例確定每人的最終得分，并以此為依據(jù)確定錄用者,

則誰(shuí)將被錄用？

（2）如果這家公司較看重員工的學(xué)歷和態(tài)度，且學(xué)歷與態(tài)度的得分比例相同，經(jīng)驗(yàn)與能力的得分比例相同，

請(qǐng)你幫該公司設(shè)計(jì)一個(gè)四項(xiàng)得分的比例，并以此為依據(jù)確定錄用者，則誰(shuí)將被錄用？

【答案】（1）錄用丙

（2）學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度四項(xiàng)得分按4：1：1：4的比例確定，錄用乙

【分析】（1）運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算，擇優(yōu)錄用.

（2）先根據(jù)題意，確定比值，后運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算，擇優(yōu)錄用.

【詳解】（1）根據(jù)題意，得膈=9x1+8：1+5x1=725,

中1+1+1+1

_8xl+6xl+8xl+7xl

x=--------------------------=7.25,

乙71+1+1+1

_9xl+8xl+8xl+5xl一

寸一百而一”

丙的平均分最高，

故錄用丙.

（2）學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度四項(xiàng)得分按4：1：1：4的比例確定,

9x4+8xl+7xl+5x4…

根據(jù)題意，得工甲=---------------------------=7.1,

4+1+1+4

8x4+6x1+8x14-7x4…

--------------------------=7.4,

4+1+1+4

8x4+9x1+8x14-5x4f

次丙---------------------------=6.9,

4+1+1+4

乙的平均分最高,

故錄用乙.

【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算與運(yùn)用，熟練掌握平均數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題二利用平均數(shù)做決策】

【例2】（九年級(jí)單元測(cè)試）某校九（1）班和九（2）班各有5人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的初賽，成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?

（1）班：80,45,89,40,98；（2）班：78,90,60,75,69.從能夠獲獎(jiǎng)的角度來(lái)看，你認(rèn)為應(yīng)派（）參加

復(fù)賽.

A.⑴班B.（2）班C.都可以D.不能確定

【答案】A

【分析】重新由大到小排列兩個(gè)班學(xué)生的成績(jī)，分別比較兩個(gè)班中高分同學(xué)的高分成績(jī)及平均成績(jī)，從而

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：觀察兩個(gè)班的學(xué)生成績(jī)情況，重新由大到小排列分別是：

⑴班：98,89,80,45,40,

（2）班：90,78,75,69,60,

第一名成績(jī)比較：98>90；

前兩名平均成績(jī)比較：1（98+89）=93.5>1（90+78）=84:

前三名平均成績(jī)比較：|（98+89+80）=89>1（90+78+75）=81；

綜上，故從能夠獲獎(jiǎng)的角度來(lái)看，應(yīng)派（1）班參加復(fù)賽，

故選擇A.

【點(diǎn)睛】從能夠獲獎(jiǎng)的角度來(lái)看，高分越多的班級(jí)，其越能夠獲獎(jiǎng).

W【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的選手平均分?jǐn)?shù)是75分，其中參賽男選手比女選

手人數(shù)多80%,而女選手的平均分比男選手的平均分高20%,那么女選手的平均分是（）

A.81B.82C.83D.84

【答案】D

【分析】根據(jù)已知得出男生數(shù)：女生數(shù)=180：100=9：5,男生平均分：女生平均分=100：120,進(jìn)而得出全

班平均分是男生平均分的即可得出答案.

14

【詳解】由題意可得：男生數(shù)：女生數(shù)=180：100=9：5,

男生平均分：女生平均分=100：120,

209」

iooxi4-i4'

即全班平均分比男生平均分高1,

14

所以全班平均分是男生平均分的登，

14

即男生平均分為爭(zhēng)7514=70分，

女生平均分為：70x1.2=84分，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了百分比的應(yīng)用，能根據(jù)題意，列出關(guān)系式得出全班平均分是男生平均分的?是解題的

關(guān)鍵.

【變式2］（2022?廣西?中考真題）為落實(shí)立德樹(shù)人，發(fā)展素質(zhì)教育，加強(qiáng)美育，需要招聘兩位藝術(shù)老師，

從學(xué)歷、筆試、上課和現(xiàn)場(chǎng)答辯四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行測(cè)試，以最終得分擇優(yōu)錄取，甲、乙、丙三位應(yīng)聘者的測(cè)試

成績(jī)（10分制）如表所示，如果四項(xiàng)得分按照“1：1：1：1”比例確定每人的最終得分，丙得分最高，甲與

乙得分相同，分不出誰(shuí)將被淘汰；鑒于教師行業(yè)應(yīng)在“上課”項(xiàng)目上權(quán)重大一些（其他項(xiàng)目比例相同），為此

設(shè)計(jì)了新的計(jì)分比例，你認(rèn)為三位應(yīng)聘者中（填：甲、乙或丙）將被淘汰.

成績(jī)應(yīng)聘者甲乙丙

學(xué)歷989

筆試879

上課788

現(xiàn)場(chǎng)答辯898

【答案】甲

【分析】設(shè)新的計(jì)分比例為1：1：X：1（X>1），再分別計(jì)算出三人的總分進(jìn)行比較即可得到結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)新的計(jì)分比例為1:1:X:1G>1），則:

11x14

甲的得分為:9x--------+8x--------+7x--------+8x--------=7+——<8（分）；

1+1+x+1l+1+x+1l+1+x+1l+1+x+13+x

11y1

乙的得分為:8x--------+7x--------+8x--------+9x--------=8（分）；

l+1+x+ll+1+x+l1+1+%+1l+1+x+l

9x—1—+9x---+8x--—+8x---=8+^->8（分）；

丙的得分為:

l+1+x+1l+1+x+l1+1+x+11+1+x+13+x

所以，甲將被淘汰,

故答案為：甲.

【點(diǎn)睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義.

【變式3］（2023春?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）某公司要招聘一名職員，根據(jù)實(shí)際需要，從學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力

和態(tài)度四個(gè)方面對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤?

應(yīng)聘者

項(xiàng)目

甲乙丙

學(xué)歷988

經(jīng)驗(yàn)869

能力788

態(tài)度575

（1）如果將學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度四項(xiàng)得分按的比例確定每人的最終得分，并以此為依據(jù)確定錄用

者，那么誰(shuí)將被錄用？

（2）如果你是這家公司的招聘者，請(qǐng)按你認(rèn)為的各項(xiàng)“重要程度”設(shè)計(jì)四項(xiàng)得分的比例，以此為依據(jù)確定錄用

者，并說(shuō)一說(shuō)你這樣設(shè)計(jì)比例的理由.

【答案】（1）丙將被錄用

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）計(jì)算算術(shù)平均數(shù)即可;

（2）計(jì)算加權(quán)平均數(shù)即可.

【詳解】（1）解：依題意,

9+8+7+5…

甲的平均分為------------=7.25,

4

8+6+8+7…

乙的平均分為------------=7.25,

4

8+9+8+5r「

丙的平均分為------------=7.5,

4

則丙的平均分最高，因此丙被錄用.

（2）解：如果將學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度四項(xiàng)得分按323:2的比例確定每人的最終得分,

9x3+8x24-7x3+5x2_.

則甲的得分為------------------------------=7.4,

10

8x3+6x2+8x34-7x2_.

乙的得分為------------------------------=7.4，

10

8x3+9x24-8x3+5x2_.

比丙的得分為------------------------------=7.6,

10

丙的得分最高，因此丙被錄用.

理由：因?yàn)閿?shù)據(jù)中的“權(quán)”反映數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”，權(quán)越大，該數(shù)據(jù)占的比重越大，反之則越小.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的意義和計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵.

31經(jīng)典例題三求中位數(shù)并用中位數(shù)做決策】

【解題技巧】

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

【例3】（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）已知一組數(shù)據(jù)：6,3,8,x,7,它們的平均數(shù)是6,則這組數(shù)據(jù)的中

位數(shù)是（）

A.6B.2C.8D.7

【答案】A

【分析】首先根據(jù)平均數(shù)為6求出x的值，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解.

【詳解】解：???數(shù)據(jù)6,3,8,x,7的平均數(shù)是6,

J.6+3+8+X+7=6X5,

解得：x=6,

這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：3,6,6,7,8,

則中位數(shù)為6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)和平均數(shù)的知識(shí)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)

據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).掌握中

位數(shù)和平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

V【變式訓(xùn)練】

【變式1】2023春?浙江?八年級(jí)階段練習(xí)）若3個(gè)正數(shù)%,電，%的平均數(shù)是0,且可＞出＞的，則數(shù)據(jù)卬,%，。，%

的平均數(shù)和中位數(shù)是（）

3ao+&-3生3a,+a.

A.B.—a,---------C.-a,—D.一a,二一1

424242

【答案】B

【分析】根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義計(jì)算即可.

【詳解】:3個(gè)正數(shù)％,%，%的平均數(shù)是。，

g+芻+2=3a,

[3

,-.a},a2,0,a3的平均數(shù)為反％+a2+0+a3）=-a,

,?,3個(gè)正數(shù)%,2，的，且％＞的＞。3

把數(shù)據(jù)%,出，。，a3從大到小排列為，°，

中位數(shù)為t3

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，正確掌握定義是解題關(guān)鍵.

【變式2]（2023春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┤绻唤M數(shù)據(jù)由四個(gè)整數(shù)組成，其中三個(gè)分別是2,4,6,

且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也是整數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

【答案】3或4或5

【分析】找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)或偶數(shù)個(gè)數(shù)來(lái)確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)

個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個(gè)，則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)；第四個(gè)整數(shù)可能情況有：小于

或等于2；大于2且小于4；等于4；大于4且小于6；大于6,分幾種情況進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：①當(dāng)?shù)谒膫€(gè)整數(shù)小于或等于2時(shí)，中位數(shù)為：（2+4）+2=3,滿足題意；

②當(dāng)?shù)谒膫€(gè)整數(shù)大于2且小于4時(shí)，此時(shí)第四個(gè)整數(shù)是3,中位數(shù)為：（3+4）+2=3.5,中位數(shù)不是整數(shù),

不滿足題意；

③當(dāng)?shù)谒膫€(gè)整數(shù)等于4時(shí)，中位數(shù)是：（4+4）+2=4,滿足題意；

④當(dāng)?shù)谒膫€(gè)整數(shù)大于4且小于6時(shí)，只有5這一個(gè)整數(shù)，而中位數(shù)不是整數(shù)，不滿足題意；

⑤當(dāng)?shù)谒膫€(gè)整數(shù)大于或等于6時(shí)，中位數(shù)是：（4+6）+2=5,滿足題意，

所以它們的中位數(shù)是3或4或5.

故答案為：3或4或5.

【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查中位數(shù)的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握中位數(shù)的定義及特征是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023?北京?統(tǒng)考一模）在第四個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)日（2023年3月14日）到來(lái)之際，燕山地區(qū)舉辦了“數(shù)

學(xué)節(jié)”，通過(guò)數(shù)學(xué)素養(yǎng)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)創(chuàng)意市集、數(shù)學(xué)名師講座等活動(dòng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力、傳播數(shù)學(xué)文化.為了解

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)競(jìng)賽的答題情況，從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績(jī)（單位：分）的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)

進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息：

a.乙校學(xué)生成績(jī)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下圖所示

（數(shù)據(jù)分為四組：60Vx<70,70Mx<80,80Mx<90,904x4100）

b.乙校學(xué)生成績(jī)數(shù)據(jù)在80Mx<90這一組的是：

8081818285868888

c.甲、乙兩校學(xué)生成績(jī)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

學(xué)校平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲79.27978

乙79.7m76

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

⑴寫(xiě)出表中加的值；

(2)在甲、乙兩校抽取的學(xué)生中，記成績(jī)高于各自學(xué)校平均分的人數(shù)分別為p,q,則pq(填

“>,,,“<”或,理由是.

(3)若乙校共有160名學(xué)生參加了該數(shù)學(xué)素養(yǎng)競(jìng)賽，且成績(jī)不低于80分的學(xué)生可獲得“學(xué)生之星”的稱號(hào)，估

計(jì)乙校獲得“數(shù)學(xué)之星”稱號(hào)的學(xué)生有人.

【答案】⑴80.5

(2)<,理由見(jiàn)解析

(3)88

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)甲校的中位數(shù)低于其平均成績(jī)，乙校的中位線高于其平均成績(jī)進(jìn)行求解即可；

(3)用160乘以樣本中成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)占比即可得到答案.

【詳解】(1)解:由題意得，乙校一共有3+6+8+3=20人，

將乙校學(xué)生成績(jī)按照從低到高排列，處在第10名和第11名的成績(jī)分別為80,81,

乙校學(xué)生的中位數(shù)%=吧!巴=80.5；

(2)解：p〈q,理由如下：

???甲校成績(jī)的中位數(shù)為79,低于其平均數(shù)79.2,而乙校的中位數(shù)為80.5,高于其平均成績(jī)79.7,

乙校高于平均成績(jī)的人數(shù)更多，即。<4；

(3)解：160'面-=88人，

.??估計(jì)乙校獲得“數(shù)學(xué)之星”稱號(hào)的學(xué)生有88人，

故答案為：88.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求中位數(shù)，用平均數(shù)和中位數(shù)做決策，用樣本估計(jì)總體，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題四求眾數(shù)并用眾數(shù)做決策】

【解題技巧】

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

【例4】（2023?河南新鄉(xiāng)??？级＃┠承０四昙?jí)（3）班50名學(xué)生自發(fā)組織獻(xiàn)愛(ài)心捐款活動(dòng).班長(zhǎng)將捐款

情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖（不完整）.根據(jù)圖中提供的信息，捐款金額的眾數(shù)是（）

A.10元B.20元C.30元D.50元

【答案】c

【分析】首先可求得捐款30元的人數(shù)，再根據(jù)眾數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：捐款30元的人數(shù)為50-6-13-8-3=20（人），

???30出現(xiàn)的次數(shù)最多，出現(xiàn)了20次，

二捐款金額的眾數(shù)是30元.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖及眾數(shù)的求法，準(zhǔn)確求得捐款30元的人數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

V【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）為了制定切合本校學(xué)生的體能訓(xùn)練標(biāo)準(zhǔn)，某校從九年級(jí)隨機(jī)抽取30名男

生進(jìn)行引體向上測(cè)試，每人測(cè)試一次，記錄有效引體向上次數(shù)如表所示，那么這30名男生此次測(cè)試中引體

向上次數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

次數(shù)67891011

人數(shù)3109521

A.7,7B.7,8C.8,7D.8,8

【答案】B

【分析】一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；先將數(shù)據(jù)從大到小從新排列，然后根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)

的定義求解即可.

【詳解】解：:7出現(xiàn)了10次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

二這30名男生此次測(cè)試中引體向上次數(shù)的眾數(shù)是7；

??,共有30名男生，中位數(shù)是低15、16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

OIO

???中位數(shù)為下=8；

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的知識(shí)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅?/p>

中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把

數(shù)據(jù)按要求重新排列，就可能會(huì)出錯(cuò).

【變式2］（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）兩組數(shù)據(jù)：3,a,2b,5與a,6,6的平均數(shù)都是6,若將這

兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.

【答案】8

【分析】根據(jù)平均數(shù)的意義，求出。、6的值，進(jìn)而確定兩組數(shù)據(jù)，再合并成一組，找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)

據(jù)即可.

【詳解】解：由題意得，

3+a+26+5=4x6

a+6+6=3x6

這兩組數(shù)合并成一組新數(shù)據(jù)為：3,8,86,8,6,4,

在這組新數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是8,因此眾數(shù)是8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】此題考查了眾數(shù)，掌握眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

【變式3］（2023春?北京東城?八年級(jí)北京一七一中?？计谥校?023年4月24日是我國(guó)第八個(gè)“中國(guó)航天

日”，今年航天日的主題是“格物致知，叩問(wèn)蒼穹”.設(shè)立“中國(guó)航天日”，就是要銘記歷史、傳承精神，激發(fā)

全民尤其是青少年崇尚科學(xué)、探索未知、敢于創(chuàng)新的熱情.某校開(kāi)展了一次航天知識(shí)競(jìng)賽（競(jìng)賽成績(jī)?yōu)榘?/p>

分制），并隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，經(jīng)過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，得到以下信息：

a：50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，從左到右依次為第一組到第五組（數(shù)據(jù)分成5組：

50Vx<60,60Vx<70,70Mx<80,80Mx<90,90Vx<100),

b：第三組的成績(jī)（單位：分）為：71,72,73,73,74,74,75,75,75,78,79,79

根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：

（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖（直接在圖中補(bǔ)全）；

（2）第三組競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)是分，抽取的50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)是.分;

（3）若該校共有1000名學(xué)生參賽，估計(jì)該校參賽學(xué)生成績(jī)不低于80分的人數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）75,79

（3）估計(jì)該校參賽學(xué)生成績(jī)不低于80分的人數(shù)約為480人.

【分析】（1）計(jì)算出第2組的人數(shù)，即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義，分別求出第3組的眾數(shù)，樣本中位數(shù);

（3）利用樣本估計(jì)總體，即可求解.

【詳解】（1）解：第2組的人數(shù)為：50-4-12-20-4=10（人），

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：

（2）解：第3組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是75,共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是75；

抽取的50人的成績(jī)從小到大排列處在第25、26位的兩個(gè)數(shù)即79、79,

則樣本中位數(shù)為（79+79）+2=79（分），因此中位數(shù)是79,

故答案為：75,79；

（3）解：1000x^-=480（人），

估計(jì)該校參賽學(xué)生成績(jī)不低于80分的人數(shù)約為480人.

【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)、眾數(shù)的意義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)的意義是求出答案的前提，

理解頻數(shù)分布直方圖的意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題五求方差并用方差做決策】

【解題技巧】

方差的定義

在一組數(shù)據(jù)4,%,…，X“中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)差的平方，它們的平均數(shù)，即S2=

-I-+1"；一:兀；力來(lái)描述這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把S2叫做這組數(shù)據(jù)的方差。

n

一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大；一組數(shù)據(jù)的方差越小，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的離散程

度越小。

【例5】（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）白老師在黑板上計(jì)算一組數(shù)據(jù)時(shí)，列式如下：

S2=（3一4）一+（4一4）一+（4一4）一+（5—4）一，由公式提供的信息，下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

n

A.中位數(shù)是4B.眾數(shù)是4C.平均數(shù)是4D.方差是!

4

【答案】D

【分析】根據(jù)方差的計(jì)算公式可得這組數(shù)據(jù)為3,4,4,5,再分別根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的定義、平均數(shù)和方差公

式計(jì)算即可得.

【詳解】解：由題意得：這組數(shù)據(jù)為3,4,4,5,

4+4

則中位數(shù)是一1=4,選項(xiàng)A正確，不符合題意；

因?yàn)?出現(xiàn)的次數(shù)最多，

所以眾數(shù)是4,選項(xiàng)B正確，不符合題意：

平均數(shù)是23-+4-+——4+5=4,選項(xiàng)C正確，不符合題意；

4

方差是d=G-4）2+（4-4）2+（4-4）2+（5-4）2=口,選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；

42

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差，熟記各定義和公式是解題關(guān)鍵.

.■【變式訓(xùn)練】

【變式1](2023春?河南周口?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))測(cè)試某款純電動(dòng)汽車低速工況和高速工況的能耗情

況，為了更接近真實(shí)的日常用車環(huán)境，低速工況的平均時(shí)速在30km/h左右，包括城市一般道路、環(huán)路等路

況；高速工況的平均時(shí)速保持在90km/h左右，路況主要是高速公路.設(shè)低速工況時(shí)能耗的平均數(shù)為方

差為S：;高速工況時(shí)能耗的平均數(shù)為兀，方差為S]，則下列結(jié)論正確的是()

高速工況能耗測(cè)試

能耗(KWh/100km)

20一班3一」21」恿6/圣&」86

18,118.618.918.718.6

10

°20406080100120140160180200路程(km)

低速工況能耗測(cè)試

能耗(KWh/100km)

L89…472__1.7_____________

20-V716.516.7

18818.774IT1/",?一

16.616.4

10

°20406080100120140160180200路程(km)

2>22

A.>x2,51^S2B.X1>X2,<S2

222

C.Xj<x2,51>S2D.x1<x2,S；<S2

【答案】C

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義與公式解答即可.

——1

【詳解】石=—X(18.8+18.9+18.7+17.2+17.1+17+16.6+16.5+16.4+16.7)=17.39(KWh/100km)；

—1

x2=—x(18.1+18.3+18.6+19.1+18.9+18.6+18.7+18.8+18.6+18.6)=18.63(KWh/100km)；

**?X]<%?，

由折線波動(dòng)可知，野＞邑2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)和方差的定義：一般地設(shè)〃個(gè)數(shù)據(jù)，孫孫…當(dāng)?shù)钠骄鶖?shù)為則方差

n

222

5=-[--)+(x2--)+...+(x?它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之

nnnn

也成立.

【變式2］（2023春?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)再,馬,七戶4戶5的平均數(shù)是3,方差為:，那么另

一組數(shù)據(jù)3網(wǎng)-2,3%-2,3%-2,3x4-2,3x5-2的平均數(shù)和方差分別是，.

【答案】73

【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)占,乙,鼻,尤4，%的平均數(shù)是上方差為S2,根據(jù)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)6+6變形后，平均數(shù)變?yōu)?/p>

ai+b，方差變?yōu)閍2s2,進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：???數(shù)據(jù)%,馬，￡戶4，尤5的平均數(shù)是3,

?,?數(shù)據(jù)3%-2,3%2-2,3%3-2,3%4-2,3/-2的平均數(shù)是3x3-2=7；

數(shù)據(jù)再,％,*3，、4，，5的萬(wàn)差為§，

2

數(shù)據(jù)3%-2,3x2-2,3%-2,3X4-2,3x5-2的方差是3x1=3；

故答案為：7,3.

【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和方差.熟練掌握一組數(shù)據(jù)%…的平均數(shù)是方差為$2,根據(jù)數(shù)據(jù)

經(jīng)過(guò)依+6變形后，平均數(shù)變?yōu)榘V+6,方差變?yōu)閍2s2,是解題的關(guān)鍵。

【變式3］（2020秋?貴州貴陽(yáng)?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某社區(qū)準(zhǔn)備在甲乙兩位射箭愛(ài)好者中選出一人參加集

訓(xùn)I,兩人各射了5箭，他們的總成績(jī)（單位：環(huán)）相同，小宇根據(jù)他們的成績(jī)繪制了尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,

并計(jì)算了甲成績(jī)的平均數(shù)和方差（見(jiàn)小宇的作業(yè)）.

甲、乙兩人射箭成績(jī)統(tǒng)計(jì)表甲、乙兩人射箭成績(jī)折線圖

第1次第2次第3次第4次第5次/'成績(jī)/環(huán)

10----1L---

----,--—---甲

甲成績(jī)94746—

8---—

V"—一乙

I.

6....

1么-

4——■

-I--1—

—

乙成績(jī)757a72---

----'——

—___4

0

12345翳箭次序

小宇的作業(yè)：

—1

解：理=二（9+4+7+4+6）=6,

S1=：［（9_6）2+（4一6『+（7_6『+（4_6）2+（6_6）1

=3.6.

⑴"，"=;

(2)請(qǐng)完成圖中表示乙成績(jī)變化情況的折線.

(3)①觀察圖，可看出的成績(jī)比較穩(wěn)定(填“甲”或“乙”)，參照小宇的計(jì)算方法，計(jì)算乙成績(jī)的方

差，并驗(yàn)證你的判斷.

②請(qǐng)你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰(shuí)將被選中.

【答案】(1)4,6

(2)見(jiàn)解析

(3)①乙，^=1.6,驗(yàn)證見(jiàn)解析；②乙被選中，分析見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)甲的平均數(shù)計(jì)算公式求出射箭5次的總環(huán)數(shù)，進(jìn)而求出a的值，再根據(jù)平均數(shù)的定義求

出乙的平均數(shù)即可；

(2)根據(jù)(1)所求結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；

(3)①根據(jù)折線圖可知乙的波動(dòng)小，乙更穩(wěn)定，然后根據(jù)方差計(jì)算公式求出乙的方差驗(yàn)證即可;②平均數(shù)

相同，乙的方差小，則乙被選擇.

【詳解】(1)解：9+4+7+4+6=30環(huán)，

.??甲、乙兩人射箭5次的總環(huán)數(shù)都為30環(huán)，

.-.fl=30-7-5-7-7=4,

——1

r.x乙=g(7+5+7+4+7)=6

故答案為：4,6；

(2)解：如圖所示，即為所求;

（3）解：①觀察折線統(tǒng)計(jì)圖可知，甲的成績(jī)波動(dòng)比乙的成績(jī)波動(dòng)大，故乙的成績(jī)比較穩(wěn)定;

=1[（7-6）2+（5-6）2+（7-6）2+（4-6）2+（7-6）2]

=1（1+1+1+4+1）

=1.6,

.?展

???乙的成績(jī)比較穩(wěn)定；

②從平均數(shù)來(lái)看，兩人的平均數(shù)相同，從方差來(lái)看，乙的方差小于甲的方差，即乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定，因此

應(yīng)選擇乙，即乙被選中.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)和方差，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

51經(jīng)典例題六極差、標(biāo)準(zhǔn)差的相關(guān)問(wèn)題】

【解題技巧】

極差的定義：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，能反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，我們就把這樣的差叫做極差。

極差=最大值一最小值，一般來(lái)說(shuō)，極差小，則說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度小。

標(biāo)準(zhǔn)差

方差的算術(shù)平方根，即用s=，［片_；尸+:,來(lái)描述這一組數(shù)據(jù)的離散程度,

..I、I，，XnrJ

Vn

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

【例6】（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）泰安市某學(xué)校學(xué)生會(huì)為了貫徹“減負(fù)增效”精神，了解九年級(jí)學(xué)生每天

的自主學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽查了九年級(jí)一班10名學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間情況，得到的數(shù)據(jù)如表所示，下列

說(shuō)法正確的是（）

自主學(xué)習(xí)時(shí)間/h0.511.522.5

人數(shù)/人12421

A.本次調(diào)查學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)是4

B.本次調(diào)查學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)是1

C.本次調(diào)查學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間的方差是0.3

D.本次調(diào)查學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差是還

5

【答案】C

【分析】根據(jù)中位數(shù)的含義可判斷A,根據(jù)平均數(shù)的含義可判斷B,根據(jù)方差的含義可判斷C,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差

的含義可判斷D,從而可得答案.

【詳解】解：A、由題意可知，本次調(diào)查學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)是工手=1.5,故該說(shuō)法不符合題意；

B、本次調(diào)查學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)是（1x0.5+2xl+4x1.5+2x2+lx2.5）-10=1.5,故該說(shuō)法不符合題意

C、本次調(diào)查學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間的方差是：

。邕0.5-1.5『+2,（1-l.5y+4<1.5-1.5y+242-1.5）?+（2.5-1.5）%=0.3,故該說(shuō)法符合題意；

D、本次調(diào)查學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差是/=柏=噂，故該說(shuō)法不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的收集與整理，熟練掌握中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求法是解答此題的

關(guān)鍵.

,【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2023秋?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)?？计谀┰趯W(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽中，我班“rros”組的6個(gè)同學(xué)

獲得的分?jǐn)?shù)分別為：95、97、97、96、98、95,對(duì)于這6個(gè)同學(xué)的成績(jī)下列說(shuō)法正確的是（）

A.眾數(shù)為95B.眾數(shù)為97C.平均數(shù)為96D.極差為3

【答案】D

【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù)，所有數(shù)據(jù)和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為平均數(shù)，最大數(shù)減最小數(shù)

為極差，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、95,97兩個(gè)數(shù)據(jù)各出現(xiàn)兩次，眾數(shù)為95,97,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、95,97兩個(gè)數(shù)據(jù)各出現(xiàn)兩次，眾數(shù)為95,97,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

_1

C、x=-（95+97+97+96+98+95）?96.3,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

6

D、極差為：98-95=3,選項(xiàng)正確，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)，眾數(shù)，極差.熟練掌握平均數(shù)，眾數(shù)，極差的計(jì)算方法，是解題的關(guān)鍵.注意,

眾數(shù)不唯一.

【變式2］（2023?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）某學(xué)生記錄了家中六個(gè)月的用電情況，六個(gè)月繳納的電費(fèi)依次為

（單位：元）：69,77,85,90,73,98,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是,極差是，平均

數(shù)是.

【答案】812982

【分析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、極差的定義分別求解即可；

【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：69,73,77,85,90,98,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（77+85）+2=81；

極差是98-69=29；

平均數(shù)是（69+73+77+85+90+98）+6=82；

故答案為：81,29,82

【點(diǎn)睛】本題考查了極差、平均數(shù)與中位數(shù)的意義.中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕?/p>

后，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍

的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.

【變式3］（2021秋?甘肅蘭州?八年級(jí)蘭州市第十四中學(xué)?？计谀┮淮纹谥锌荚囍校?8,C,O,E五位同

學(xué)的數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)（單位：分）等有關(guān)信息如下表所示.

ABCDE平均分標(biāo)準(zhǔn)差

數(shù)學(xué)7172696870V2

英語(yǔ)888294857685

（1）求這五位同學(xué)在本次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和英語(yǔ)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，并將上表補(bǔ)充完整；

（2）為了比較不同學(xué)科考試成績(jī)的好與差，采用標(biāo)準(zhǔn)分是一個(gè)合理的選擇，標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算公式是標(biāo)準(zhǔn)分=

（個(gè)人成績(jī)-平均成績(jī)）+成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差.從標(biāo)準(zhǔn)分看，標(biāo)準(zhǔn)分大的考試成績(jī)更好，請(qǐng)問(wèn)A同學(xué)在本次考試中,

數(shù)學(xué)與英語(yǔ)哪個(gè)學(xué)科考得更好？

【答案】（1）表中填：70,6；（2）A同學(xué)在本次考試中，數(shù)學(xué)考得更好.

【分析】（1）由平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的公式進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）代入公式：標(biāo)準(zhǔn)分=（個(gè)人成績(jī)-平均成績(jī)）+成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，再比較即可.

【詳解】（1）數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為71+72+:+68+70=70（分），

英語(yǔ)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為『8一8?*&_8?+出個(gè)5了+（85-8?+（76+85）、6,

故表中填：70,6；

（2）數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分為：（71一70）+&=等（分）,

英語(yǔ)標(biāo)準(zhǔn)分為：（88-85）+6=0.5（分）

因?yàn)檎?gt;0.5分，所以數(shù)學(xué)考得更好，

2

即A同學(xué)在本次考試中，數(shù)學(xué)考得更好.

【點(diǎn)睛】本題考查的是標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差需要先算出方差，計(jì)算方差的步驟是：①計(jì)算數(shù)據(jù)的平

均數(shù)已②計(jì)算偏差，即每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差；③計(jì)算偏差的平方和；④偏差的平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).標(biāo)

準(zhǔn)差即方差的算術(shù)平方根；注意標(biāo)準(zhǔn)差和方差一樣都是非負(fù)數(shù).

j【經(jīng)典例題七數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)大題專訓(xùn)】

【例7】（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）為了解雙減政策實(shí)施以來(lái)同學(xué)們的學(xué)習(xí)狀況，某校調(diào)研了七、八年級(jí)

部分學(xué)生完成作業(yè)的情況.從七、八年級(jí)中各抽取20名學(xué)生作業(yè)完成時(shí)間數(shù)據(jù)（單位：分鐘）進(jìn)行整理和

分析，共分為四個(gè)時(shí)段（x表示作業(yè)完成時(shí)間，x取整數(shù)）：A.x<60；B.60<x<70；C.70<x<80；

D.80<x<90,完成作業(yè)不超過(guò)80分鐘為時(shí)間管理優(yōu)秀，部分信息如下：七年級(jí)抽取20名學(xué)生完成作業(yè)

時(shí)間為：55,58,66,65,64,66,60,60,83,78,70,75,70,78,70,88,82,85,85,82.

八年級(jí)抽取20名學(xué)生中完成作業(yè)時(shí)間在C時(shí)段的所有數(shù)據(jù)為：72,74,74,76,75,74,78,75.

七、八年級(jí)抽取學(xué)生完成作業(yè)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表：

年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七年級(jí)7270b

八年級(jí)75a74

⑴q=，b=；

(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，雙減政策背景下作業(yè)時(shí)間管理，哪個(gè)年級(jí)落實(shí)得更好？請(qǐng)說(shuō)明理由；(寫(xiě)出一條即

可)

(4)該校七年級(jí)共有學(xué)生600人，八年級(jí)共有學(xué)生400人，估計(jì)七、八年級(jí)時(shí)間管理優(yōu)秀的學(xué)生共有多少

人？

【答案】(1)74,70

(2)見(jiàn)解析

(3)七年級(jí)落實(shí)的好，見(jiàn)解析

(4)720人

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義求解即可；

(2)按給出數(shù)據(jù)計(jì)算出B時(shí)段的數(shù)據(jù)然后補(bǔ)全即可；

(3)從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)方面比較得出答案；

(4)分別求出求出七，八年級(jí)時(shí)間管理優(yōu)秀的人數(shù)，再相加即可.

【詳解】(1)將八年級(jí)抽取20名同學(xué)的完成作業(yè)時(shí)間按從小到大的順序，第10,11個(gè)數(shù)均在C時(shí)段，

而C時(shí)段的所有數(shù)據(jù)為：72,74,74,76,75,74,78,75,

按從小到大排列為：72,74,74,74,75,75,76,78,

則第10,11個(gè)數(shù)均為74,所以中位數(shù)。=7三4+二74=74.

將七年級(jí)抽取20名同學(xué)的完成作業(yè)時(shí)間出現(xiàn)次數(shù)最多的是78分，因此眾數(shù)是70分，即：6=70.

故答案為：74,70.

(2)由題可得在8時(shí)段人數(shù)為：20-3-8-5=4(人)，

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

八年級(jí)作業(yè)時(shí)間情況條形統(tǒng)計(jì)圖

(3)七年級(jí)落實(shí)的好，理由：七年級(jí)學(xué)生完成作業(yè)的平均時(shí)間為72分鐘，比八年級(jí)的少；(答案不唯一)

1415

(4)600x—+400x—=420+300=720

2020

答：估計(jì)七、八年級(jí)時(shí)間管理優(yōu)秀的學(xué)生共有720人.

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握中位數(shù)，平均數(shù)的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

+【變式訓(xùn)練】

【變式1】(2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè))為了解我區(qū)八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)情

況，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過(guò)程如下，請(qǐng)將有關(guān)問(wèn)題補(bǔ)充完整：

收集數(shù)據(jù)：隨機(jī)抽取甲、乙兩所學(xué)校的20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析.

甲：9189778671319793729181928585958888904491

乙：8493666976877782858890886788919668975988

整理、描述數(shù)據(jù)：按如下數(shù)據(jù)段整理、描述這兩組數(shù)據(jù).

學(xué)校30<x<3940<x<4950<x<5960<x<6970<x<7980<x<8990<x<100

甲1100378

乙00142a5

分析數(shù)據(jù)：兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表:

統(tǒng)計(jì)量學(xué)校平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

甲81.85b91268.43

乙81.958688115.25

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：

（1）填表：a的值是；b的值是.

⑵得出結(jié)論：

①若甲學(xué)校有600名初二學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)這次考試成績(jī)?cè)?0分及以上的人數(shù).

②請(qǐng)推斷哪所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科質(zhì)量監(jiān)測(cè)成績(jī)較高，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）8,88；

（2）①450人；②甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平較高，理由見(jiàn)解析；

【分析】（1）整理頻數(shù)分布表可得。的值，再結(jié)合中位數(shù)的含義可得6的值；

（2）①由總?cè)藬?shù)乘以80分及以上的人數(shù)的占比即可得到答案；②從中位數(shù)與眾數(shù)的角度出發(fā)分析可得答

案.

【詳解】（1）解：由乙組數(shù)據(jù)可得：80VXV89的有8487828588888888,

..a=8,

由表格信息可得：甲組排在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)分別是第10個(gè)，第11個(gè)，落在80VXV89,

而這一組的數(shù)據(jù)為：81858586888889

第10個(gè)，第11個(gè)分別是88,88,

???中位數(shù)為：6=；（88+88）=88；

（2）①甲學(xué)校有600名初二學(xué)生，估計(jì)這次考試成績(jī)?cè)?