銳角三角函數(shù)【考點(diǎn)講義】（解析版）

考點(diǎn)17銳角三角函數(shù)

尊知識(shí)導(dǎo)航

銳角三角函數(shù)

Q知識(shí)整理

一、銳角三角函數(shù)

1.銳角三角函數(shù)的概念

（1）銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數(shù).

（2）在△ABC中，/C=90。，

ZA的正弦邊ZA的鄰邊NA的對(duì)邊

ZA的余弦cosA=,ZA的正切tanA=

斜邊斜邊NA的鄰邊

2.特殊角的三角函數(shù)值（填寫下表）

三角函數(shù)30°45°60°

j_V2V3

sina

2~T"T

73j_

cosa

~T~T2

V3

tana1V3

V

二、解直角三角形

1.解直角三角形

（1）解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外,一共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出

所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.

（2）直角三角形的解法

直角三角形的解法按除直角外已知2個(gè)元素的不同情況可大致分為四種類型：

①已知一條直角邊和一個(gè)銳角（如°,/人）,其解法為:/2=90。-乙41=—乙;

sinA

②已知斜邊和一個(gè)銳角（如c,NA）,其解法為:N3=90O-NA,〃=c-sinA;

③已知兩直角邊（如。力）,其解法為:c2=a2+/,tanA=q；

b

④已知斜邊和一直角邊（如c,a）,其解法為：〃=c2-a2,sinA=@.

c

2.與解直角二角形有關(guān)的名詞、術(shù)語(yǔ)

（1）視角:視線與水平線的夾角叫做視角.

從下向上看，叫做仰角；

從上往下看，叫做俯角.

（2）方位角:目標(biāo)方向線與正北方向線順時(shí)針時(shí)的夾角.

（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度（力和水平長(zhǎng)度⑺的比叫做坡度（或坡比），記作坡面與水平面的夾角（a）,

i

叫做坡角.

Q考點(diǎn)講解

【考點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值

【例1】（銳角三角函數(shù)的定義）（2022.云南）如圖，已知A8是。。的直徑，是。。的弦，42口。.垂

足為E.若A8=26,CD=24,則/OCE的余弦值為（）

B

712

A.—B.—c.LD.11

13131212

【答案】B

【分析】先根據(jù)垂徑定理求出CE=5a再根據(jù)余弦的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：是。。的直徑，ABDCD.

CE=-CD=12,ZOEC=90°OC=-AB=U

2f29

CF12

AcosZOCE=——=—.故選：B.

OC13

【例2】（特殊銳角三角函數(shù)值）（2022?湖南）計(jì)算：2cos45。+（乃-3.14）°+卜-0|+（：）T.

【答案】20+2

【分析】先將各項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算乘法，最后從左往右計(jì)算即可得

【詳解】解：原式=2x變+1+后-1+2

2

=2^2+2.

1.（2022?天津）tan45。的值等于（）

A.2B.1C.@D

2-f

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：正切=對(duì)邊與鄰邊之比，進(jìn)行求解.

【詳解】作一個(gè)直角三角形，ZC=90°,ZA=45°,如圖:

ZB=90o-45°=45°,

...△ABC是等腰三角形，AC=BC,

?二根據(jù)正切定義，tanZA=——=1,

AC

VZA=45°,Atan45°=l,故選B.

2.（2021?天津）tan30°的值等于（）

A.且B.巫C.1D.2

32

【答案】A

【分析】

根據(jù)30。的正切值直接求解即可.

【詳解】

解：由題意可知，tan3C>o=18,

3

故選：A.

3.（2021?浙江）如圖，已知在尺力ABC中，ZACB=90°,AC=l,AB=2,則sinB的值是

【答案】3

2

【分析】

在直角三角形中，銳角B的正弦=銳角8的對(duì)邊：直角三角形的斜邊，根據(jù)定義直接可得答案.

【詳解】

解：ZACB=90°,AC=l,AB=2,

,AC1

sinBn=----=一,

AB2

故答案為：一

2

4.（2022?山東濱州）在RdABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,則sinA=

12

【答案】

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出A5的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出答案.

【詳解】解：如圖所示:

VZC=90°,AC=5fBC=U,

???止后+狀=13,

???sinA二生=12

AB13

12

故答案為:

13

【考點(diǎn)2】三角函數(shù)與圖形結(jié)合

【例3】（2022.廣西貴港）如圖，在4x4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若-ABC

的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，貝！JcosNBAC的值是（

A.與半-I

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)C作48的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作的垂線交于一點(diǎn)，如圖所示，

???每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

AC=EBC=?,AB=5,

設(shè)AD=x,則BD=5—x,

在比八4。。中，DC2=AC2-AD2,

在RfBCD中，DC2=BC2-BD2,

A10-(5-X)2=5-X2,解得X=2,

.2_2石痂啡

??cosNBAC==~產(chǎn)=---，：C.

AC下5

金躡摘訓(xùn)蚓

1.（2022?四川廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、。都在格點(diǎn)處,

AB與CD相交于點(diǎn)P,則cosZAPC的值為（）

AYB.半

D-T

【答案】B

【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE,連接CE,則DE//AB,由勾股定理逆定理可以證明△OCE為直角

三角形，所以cos/APC=cos/EDC即可得答案.

【詳解】解：把48向上平移一個(gè)單位到OE,連接CE,如圖.

貝1|DE//AB,

：.ZAPC=ZEDC.

在AOCE中，有房=切+仔DC=+4?=2石，DE=V32+42=5>

，EC2+OC2=5+20=25=DE2,

：.NDCE是直角三角形，且ZDCE=90°,

cosXAPC—cosZEDC—.

DE5

故選：B.

2.（2022?江蘇連云港）如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，.MC的頂點(diǎn)A、8、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正

方形邊的中點(diǎn)，貝!|sinA=.

【答案】I4

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE_LA8于E,先求出CE,AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由此

求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于E,

由題意得CE=4,AE=3,

?*-AC=YIAE2+CE2=5>

3.（2022.天津）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A,B,C及NDPF的一邊上的點(diǎn)E,

尸均在格點(diǎn)上.

(I)線段族的長(zhǎng)等于;

(II)若點(diǎn)M,N分別在射線加,尸歹上，滿足NMBN=90。且=請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示

的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M,N,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M,N的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】而見(jiàn)解析

【分析】(I)根據(jù)勾股定理，從圖中找出EF所在直角三角形的直角邊的長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算；

(II)由圖可找到點(diǎn)Q,EQ=BQ=EF=BF=M,即四邊形EF2Q是正方形，因?yàn)?0=BN,ZMBN=90°,

所以ABQMMABMV,點(diǎn)M在￡0上，BM、與圓的交點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，所以E。與尸。交點(diǎn)為通過(guò)8M

與圓的交點(diǎn)G和圓心。連線與圓相交于“，所以H在BN上，則延長(zhǎng)877與尸尸相交點(diǎn)即為N.

【詳解】解：(I)從圖中可知：點(diǎn)E、P水平方向距離為3,豎直方向距離為1,

所以EF=M=M，故答案為：回;

(H)連接AC,與豎網(wǎng)格線相交于點(diǎn)。，。即為圓心；取格點(diǎn)點(diǎn)向右1格，向上3格),連接與

射線PO相交于點(diǎn)M；連接MB與?。相交于點(diǎn)G；連接GO并延長(zhǎng)，與〈。相交于點(diǎn)H；連接而并延長(zhǎng)，

與射線尸尸相交于點(diǎn)N,則點(diǎn)M,N即為所求，

理由如下：連接5。,8歹

由勾股定理算出BQ=QE=EF=3P=712+32=回，

由題意得NMQB=NQEF=NBFE=NQBF=90°,

四邊形8。所為正方形，

在RtBQMRtBFN中,BQ=BF,

tanZQBA=tanNFBC=1,/.ZQBA=NFBC,

ZAOG=ZCOH,；./=&，

:.ZABG=ZHBC,:.ZMBQ=ZNBF

RtBQM沿RtBFN(ASA)：,BM=BN,

ZQBM+NMBF=NMBF+ZFBN=90°

:.ZMBN=90,從而確定了點(diǎn)的位置.

【考點(diǎn)3】解直角三角形

【例4】（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，的長(zhǎng)為12米，與AC的夾角為則

高BC是（）

A.12sina米B.12cosa米C.旦米D.米

sinacosa

【答案】A

黑，代入口值即可求解?

【分析】在RdACB中，利用正弦定義,

【詳解】解：在放△AC8中，ZACB=90°,sina二一,

AB

.'.BC=sina'AB=12sina(米),故選：A.

【例5】（2021?四川樂(lè)山市）在mABC中，ZC=90°.有一個(gè)銳角為60。，AB=4.若點(diǎn)尸在直線A3

上（不與點(diǎn)A、6重合），且/PCB=30°,則CP的長(zhǎng)為.

【答案】若或2后或2

【分析】依據(jù)題意畫出圖形，分類討論，解直角三角形即可.

【詳解】

解：情形1：4=60。，則4=30°,

"ZPCB=30°,

ZAC尸=60。，

△ACP是等邊三角形，

CP=AC=-AB=2-

2

情形2：4=60°,則ZA=30。，BC=2,AC=zS

B

??.ZPCB=30。，

.-.CPLAB,

：.-ACBC=-ABCP,解得CP=百；

22

情形3：4=60°,則/A=30。，BC=2,AC=2B

A

；NPCB=30。,

CP=AC=26

故答案為：出或2后或2.

■■的4

在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，只要再知道兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），就可以求出

其余三個(gè)未知元素.

軟固頤II睡圖

3

1.（2021.云南）在?ABC中，/ABC=90°,若AC=100,sinA=1，則AB的長(zhǎng)是（）

500503

A.——B.——C.60D.80

35

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解.

【詳解】

BC3

解：?/ZABC=9Q°,sinZA=—=一，AC=100,

AC5

.?.BC=100x3+5=60,

???AB=《AC2-BC?=80,

故選D.

2.（2021?浙江溫州市）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰

的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形。鉆C.若AB=BC=1.ZAOB=a,

值為（）

ICME.7CL........................-

圖1圖2

1,1

A.+1B.sin2a+1C.+1D.cos2a+1

smacosa

【答案】A

【分析】

根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解.

【詳解】

?.,在H/VQAB中，ZAOB=a,AB=1

sinasina

在Rt_OBC中,BC=1,OC2=OB2+BC2+12=—^+1

IsinJsina

故選：A.

3.（2022?福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中ZABC=90。，ZC4B=60°,AB=8,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)

直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得AABC移動(dòng)到VAEC,點(diǎn)4對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0,則

四邊形ACCA的面積是（）

A.96B.96A/3C.192D.16073

【答案】B

【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°,根據(jù)四邊形ACC4的面積為A4'-ACsin60o=2ABsin60O-A4',

即可求解.

【詳解】解：依題意ACCA'為平行四邊形，

VZABC=90°,ZC4B=60°,AB=8,加'=12.AC=2AB

平行四邊形ACCA的面積=A4JACsin60°=2ABsin60。?A4'=2x8x12x立=9673故選B

2

4.（2022?福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC,其中AB=AC,AABC=Z1°,BC=

44cm,則高A。約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin270~0.45,cos27°?0.89,tan27°~0.51）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及BC=44cm,可得DC=1BC=22cm,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及

2

AABC=Z1°,可得NACS=NABC=27。，在肋.AZX7中，由A￡）=1缺27。*8,求得AQ的長(zhǎng)度.

【詳解】解：???等腰三角形ABC,AB=AC,AO為3C邊上的高，

DC=-BC

2f

VBC=44cm,

DC=—BC=22cm.

2

???等腰三角形ABC,AB=ACfZABC=T1°,

:.ZACB=ZABC=Z70.

TA。為邊上的高，ZACB=27°,

???在中，

AD=tan27°xCD,

:tan27°q0.51,DC=22cm,

AAD?0.51x22=l1.22cm.故選：B.

5.（2022?陜西）如圖，A。是、ABC的高，若BD=2CD=6,tanZC=2,則邊A5的長(zhǎng)為（）

A.3A/2B.3A/5C.3不D.6夜

【答案】D

【分析】先解直角ABC求出AD再在直角△ABO中應(yīng)用勾股定理即可求出

【詳解】解：VBD=2CD=6,：.CD=3,

?.?直角AOC中，tan/C=2,AA￡>=C￡>tanZC=3x2=6,

.??直角△AB。中，由勾股定理可得，AB=J勾+62=60?故選D.

【考點(diǎn)4】解直角三角形的運(yùn)用

【例6】（坡度比問(wèn)題）（2022?貴州畢節(jié)）如圖，某地修建一座高BC=5m的天橋，已知天橋斜面AB的坡

度為1:抬'，則斜坡A3的長(zhǎng)度為（）

A.10mB.IOA/SDIC.5mD.56m

【答案】A

【分析】直接利用坡度的定義得出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出AB的長(zhǎng).

Be5]

【詳解】?:i=l：6，BC=5m,=—）=,解得：AC=56m,

ACACyjj

則AB=VBC2+AC2=卜+（5用=10m.故選：A.

【例7】（仰角俯角問(wèn)題）（2022?廣西貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得

樹(shù)頂C的仰角為45。，在點(diǎn)8處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為60。，且A,B,。三點(diǎn)在同一直線上，若A5=16m,

則這棵樹(shù)。的高度是（）

A.8（3-amB.8（3+我mC.6（3-石）mD.6（3+6）m

【答案】A

【分析】設(shè)。=無(wú)，在放AAOC中，ZA=45°,可得C￡>=AD=x,BD=16-x,在RrABCZ）中，用的正切函

數(shù)值即可求解.

【詳解】設(shè)CD=x,在中，ZA=45°,

/.CD=AD=x,

BD=16-xf

在放△5CO中，ZB=60°,

.「CD

??tanB=-----,

BD

即：=百，

16-x

解得x=8（3-石），

故選A.

解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題的有關(guān)要點(diǎn)

（1）應(yīng)用范圍：

通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn)題，

如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、河寬等，解此類問(wèn)題關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)

和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度.

（2）一般步驟

①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）.

②根據(jù)題目的已知條件選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)

化為實(shí)際問(wèn)題的答案.

金躡顓酗

1.（2022?廣西玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是（）

A.ZBADB.ZACBC.ZBACD.ZDAC

【答案】D

【分析】根據(jù)俯角的定義可直接得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)俯角的定義，朝下看時(shí)，視線與水平面的夾角為俯角，

為對(duì)應(yīng)的俯角，

故選D.

2.（2022?湖北隨州）如圖，已知點(diǎn)3,D,C在同一直線的水平，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物的頂端A的仰

角為a,在點(diǎn)。處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為￡,CD=a,則建筑物AB的高度為（）

aCatanatanf3口〃tanatan0

。夕B夕一

Atana-tan'tantana?tana-tan/*tan^-tan?

【答案】D

【分析】設(shè)利用正切值表示出BC和的長(zhǎng)，CD=BC-BD,從而列出等式，解得x即可.

由題意知，

【詳解】設(shè)AB=x,ZACB^ADB^.BD^,BC

XXatanatanBatanatanB,,,,D

,/CD=BC-BD,---------------=a,：.x=嬴訴^，即的=嬴行看，故選：-

tanatanp

3.（2021?湖北黃岡市）如圖，建筑物上有一高為8m的旗桿A3,從。處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為53°,

觀測(cè)旗桿底部3的仰角為45。，則建筑物的高約為m（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（參考數(shù)據(jù)

sin53°?0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33)

【答案】24.2

【分析】

先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得BC=CD,設(shè)5C=CD=xm,從而可得AC=(8+x)m,再在

中，利用正切三角函數(shù)解直角三角形即可得.

【詳解】

解：由題意得：4。，。。,筋=8111,^：4￡＞。=53°,/3￡＞。=45°,

:.RtBCD是等腰直角三角形，

BC=CD,

設(shè)=則AC=(8+x)m,

在HfAACD中，tanZADC=——,即^^=tan53°^1.33,

CDx

解得x^24.2(m),經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，且符合題意，

即建筑物BC的高約為24.2m,

故答案為：24.2.

4.(2022?貴州黔東南)如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹(shù)A3,距樹(shù)12米處有一棟教學(xué)樓CO,為了安全，

學(xué)校決定砍伐該樹(shù)，站在樓頂。處，測(cè)得點(diǎn)2的仰角為45。，點(diǎn)A的俯角為30。，小青計(jì)算后得到如下結(jié)論:

①AB718.8米；②CDg8.4米；③若直接從點(diǎn)A處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓8方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若

第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓CZ)造成危害.其中正確的是.(填寫序號(hào)，

參考數(shù)值：出a1.7,J2?1.4)

【答案】①③④

【分析】過(guò)點(diǎn)。的水平線交于E,先證四邊形EAC。為矩形，ED=AC=12米，①利用三角函數(shù)求出

AB=BE+AE=DEtan450+DEtan30°,②利用CD=AE=DEtan30°=47376.8米，③利用48=18.8米＞12米，④

點(diǎn)8到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8V12,判斷即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D的水平線交AB于E,

'：DE//AC,EA//CD,ZDCA=90°,

，四邊形E4C。為矩形，

：.ED=AC=12米，

?AB=BE+AE=DEtan450+DEtan3Q°=12+473-12+4x1,7=18,8故①正確；

②；C￡>=A￡=￡>Etan30°=4^Q6.8米，故②不正確；

③???A3=18.8米>12米，.?.直接從點(diǎn)A處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓8方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；故③正確;

④：第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，

.?.點(diǎn)8到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8<12,

二第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓8造成危害.故④正確

.?.其中正確的是①③④.

故答案為①③④.

5.（2022?內(nèi)蒙古通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算鈣的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)

后一位，.

【答案】的長(zhǎng)度約為9.8米

【分析】延長(zhǎng)54交CE的垂線DG于點(diǎn)尸，AC,。/交于點(diǎn)G,則四邊形DfBE是矩形，根據(jù)圖示，可得四

邊形。電E是正方形，解Rt.CGORt.AG/,即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)班交CE的垂線OG于點(diǎn)