三角形全等【考點(diǎn)講義】（解析版）

專題15三角形全等

尊知識(shí)導(dǎo)航

三角形全等

C知識(shí)整理

1.全等三角形的定義：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的判定方法

（1）有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（簡稱“SAS”）

（2）有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（簡稱“ASA”）

（3）有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（簡稱“A4S'）

（4）有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（簡稱“SSS”）

（5）有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.（簡稱“HL”）

3.全等三角形的性質(zhì)

（1）全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.

（2）全等三角形的對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、對應(yīng)高相等.

（3）全等三角形的周長相等、面積相等.

Q考點(diǎn)講解

考點(diǎn)1：全等三角形的概念和性質(zhì)

【例1】下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（）

【答案】B

【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：如圖所示：圖形分割成兩個(gè)全等的圖形,

故選：B.

【例2】如圖，點(diǎn)3、E、A、。在同一條直線上，△ABC之△。跖，AB=7,AE=2,則的長是（

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得再根據(jù)等式的性質(zhì)可得班=AO,進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：VAABC^ADEF,

：.AB=ED,

：.AB-AE=DE-AE,

；?EB=AD,

?；AB=7,AE=2,

:?EB=5,

：.AD=5.

故選：B.

金跟頤lh蚓

1.下列四個(gè)圖形中，屬于全等圖形的是（）

①②③④

A.③和④B.②和③C.①和③D.①②

【答案】D

【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案.

【詳解】解：①、②可以完全重合，因此全等的圖形是①、②.

故選：D.

2.若AABC2ADEF,AB=2,AC=4,且△DEF的周長為奇數(shù)，則所的值為（）

A.3B.4C.1或3D.3或5

【分析】根據(jù)全等求出DE=AB=2,=AC=4,根據(jù)△。跖的周長為奇數(shù)求出的長為奇數(shù)，再根據(jù)

EF長為奇數(shù)和三角形三邊關(guān)系定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：；AABC出ADEF,AB=2,AC=4,

：.DE=AB=2,DF=AC=4,

△￡＞斯的周長為奇數(shù)，

...EP的長為奇數(shù)，

。、當(dāng)EF=3或5時(shí)，符合EF的長為奇數(shù)和三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)正確；

A、當(dāng)所=3時(shí)，由選項(xiàng)。知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、當(dāng)EF=4時(shí)，不符合EF為奇數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、當(dāng)班'=1或3時(shí)，其中1無法構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：D.

3.如圖所示，已知△ABCgAAOE,8C的延長線交OE于尸，ZB=ZD=25°,ZACB=ZAED=105°,

/D4c=10。，則/。為（）

A.40°B.50°C.55°D.60°

【分析】設(shè)4。與BP交于點(diǎn)M,要求NDm的大小，可以在AOFM中利用三角形的內(nèi)角和定理求解，轉(zhuǎn)

化為求的大小，再轉(zhuǎn)化為在△ACM中求NACM就可以.

【詳解】解：設(shè)A。與B尸交于點(diǎn)

ZACB=105,

ZACM=180°-105°=75°,ZAMC=180°-ZACM-ZDAC=180°-75°-10°=95°,

ZFMD=ZAMC=95°,

：.ND尸8=180°-ZD-ZFMD=180°-95°-25°=60°.

故選：D.

4.如圖，是一個(gè)3x3的正方形網(wǎng)格，貝i]Nl+/2+/3+/4=

【分析】仔細(xì)分析圖中角度，可得出，Zl+Z4=90°,Z2+Z3=90°,進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：和N4所在的三角形全等，

.,.Zl+Z4=90°,

VZ2和/3所在的三角形全等，

/.Z2+Z3=90°,

/.Z1+Z2+Z3十N4=180°.

故答案為：180。.

5.（2021?云南）如圖，在四邊形ABCD中，AD=3C,AC=5￡）,AC與BD相交于點(diǎn)￡求證:

ZDAC=ZCBD.

D?/

B

【答案】見解析

【分析】直接利用S5S證明△AC。絲△BDC,即可證明.

【詳解】解：在AAC。和ABDC中，

AD=BC

<AC=BD,

CD=DC

：./\ACD^/\BDCCSSS）,

：.ZDAC^ZCBD.

考點(diǎn)2：三角形全等的判定

【例3】（2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一

塊.小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為AABC,提供了下列各組元

素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,NBC.AB,AC,ZBD.?NB,BC

【答案】C

【分析】根據(jù)SSS,SAS,ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求.

【詳解】A..根據(jù)SSS一定符合要求；

B.ABIC,/反根據(jù)SAS一定符合要求；C.AB,AC,ZB.不一定符合要求；

D.ZA,ZB,BC.根據(jù)ASA一定符合要求.故選：C.

【例4】（2022?浙江金華?中考真題）如圖，AC與相交于點(diǎn)。，OA=OD,OB=OC,不添加輔助線，判

定△ABO空△DCO的依據(jù)是（）

D

A.SSSB.SASC.AASD.HL

【答案】B

【分析】根據(jù)Q4=0D,OB=OC,ZAO8=/CO￡>正好是兩邊一夾角，即可得出答案.

OA=OD

【詳解】解：；在AABO和△DC。中，=

OB=OC

:.△ABg^DCO（SAS）,故B正確.故選：B.

【例5】（2022?四川宜賓）已知：如圖，點(diǎn)A、。、C、廠在同一直線上，AB//DE,ZB=ZE,BC=EF.

求證：AD=CF.

ADCF

【答案】見解析

【分析】根據(jù)AB〃DE，可得/4=NEZW,根據(jù)AAS證明,進(jìn)而可得AC=￡>b,根據(jù)線

段的和差關(guān)系即可求解.

【詳解】證明：

,ZA=NEDF,

在，ABC與」）所中，

ZA=NEDF

?NB=NE,

BC=EF

???AABC^ADEF(AAS),

???AC=DFf

：.AC-DC=DF-DC,

：.AD=CF.

Wft6又一

常見全等模型

模型一：平移型

特征：沿同一直線⑺平移可得兩三角形重合

CD

模型二：翻折型

特征：所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合.

(1)在三角形中:(2)在正方形中:

公共角4c共角乙EAC

模型三旋轉(zhuǎn)型(手拉手)

特征：此模型可看成是將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度所構(gòu)成的.

模型四：三垂直型

特征：有三個(gè)直角.

(1)一線三垂直型:

(2)三個(gè)直角(不在同一直線):

1.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出以'0'：6'=/人€?的依據(jù)是()

A.S.S.SB.S.A.SC.A.S.AD.A.A.S

【答案】A

【分析】利用SSS可證得△OCD0Z\OCD，，那么/A，OB=/AOB.

【詳解】解：易得OC=O'C,OD=O，D,CD=CD,

OCD^AO,C,D,,

.../A，OB=NAOB,所以利用的條件為SSS,

故選：A.

2.（2022?四川成都）如圖，在二ABC和即中，點(diǎn)A,E,B,。在同一直線上，AC//DF,AC=DF,

只添加一個(gè)條件，能判定△ABC/△￡>￡尸的是（）

C.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形全等的判定做出選擇即可.

【詳解】A、BC=DE,不能判斷AMC=△DEF,選項(xiàng)不符合題意；

B、AE=DB,利用SAS定理可以判斷△ABC且選項(xiàng)符合題意；

C、ZA=ZDEF,不能判斷“BC絲△￡>￡下,選項(xiàng)不符合題意；

D、ZABC=ZD,不能判斷A4BC/選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

3.如圖，已知AC=￡>2,要使AABC咨△OCB,則需要補(bǔ)充的條件為

【答案】AB=OC（答案不唯一）

【分析】本題中有公共邊BC=CB,利用SSS來判定全等則只需要添加條件AB=r>C即可.

【詳解】解:由題意可知：AC=DB,BC=CB,

利用SSS來判定全等則只需要添加條件AB=DC,

故答案為：A2=OC（答案不唯一）.

4.（2022?貴州銅仁）如圖，點(diǎn)C在80上，AB，BD,ED，3￡>,AC_LCE,AB=CD.求證：AABC^ACDE.

【答案】見解析

【分析】直接根據(jù)一線三垂直模型利用AAS證明△ABC絲△?>￡；即可.

【詳解】解：VABXBD,EDLBD,ACLCE,

：./B=ND=NACE=90°,

：.ZBAC+ZBCA=90°=ZBCA+ZDCE,

：.ZBAC=ZDCE,

在△42。和八CUE中，

ZB=ZD

，ABAC=ZDCE,

AC^CE

:.△AB%ACDE（AAS）.

5.（2021.四川南充市）如圖，N8AC=90°,A。是NS4c內(nèi)部一條射線，若AB=AC,5￡_LAD于點(diǎn)

E,CF，A￡>于點(diǎn)?求證：AF=BE.

CA

【答案】見詳解

【分析】根據(jù)A4S證明△BAEmAACF,即可得AF=BE.

【詳解】證明：：44。=90°,

：.ZBAE+ZCAF^90°,

"：BELAD,CF±AD,

：.ZBEA=ZAFC=9Q°,

AZBAE+ZEBA=90°,

：.ZCAF=ZEBA,

'：AB=AC,

：./\BAE^/\ACF,

AF=BE.

6.（2022?湖南長沙）如圖，AC平分NB4DCB±AB,CD±AD,垂足分別為2,D.

（1）求證：△ABC四△4X?；

（2）若AB=4,CD=3,求四邊形ABC。的面積.

【答案】（1）見解析（2）12

【分析】（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出NC4B=NCW,N3=/D,結(jié)合已知條件，利］用“AAS”

即可求證；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得"=AO=4,BC=CO=3,根據(jù)三角形的面積公式求出SMe，SACD,再根據(jù)

四邊形ABC。的面積=SABC+S.AS求解即可.

【詳解】⑴AC平分/BARCB±AB,CD±AD,

ZCAB=ACAD,NB=ND,

AC=AC,

：.ABC=.ADC（AAS）；

（2）Z^ABC^ADC,A8=4,CO=3,

:.AB=AD=4,BC=CD=3,

ZB=ZD=90°,

S=—.AB-BC=_x4x3=6,S=—?AD-CD=—x4x3=6,

ABC22Acn22

，四邊形ABCD的面積=ABC+SACD=6+6=12.

7.（2021?江蘇無錫市）已知：如圖，AC,相交于點(diǎn)O,AB=DC,ZABO=ZDCO.

求證：（1）AABO必DCO；

（2）NOBC=NOCB.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【分析】

（1）根據(jù)AAS,即可證明LABO烏ADCO；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得。B=OC,進(jìn)而即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：（1）在，ABO與，。CO中，

AB=DC

'：＜ZABO=ZDCO,

ZAOB=ZDOC

AABO^ADCO（44S）；

（2）:△ABgADCO,

：.OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB.

【考點(diǎn)3】三角形全等綜合

【例6】如圖，在△ABC中，AB=8,AC=5,AD是△ABC的中線，則AD的取值范圍是（）

A.3<AD<13B.1.5<AD<6.5C.2.5<AD<7,5D.10<AD<16

【答案】B

【分析】延長AD到E,使AD=DE,連結(jié)BE,證明△ADC絲AEDB就可以得出BE=AC,根據(jù)三角形的三

邊關(guān)系就可以得出結(jié)論.

【詳解】解：延長AD到E,使AD=DE,連結(jié)BE.

；.BD=CD.

在小ADC^AEDB中，

CD=BD

<ZADC=ZBDE,

AD=DE

AAADC^AEDB(SAS),

；.AC=BE.

；AB-BE<AE<AB+BE,

.,.AB-AC<2AD<AB+AC.

VAB=8,AC=5,

.\1.5<AD<6.5,

故選：B

【例7】(2022?北京)在一ABC中，ZACB=90,。為ABC1內(nèi)一點(diǎn)，連接BD,DC,延長0c到點(diǎn)E,

使得CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點(diǎn)歹，使得CF=BC,連接AT,EF,若求證：BDVAF-,

（2）連接AE,交8。的延長線于點(diǎn)〃，連接CH,依題意補(bǔ)全圖2,若鉆2=4?2+3￡>2,用等式表示線段

8與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）見解析（2）CD=CH；證明見解析

【分析】（1）先利用已知條件證明FCEjBCD（SAS）,得出？CFE?CBD,推出跖〃，再由河_LEF

即可證明3D_LAF；

（2）延長BC到點(diǎn)M,使CM=CB,連接EM,AM,先證，MEC=BDC（SAS）,推出ME=3。，通過等量

代換得到AA〃=AE2+ME2,利用平行線的性質(zhì)得出？2AEM90?,利用直角三角形斜邊中線等于

斜邊一半即可得到CD=CH.

【詳解】（1）證明：在“FCE和一BCD中，

CE=CD

<ZFCE=ZBCD,

CF=CB

：.FCE=BCD(SAS),

?CFE?CBD,

：.EF//BD,

?/AF±EF,

：.BD±AF.

(2)

解:補(bǔ)全后的圖形如圖所示，CD=CH,證明如下:

延長8c到點(diǎn)使CM=CB,連接EM,AM,

VZACB=90,CM=CB,

：.AC垂直平分BM,

/.AB=AM,

在AA/EC和一3DC中,

</MCE=/BCD,

CE=CD

：.MEC=.BDC(SAS)f

：.ME=BD,2CME?CBD,

,?*AB2=AE2+BD2^

?*.AM2=AE2+ME29

：.ZAEM=90°,

■:?CME?CBD,

JBH〃EM,

：.2BHE2AEM90?,即ZZ)HE=90。，

CE=CD=-DE,

2

??.CH=-DE,

2

???CD=CH.

金躡摘訓(xùn)蚓

1.(2022?山東泰安?中考真題)正方形ABC。中，P為AB邊上任一點(diǎn)，/歸，￡)尸于E,點(diǎn)尸在。P的延長

線上，且DE=EF,連接AF、BF,/BAF的平分線交。尸于G,連接GC.(1)求證：△AEG是等腰直角

三角形；(2)求證：AG+CG=j2DG;(3)若AB=2,尸為A5的中點(diǎn)，求哥'的長.

【答案】⑴見解析⑵見解析⑶g廂

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的定義得到根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明即可;

(2)作CHLDP,交DP于H點(diǎn)、,證明AAOE之△DCH(A4S),得至ljCH=DE,DH=AE=EG,證明CG=-Ji

GH,AG=y/2DH,計(jì)算即可.

(3)過點(diǎn)/作FNLCD交ABC。分別于點(diǎn)M,N,則四邊形4VWD是矩形，根據(jù)N"N=NAT>/，得出

APDNPM1

tanZADP=tanZDFN,—=—=——=—,設(shè)MB=x,貝l]PM=l—?jiǎng)tFM=2PM=2—2%，進(jìn)而根

ADFNFM