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文檔簡介

松江區(qū)2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷

高二數(shù)學(xué)

(滿分150分,完卷時(shí)間120分鐘)

考生注意:

1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分,試卷包括試題與答題要求,所有答題必須涂(選擇題)或

寫(非選擇題)在答題紙上,做在試卷上一律不得分.

2.答題前,務(wù)必在答題紙上填寫座位號(hào)和姓名.

3.答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對應(yīng)的,答題時(shí)應(yīng)特別注意,不能錯(cuò)位.

一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1~6題每題4分,第7?12題每題5分)考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合/=巴+8),8={2,4,6,8},則/8=.

【答案】{4,6,8}

【解析】

【分析】找出集合N與集合8的公共元素,即可確定出交集.

【詳解】因?yàn)榧?=[4,+8),5={2,4,6,8),

所以/。5={4,6,8}.

故答案為:{4,6,8}.

,.4

2.若sin0=—,則cos20=

5--------

7

【答案】--

25

【解析】

4

【詳解】Vsind=~,

7

貝iJcos26=l—2sin2,=l—2

25

7

故答案為----.

25

3.函數(shù)y=lg(3x+l)+J匚1的定義域是.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式,列出使解析式有意義的不等式組,求出解集即可.

【詳解】要使函數(shù)了二年0^+9+足1有意義,則“_》〉0,解得一m<xWl,

即函數(shù)y=lg(3x+l)+J匚1的定義域?yàn)?

故答案為:[—;』.

4.在V48c中,角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,若。=4,b=6,C=;兀,則。=

6

【答案】V31

【解析】

【分析】由余弦定理可得答案.

【詳解】c2^a2+/>2-2a/)cosC=16+3-2x4x73x一方-=31,

c=VT1,

故答案為:V31.

5.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=2+3i(其中i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)亍=

【答案】3+2i

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到z,根據(jù)共飄復(fù)數(shù)的定義即可得到結(jié)果.

?HR、■+,日汽*/曰2+3i(2+3i)i—3+2i

【詳解】由意思侍,z=----=-----—=------=3—21>

ii2-1

.'.Z=3+2i.

故答案為:3+2i.

6.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積為15兀,則該圓錐的高為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件,利用側(cè)面積公式求出母線長,進(jìn)而求出圓錐的高.

【詳解】圓錐的底面半徑r=3,設(shè)其母線長為/,則?!?15兀,解得/=5,

所以該圓錐的高〃="了=752-32=4.

故答案為:4

7.已知(X+2)4=。0+。4%4,則%+%+。3+。4=-

【答案】65

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式,利用賦值法求解.

【詳解】令x=0,則有4=24=16,

再令X=l,則有+%+。2+。3+。4=34=81,

所以%+%+%+%=81-16=65,

故答案為:65.

8.已知等比數(shù)列{%}中,1082%+1。82%=3,2"2.2%=64,則即)=.

【答案】512或工

64

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求見。的值.

【詳解】因?yàn)閘og2%+log2a4=log2(%七4)=3,所以=8,

因?yàn)?%-2"3=2%+%=64,所以的+。3=6,解得。2=2,%=4或。2=4,%=2.

當(dāng)。2=2,%=4時(shí),q=2,所以a1。=2x2?=512;

當(dāng)。2=4,%=2時(shí),,所以%o=4x[g]=:.

故答案為:512或2.

64

3\x>0

9.已知函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為/(x)=1,則滿足〃機(jī))2/(陰+2)的實(shí)數(shù)加的最大值為

—,x<0

【答案】-1

【解析】

【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義可得/(x)為偶函數(shù),再利用指數(shù)函數(shù)對稱性解出不等式即可得.

【詳解】當(dāng)x〉0時(shí),有/(-x)=J=3x=/(x),又/(x)定義域?yàn)镽,故/(x)為偶函數(shù),

又當(dāng)尤>0時(shí),/(x)單調(diào)遞增,故對/(加)2/(加+2)有加,加+2|,

即加22(加+2)~,即有4〃z+4V0,解得加V-1,

故〃?的最大值為-1.

故答案為:-1.

22

10.已知點(diǎn)尸為橢圓土+匕=1上任意一點(diǎn),ER為圓N:(x-1)2+/=4的任意一條直徑,則麗.而的

43-

取值范圍是.

【答案】[-3,5]

【解析】

【分析】利用向量運(yùn)算將麗.而轉(zhuǎn)化為-4+|赤,通過求|NP|的取值范圍來求得正確答案.

【詳解】圓N的圓心為N(l,0),半徑為2.

因?yàn)槎?而=(屜—而)?(而_而卜赤.而—而.(屜+標(biāo))+標(biāo)2

=T礪H而]?COS7T—0+|祈『=-4+M.

22

又因?yàn)闄E圓\+弓_=1的。=2,b=g,c=l,N(l,0)為橢圓的右焦點(diǎn),

22/2A

設(shè)尸(%o,yo),寸+^=1/;=31-"~T=3-3%

43147-丁

X

|凹=J(x()T『+3=^o-2x0+1+3-^

L±2i2_l,

七一2…第T16二==

22

-2XQV2,-1?—-XQV1,1V2—-XQV3,

所以|貓目1,3],式網(wǎng),

APE-PFe[-3,5],

故答案為:[-3,5]

H.已知平面向量2,B的夾角為6,與商的夾角為3。,同=1,々和B-a在B上的投影為x,外則

x(v+sin^)的取值范圍是.

/V3-1V2

【答案】

4F

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知彼-方與書的夾角為28,從而根據(jù)正弦定理可得收-一,再根據(jù)投影的定

112cose

義表示出x,N,最后對x(y+sin。)化簡變形通過正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?,B的夾角為,,與1的夾角為3。,

所以與3的夾角為26,

所以根據(jù)正弦定理可得歸一“L同,同=i,

sin。sin2。

所以忸―N=同=_____J__,所以,一同=^^,

sin3sin202sin6cos82cos9

0<^<71

7T

因?yàn)?lt;0<2,<兀,所以0W,<—,

3

0<3^<7t

所以1在3上的投影為X=同cos。=cos。,

GZD

不一3在3上的投影為y=W—Wcos26=魯3,

所以x(y+sin0)=cos伏仝二+sin。)

2cos6

=-cos26>+—sin26*

22

=^^sin(2,+:)

因?yàn)?46<二,所以042?!瓷?,所以工42,+巴<小,

334412

所以q4<sin[2,+:]w',所以x(y+sin。)的取值范圍為與

(V3-1萬

故答案為:^—,―

[42J

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:此題考查平面向量的綜合問題,考查向量投影,考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用,

解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量投影的概念表示出XJ,考查計(jì)算能力,屬于難題.

12.交通信號(hào)燈由紅燈、綠燈、黃燈組成.黃燈設(shè)置的時(shí)長與路口寬度、限定速度、停車距離有關(guān).根據(jù)路

況不同,道路的限定速度一般在30千米/小時(shí)至70千米/小時(shí)之間.由相關(guān)數(shù)據(jù),駕駛員反應(yīng)距離Si(單

位:米)關(guān)于車速v(單位:米/秒)的函數(shù)模型為:邑=0.7584丫;剎車距離§2(單位:米)關(guān)于車速v

2

(單位:米/秒)的函數(shù)模型為:52=0.072v,反應(yīng)距離與剎車距離之和稱為停車距離.已知某個(gè)十字路

口寬度為30米,為保證通行安全,黃燈亮的時(shí)間是允許限速車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十

字路口,則該路口黃燈亮的時(shí)間最多為秒(結(jié)果精確到0.01秒).

【答案】3.70

【解析】

【分析】依題意求出反應(yīng)距離與,剎車距離邑,即可得到路程s,再根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系計(jì)算可

得;

【詳解】解:依題意當(dāng)小汽車最大限速v=70km/h(約19.44tn/s)時(shí),

反應(yīng)距離'=0.7584x19.44它14.7432m,殺ij車距離S?=0.072x19.442它20m,

所以停車距離為14.7432+27.2098=41.953m,

又路口寬度為30m,所以s=41.953+30=71.953m,

s71953

所以時(shí)間t=-=—x3.70s;

v19.44

故答案為:3.70

二、選擇題(本大題共有4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)每

題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上,將所選答案的代號(hào)涂黑.

13.已知?!?〉0,以下四個(gè)數(shù)中最大的是()

a+b

A.bB.yl~abC.D.

2

【答案】D

【解析】

【分析】首先得審〉癡〉b,而丘、9都是正數(shù),故只需讓它們的平方作差與0比較大小

即可.

【詳解】由題意?!?〉0,所以6="<疝,

由基本不等式可得"22J茄,同時(shí)注意到awb,所以"2〉J茄〉b,

22

jJ+必j^a+b^_a2+b2a2+2ab+b2_(a-b)2

而審都是正數(shù),所以疝〉b.

故選:D.

14.漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工,新方案將延遲法定退

休年齡每4個(gè)月延遲1個(gè)月,逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工

延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示:

1965年1965年1965年1966年

出生時(shí)間...

1月-4月5月-8月9月-12月1月-4月

改革后法定退休年齡60歲+1個(gè)月60歲+2個(gè)月60歲+3個(gè)月60歲+4個(gè)月...

那么1974年5月出生的男職工退休年齡為()

A.62歲3個(gè)月B.62歲4個(gè)月C.62歲5個(gè)月D.63歲

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造等差數(shù)列得出公差及首項(xiàng),再應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)1965年5月出生的男職工退休年齡為%=60工歲,則1966年5月出生的男職工退休年齡為

6

%—60—I—?dú)q,

264

所以公差為:,設(shè)5月出生的男職工退休年齡為{%},{4}是首項(xiàng)為60:,公差為;的等差數(shù)列,

1974年5月出生的男職工退休年齡為=60:+9x;=62、.

故1974年5月出生的男職工退休年齡為62歲5個(gè)月.

故選:c.

15.拋擲三枚硬幣,若記“出現(xiàn)三個(gè)正面”、“兩個(gè)正面一個(gè)反面”和“兩個(gè)反面一個(gè)正面”分別為事件/、8和

C,則下列說法錯(cuò)誤的是()

7

A.事件N、2?和C兩兩互斥B.尸(/)+尸(5)+P(C)=—

8

C.事件/與事件5口。是對立事件D.事件ZU5與相互獨(dú)立

【答案】C

【解析】

【分析】利用互斥事件的定義判斷A,;利用互斥事件概率加法公式求解判斷B;利用對立事件的定義判斷

C;利用相互獨(dú)立事件判斷D.

【詳解】拋擲三枚硬幣,樣本空間0={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),

(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8個(gè)樣本點(diǎn),

事件/={(正,正,正)},8={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},C={(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)},

對于A,事件48,C中任何兩個(gè)事件都不能同時(shí)發(fā)生,事件48,C兩兩互斥,A正確;

1337

對于B,P(A)+P(B)+P(C)=-+-+-=B正確;

8888

對于C,事件A與BuC可以同時(shí)不發(fā)生,事件N與事件BuC不是對立事件,C錯(cuò)誤;

131333

對于D,P(A+B)=P(A)+P(B)=-+-=P(B+C)=P(B)+P(C)=-+-=

882884

P[(^U5)n(5uC)]=P(5)=-=P(A\JB)P(BuC),則事件NUB,相互獨(dú)立,D正確.

故選:C

16.設(shè)函數(shù)y=/(x)與y=g(x)均是定義在R上的函數(shù),有以下兩個(gè)命題:①若y=/(x)是周期函數(shù),

且是R上的減函數(shù),則函數(shù)y=/(x)必為常值函數(shù);②若對任意的。,6eR,有

|/(。)一/他)閆g(a)—g(b)|成立,且=g(x)是R上的增函數(shù),則^=/(x)—g(x)是R上的增函

數(shù).則以下選項(xiàng)正確的是()

A.①是真命題,②是假命題B.兩個(gè)都是真命題

C.①是假命題,②是真命題D,兩個(gè)都是假命題

【答案】A

【解析】

【分析】用反證法判斷命題①,用反例判斷命題②.

【詳解】①若y=/(x)是周期函數(shù),設(shè)T是它的正周期,即/(x)=/(x+T),

假設(shè)函數(shù)y=/Q)不是常值函數(shù),設(shè)再</,且"xjw"%),又/(七尸/(%)恒成立,因此

/(西)〉/(%),

取〃=[上/]+1,其中[血尸]是不大于毛土的最大整數(shù),則再+〃7>%,

而/(再)=/(占+”),

所以/(西+江)>/(9),這是/(X)是減函數(shù)矛盾,所以/(再”)(工2)不成立,

所以/(%)=/(%),即/(X)是常值函數(shù),①是真命題;

②取/(x)=x,g(x)=2x,則對任意的a,b,|/3)-/倒=,一同,|g(a)—gS)|=2|"W,滿足

|/(a)-/(Z7)|<|g(?)-g(&)|,

但/(x)-g(x)=-X是減函數(shù),②是假命題.

故選:A.

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級,等級系數(shù)X依次為1、2、3、4、5,現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)

抽取20件,對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表如下:

X12345

fa0.20.45bc

(1)若所抽取的20件日用品中,等級系數(shù)為4的恰有3件,等級系數(shù)為5的恰有2件,求a、b、c的值;

(2)在(1)的條件下,將等級系數(shù)為4的3件日用品記為為、/、七,等級系數(shù)為5的2件日用品記為

%、內(nèi),現(xiàn)從為、/、七、%、為這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同),

寫出所有可能的結(jié)果,并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.

【答案】(1)(2=0.1,6=0.15,c=0.1

(2)所有可能的結(jié)果詳見解析;概率為0.4.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求ac的值,根據(jù)頻率和為1可求。的值.

(2)用列舉法寫出所有的可能性,再結(jié)合古典概型公式求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)榈燃壪禂?shù)為4的恰有3件,所以6=上3=0.15;

20

2

等級系數(shù)為5的恰有2件,所以。=一=0.1;

20

因?yàn)閍+0.2+0.45+b+c=1,所以a=0.1.

故a=0.1,6=0.15,c=0.1.

【小問2詳解】

從事、%、W、%、出這5件日用品中任取兩件,所有可能得結(jié)果有:

{再,%}'{再,七}‘{"1,%},{/,%},{*2,w}'{*2,%}‘{12,%},{工3,%}'{七,%},{乂,/}共

10種情況.

這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的結(jié)果有:{占,/},{石,七},{%,演},{必,為},共4個(gè).

4

因?yàn)槊糠N結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,所以這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率為:尸=—=0.4.

10

18.如圖,已知48_L平面NC。,AB//DE,A/CD為等邊三角形,/。=?!?248,點(diǎn)尸為CD的中

點(diǎn).

(1)求證:4F//平面3CE;

(2)求直線89和平面45C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵旦

4

【解析】

【分析】(1)設(shè)AD=DE=2AB=2a,建立空間直角坐標(biāo)系N-斗,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出

AF=^(BE+BQ,結(jié)合線面平行判定定理即可得結(jié)論;

(2)確定平面48c的一個(gè)法向量亢,利用而和力的夾角求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?5,平面/CD,AB!/DE,A/C。為等邊三角形,

設(shè)AD=DE=2AB=2a,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系幺—師,

則A(0,0,0),C(2a,0,0),5(0,0,a),D(a,V3a,0),E(a,^a,2a),

?.?尸為CD的中點(diǎn),.?/(!■生當(dāng)a,0),

AF=(1-t7,^-a,0),BE=(a,拒a,a),BC=(2a,0,-a),

—?1—■——.

AF=-(BE+BC),/廠仁平面3CE,

4F//平面5CF.

【小問2詳解】

又3=(0,1,0)是y軸上的單位向量,則其是平面45。的一個(gè)法向量,

因?yàn)槎?Qa,*a,—a),設(shè)跖和平面5CE所成的角為,,

V3

\BF-n\fl

則nilsin(9=。-LT_V3

回祠2axi4

???直線BF和平面ABC所成角的正弦值為巴.

4

19.為了打造美麗社區(qū),某小區(qū)準(zhǔn)備將一塊由一個(gè)半圓和長方形組成的空地進(jìn)行美化,如圖,長方形的邊AB

為半圓的直徑,。為半圓的圓心,=2/。=200m,現(xiàn)要將此空地規(guī)劃出一個(gè)等腰三角形區(qū)域尸(底

邊跖VLCD)種植觀賞樹木,其余區(qū)域種植花卉.謖ZMOB=d,.

jr

(1)當(dāng)。二—時(shí),求△尸AW的面積;

3

(2)求三角形區(qū)域尸跖V面積的最大值.

【答案】(1)(3750百+7500)m2

(2)(7500+5000拒)m?

【解析】

【分析】(1)利用三角函數(shù)表達(dá)出"M4E的長,再由面積公式即可求解.

(2)用,的三角函數(shù)表達(dá)出三角形區(qū)域尸九W面積,利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),求出三角形區(qū)域尸面

積的最大值.

【小問1詳解】

設(shè)肱V與48相交于點(diǎn)E,則Affi=<W.sin4=100x'=506,

32

則AfiV=Affi+EN=50百+100,^£=100+100cosy=150,

易知|Z£|等于P到MN的距離,

x(50V3+100)x150=375073+7500(m2)

【小問2詳解】

過點(diǎn)P作P尸W于點(diǎn)尸,則尸尸=ZE=100+100cos(9,

而兒W=〃E+EN=100+100sine,

則三角形區(qū)域PMN面積為S=^\MN\-\PF\=5000(1+sin6)(1+cos,)

=5000(1+sin9+cos0+sinOcos8),

TT713兀

設(shè)sine+cos8=,,因?yàn)椤K訤

45T

故/=sin,+cos6=V^sin[,+:]e[l,V^],而$也,(:056=彳^,

(尸―

則S=5000l+r+—=2500(/+l『,故當(dāng)f=0時(shí),S取得最大值,

I2J

22

5max=2500(72+1)=7500+5000^(m)

故三角形區(qū)域尸肋V面積的最大值為(7500+5000后)m2

20.如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長軸和短軸,則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線.若雙曲線G與

橢圓G是夬軸”曲線,且橢圓a::+,=l(0<b<3),e-=¥(9、02分別為曲線G、G的離

心率).已知點(diǎn)"(1,0),點(diǎn)P為雙曲線G上任意一點(diǎn).

(1)求雙曲線G的方程;

(2)延長線段PM到點(diǎn)°,且怛比|=2|MQ|,若點(diǎn)Q在橢圓。2上,試求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)P在雙曲線G的右支上,點(diǎn)/、3分別為雙曲線G的左、右頂點(diǎn),直線交雙曲線的左支于

點(diǎn)R,直線NP、8R的斜率分別為左在、kBR.是否存在實(shí)數(shù)X,使得右?=2原&?若存在,求出X的值;

若不存在,請說明理由.

【答案】(1)--/=1

(2)伍,—百)或(6,⑹或(3,0)

(3)當(dāng)尸、3重合時(shí),AeR;當(dāng)尸、3不重合時(shí),存在實(shí)數(shù)2使得左左理由見解析

22Q八

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“共軸”曲線定義,直接列式計(jì)算可得答案;

(2)設(shè)「(西,必),。(々,%),由=可得%=方,,%=-5%,代入°?方程與G方程聯(lián)

立,即可求得點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)討論當(dāng)P、8重合時(shí),2eR;P、8不重合時(shí),設(shè)出直線尸R的方程為》=卬+1,與雙曲線方程聯(lián)立,

消元后利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參,進(jìn)而證明其比值為定值.

【小問1詳解】

22

根據(jù)題意雙曲線。2:^_y_=l(O<b<3),

~9~V

因?yàn)樾?=加上x也+廿=逑,解得6=1,

J339

丫2

雙曲線G的方程為黃,=i;

【小問2詳解】

22

由⑴知,=1,C2:y+/=1,

設(shè)P(X1,必歹2),

己知"(1,0),x\PM\=2\MQ\,

mi”3-X]1

所以,%=一]%,

由點(diǎn)0在橢圓Q上,則[2)

9

又點(diǎn)p為雙曲線G上任意一點(diǎn),則1―3=1,

苞=6

聯(lián)立,解得<

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,-J5")或(6,6)或(3,0);

【小問3詳解】

當(dāng)尸、8重合時(shí),AeR;當(dāng)尸、8不重合時(shí),存在實(shí)數(shù)2=(,使得幻尸=;幻&,理由如下,

當(dāng)尸、5重合時(shí),由題意左以=0,則七尸二0,貝!J4ER,

當(dāng)尸、8不重合時(shí),kBR^Q,設(shè)直線PR的方程為x=(y+l,P(x”外),火(吃,外),

x=ty+\

-9^y2+2ty-8=0,

因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為V=±p

又直線產(chǎn)加交雙曲線的左支于點(diǎn)R,右支于點(diǎn)尸,所以/e(-3,3),

由韋達(dá)定理得,M+工=;?與,"為=三\,

t—yt—y

%必

所以k”占+3%+4%,"3_2=夕心―2%

kBR"%仍+4匕沙辦+48

/一3ty^一2

—8/c

_/2_9_X_8-2%('_9)_力

『+-16_4"(尸.9)2,

9U-9?'J

所以存在實(shí)數(shù)2=3,使得幻尸=;心&-

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題的解題思路是理解題目定義,求出雙曲線方程,根據(jù)定點(diǎn)位置合理設(shè)出直線的方

程形式,再利用直線與雙曲線的位置關(guān)系得到韋達(dá)定理,然后利用斜率公式代入消元,即可判斷是否為定

值.

21.定義在。上的函數(shù)y=f(x),若對任意不同的兩點(diǎn)5(x2,/(x2))(x1<x2),都存在

x0e(xpx2),使得函數(shù)y=f(x)在/處的切線/與直線48平行,則稱函數(shù)y=/⑺在。上處處相依,其

中/稱為直線48的相依切線,(七,%2)為函數(shù)y=f(x)在/的相依區(qū)間.己知/(x)=-(<2+l)x2+ta.

(1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)—x)=V+/(x)在R上處處相依,證明:導(dǎo)函數(shù)歹=尸(力在(0,1)上有零點(diǎn);

⑵若函數(shù)G(x)=lnx+/?D在(0,+8)上處處相依,且對任意實(shí)數(shù)加、",m>n>Q,都有

G(加)恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

m-n

0

(3)當(dāng)a=0時(shí),H(X)=^—=(X>Q),(國,%2)為函數(shù)>=〃(%)在%=1的相依區(qū)間,證明:

x;+x2>2.

【答案】(1)證明見詳解

(2)—,+co^(3)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)求出歹=廠'(了),根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷證明;

(2)根據(jù)函數(shù)G(x)在(0,+8)上處處相依,可

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