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文檔簡介
松江區(qū)2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷
高二數(shù)學(xué)
(滿分150分,完卷時(shí)間120分鐘)
考生注意:
1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分,試卷包括試題與答題要求,所有答題必須涂(選擇題)或
寫(非選擇題)在答題紙上,做在試卷上一律不得分.
2.答題前,務(wù)必在答題紙上填寫座位號(hào)和姓名.
3.答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對應(yīng)的,答題時(shí)應(yīng)特別注意,不能錯(cuò)位.
一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1~6題每題4分,第7?12題每題5分)考生
應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.
1.已知集合/=巴+8),8={2,4,6,8},則/8=.
【答案】{4,6,8}
【解析】
【分析】找出集合N與集合8的公共元素,即可確定出交集.
【詳解】因?yàn)榧?=[4,+8),5={2,4,6,8),
所以/。5={4,6,8}.
故答案為:{4,6,8}.
,.4
2.若sin0=—,則cos20=
5--------
7
【答案】--
25
【解析】
4
【詳解】Vsind=~,
7
貝iJcos26=l—2sin2,=l—2
25
7
故答案為----.
25
3.函數(shù)y=lg(3x+l)+J匚1的定義域是.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式,列出使解析式有意義的不等式組,求出解集即可.
【詳解】要使函數(shù)了二年0^+9+足1有意義,則“_》〉0,解得一m<xWl,
即函數(shù)y=lg(3x+l)+J匚1的定義域?yàn)?
故答案為:[—;』.
4.在V48c中,角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,若。=4,b=6,C=;兀,則。=
6
【答案】V31
【解析】
【分析】由余弦定理可得答案.
【詳解】c2^a2+/>2-2a/)cosC=16+3-2x4x73x一方-=31,
c=VT1,
故答案為:V31.
5.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=2+3i(其中i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)亍=
【答案】3+2i
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到z,根據(jù)共飄復(fù)數(shù)的定義即可得到結(jié)果.
?HR、■+,日汽*/曰2+3i(2+3i)i—3+2i
【詳解】由意思侍,z=----=-----—=------=3—21>
ii2-1
.'.Z=3+2i.
故答案為:3+2i.
6.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積為15兀,則該圓錐的高為.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件,利用側(cè)面積公式求出母線長,進(jìn)而求出圓錐的高.
【詳解】圓錐的底面半徑r=3,設(shè)其母線長為/,則?!?15兀,解得/=5,
所以該圓錐的高〃="了=752-32=4.
故答案為:4
7.已知(X+2)4=。0+。4%4,則%+%+。3+。4=-
【答案】65
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式,利用賦值法求解.
【詳解】令x=0,則有4=24=16,
再令X=l,則有+%+。2+。3+。4=34=81,
所以%+%+%+%=81-16=65,
故答案為:65.
8.已知等比數(shù)列{%}中,1082%+1。82%=3,2"2.2%=64,則即)=.
【答案】512或工
64
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求見。的值.
【詳解】因?yàn)閘og2%+log2a4=log2(%七4)=3,所以=8,
因?yàn)?%-2"3=2%+%=64,所以的+。3=6,解得。2=2,%=4或。2=4,%=2.
當(dāng)。2=2,%=4時(shí),q=2,所以a1。=2x2?=512;
當(dāng)。2=4,%=2時(shí),,所以%o=4x[g]=:.
故答案為:512或2.
64
3\x>0
9.已知函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為/(x)=1,則滿足〃機(jī))2/(陰+2)的實(shí)數(shù)加的最大值為
—,x<0
【答案】-1
【解析】
【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義可得/(x)為偶函數(shù),再利用指數(shù)函數(shù)對稱性解出不等式即可得.
【詳解】當(dāng)x〉0時(shí),有/(-x)=J=3x=/(x),又/(x)定義域?yàn)镽,故/(x)為偶函數(shù),
又當(dāng)尤>0時(shí),/(x)單調(diào)遞增,故對/(加)2/(加+2)有加,加+2|,
即加22(加+2)~,即有4〃z+4V0,解得加V-1,
故〃?的最大值為-1.
故答案為:-1.
22
10.已知點(diǎn)尸為橢圓土+匕=1上任意一點(diǎn),ER為圓N:(x-1)2+/=4的任意一條直徑,則麗.而的
43-
取值范圍是.
【答案】[-3,5]
【解析】
【分析】利用向量運(yùn)算將麗.而轉(zhuǎn)化為-4+|赤,通過求|NP|的取值范圍來求得正確答案.
【詳解】圓N的圓心為N(l,0),半徑為2.
因?yàn)槎?而=(屜—而)?(而_而卜赤.而—而.(屜+標(biāo))+標(biāo)2
=T礪H而]?COS7T—0+|祈『=-4+M.
22
又因?yàn)闄E圓\+弓_=1的。=2,b=g,c=l,N(l,0)為橢圓的右焦點(diǎn),
22/2A
設(shè)尸(%o,yo),寸+^=1/;=31-"~T=3-3%
43147-丁
X
|凹=J(x()T『+3=^o-2x0+1+3-^
L±2i2_l,
七一2…第T16二==
22
-2XQV2,-1?—-XQV1,1V2—-XQV3,
所以|貓目1,3],式網(wǎng),
APE-PFe[-3,5],
故答案為:[-3,5]
H.已知平面向量2,B的夾角為6,與商的夾角為3。,同=1,々和B-a在B上的投影為x,外則
x(v+sin^)的取值范圍是.
/V3-1V2
【答案】
4F
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知彼-方與書的夾角為28,從而根據(jù)正弦定理可得收-一,再根據(jù)投影的定
112cose
義表示出x,N,最后對x(y+sin。)化簡變形通過正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?,B的夾角為,,與1的夾角為3。,
所以與3的夾角為26,
所以根據(jù)正弦定理可得歸一“L同,同=i,
sin。sin2。
所以忸―N=同=_____J__,所以,一同=^^,
sin3sin202sin6cos82cos9
0<^<71
7T
因?yàn)?lt;0<2,<兀,所以0W,<—,
3
0<3^<7t
所以1在3上的投影為X=同cos。=cos。,
GZD
不一3在3上的投影為y=W—Wcos26=魯3,
所以x(y+sin0)=cos伏仝二+sin。)
2cos6
=-cos26>+—sin26*
22
=^^sin(2,+:)
因?yàn)?46<二,所以042?!瓷?,所以工42,+巴<小,
334412
所以q4<sin[2,+:]w',所以x(y+sin。)的取值范圍為與
(V3-1萬
故答案為:^—,―
[42J
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:此題考查平面向量的綜合問題,考查向量投影,考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用,
解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量投影的概念表示出XJ,考查計(jì)算能力,屬于難題.
12.交通信號(hào)燈由紅燈、綠燈、黃燈組成.黃燈設(shè)置的時(shí)長與路口寬度、限定速度、停車距離有關(guān).根據(jù)路
況不同,道路的限定速度一般在30千米/小時(shí)至70千米/小時(shí)之間.由相關(guān)數(shù)據(jù),駕駛員反應(yīng)距離Si(單
位:米)關(guān)于車速v(單位:米/秒)的函數(shù)模型為:邑=0.7584丫;剎車距離§2(單位:米)關(guān)于車速v
2
(單位:米/秒)的函數(shù)模型為:52=0.072v,反應(yīng)距離與剎車距離之和稱為停車距離.已知某個(gè)十字路
口寬度為30米,為保證通行安全,黃燈亮的時(shí)間是允許限速車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十
字路口,則該路口黃燈亮的時(shí)間最多為秒(結(jié)果精確到0.01秒).
【答案】3.70
【解析】
【分析】依題意求出反應(yīng)距離與,剎車距離邑,即可得到路程s,再根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系計(jì)算可
得;
【詳解】解:依題意當(dāng)小汽車最大限速v=70km/h(約19.44tn/s)時(shí),
反應(yīng)距離'=0.7584x19.44它14.7432m,殺ij車距離S?=0.072x19.442它20m,
所以停車距離為14.7432+27.2098=41.953m,
又路口寬度為30m,所以s=41.953+30=71.953m,
s71953
所以時(shí)間t=-=—x3.70s;
v19.44
故答案為:3.70
二、選擇題(本大題共有4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)每
題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上,將所選答案的代號(hào)涂黑.
13.已知?!?〉0,以下四個(gè)數(shù)中最大的是()
a+b
A.bB.yl~abC.D.
2
【答案】D
【解析】
【分析】首先得審〉癡〉b,而丘、9都是正數(shù),故只需讓它們的平方作差與0比較大小
即可.
【詳解】由題意?!?〉0,所以6="<疝,
由基本不等式可得"22J茄,同時(shí)注意到awb,所以"2〉J茄〉b,
22
jJ+必j^a+b^_a2+b2a2+2ab+b2_(a-b)2
而審都是正數(shù),所以疝〉b.
故選:D.
14.漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工,新方案將延遲法定退
休年齡每4個(gè)月延遲1個(gè)月,逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工
延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示:
1965年1965年1965年1966年
出生時(shí)間...
1月-4月5月-8月9月-12月1月-4月
改革后法定退休年齡60歲+1個(gè)月60歲+2個(gè)月60歲+3個(gè)月60歲+4個(gè)月...
那么1974年5月出生的男職工退休年齡為()
A.62歲3個(gè)月B.62歲4個(gè)月C.62歲5個(gè)月D.63歲
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造等差數(shù)列得出公差及首項(xiàng),再應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)1965年5月出生的男職工退休年齡為%=60工歲,則1966年5月出生的男職工退休年齡為
6
%—60—I—?dú)q,
264
所以公差為:,設(shè)5月出生的男職工退休年齡為{%},{4}是首項(xiàng)為60:,公差為;的等差數(shù)列,
1974年5月出生的男職工退休年齡為=60:+9x;=62、.
故1974年5月出生的男職工退休年齡為62歲5個(gè)月.
故選:c.
15.拋擲三枚硬幣,若記“出現(xiàn)三個(gè)正面”、“兩個(gè)正面一個(gè)反面”和“兩個(gè)反面一個(gè)正面”分別為事件/、8和
C,則下列說法錯(cuò)誤的是()
7
A.事件N、2?和C兩兩互斥B.尸(/)+尸(5)+P(C)=—
8
C.事件/與事件5口。是對立事件D.事件ZU5與相互獨(dú)立
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥事件的定義判斷A,;利用互斥事件概率加法公式求解判斷B;利用對立事件的定義判斷
C;利用相互獨(dú)立事件判斷D.
【詳解】拋擲三枚硬幣,樣本空間0={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),
(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8個(gè)樣本點(diǎn),
事件/={(正,正,正)},8={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},C={(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)},
對于A,事件48,C中任何兩個(gè)事件都不能同時(shí)發(fā)生,事件48,C兩兩互斥,A正確;
1337
對于B,P(A)+P(B)+P(C)=-+-+-=B正確;
8888
對于C,事件A與BuC可以同時(shí)不發(fā)生,事件N與事件BuC不是對立事件,C錯(cuò)誤;
131333
對于D,P(A+B)=P(A)+P(B)=-+-=P(B+C)=P(B)+P(C)=-+-=
882884
P[(^U5)n(5uC)]=P(5)=-=P(A\JB)P(BuC),則事件NUB,相互獨(dú)立,D正確.
故選:C
16.設(shè)函數(shù)y=/(x)與y=g(x)均是定義在R上的函數(shù),有以下兩個(gè)命題:①若y=/(x)是周期函數(shù),
且是R上的減函數(shù),則函數(shù)y=/(x)必為常值函數(shù);②若對任意的。,6eR,有
|/(。)一/他)閆g(a)—g(b)|成立,且=g(x)是R上的增函數(shù),則^=/(x)—g(x)是R上的增函
數(shù).則以下選項(xiàng)正確的是()
A.①是真命題,②是假命題B.兩個(gè)都是真命題
C.①是假命題,②是真命題D,兩個(gè)都是假命題
【答案】A
【解析】
【分析】用反證法判斷命題①,用反例判斷命題②.
【詳解】①若y=/(x)是周期函數(shù),設(shè)T是它的正周期,即/(x)=/(x+T),
假設(shè)函數(shù)y=/Q)不是常值函數(shù),設(shè)再</,且"xjw"%),又/(七尸/(%)恒成立,因此
/(西)〉/(%),
取〃=[上/]+1,其中[血尸]是不大于毛土的最大整數(shù),則再+〃7>%,
而/(再)=/(占+”),
所以/(西+江)>/(9),這是/(X)是減函數(shù)矛盾,所以/(再”)(工2)不成立,
所以/(%)=/(%),即/(X)是常值函數(shù),①是真命題;
②取/(x)=x,g(x)=2x,則對任意的a,b,|/3)-/倒=,一同,|g(a)—gS)|=2|"W,滿足
|/(a)-/(Z7)|<|g(?)-g(&)|,
但/(x)-g(x)=-X是減函數(shù),②是假命題.
故選:A.
三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)
定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級,等級系數(shù)X依次為1、2、3、4、5,現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)
抽取20件,對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表如下:
X12345
fa0.20.45bc
(1)若所抽取的20件日用品中,等級系數(shù)為4的恰有3件,等級系數(shù)為5的恰有2件,求a、b、c的值;
(2)在(1)的條件下,將等級系數(shù)為4的3件日用品記為為、/、七,等級系數(shù)為5的2件日用品記為
%、內(nèi),現(xiàn)從為、/、七、%、為這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同),
寫出所有可能的結(jié)果,并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.
【答案】(1)(2=0.1,6=0.15,c=0.1
(2)所有可能的結(jié)果詳見解析;概率為0.4.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求ac的值,根據(jù)頻率和為1可求。的值.
(2)用列舉法寫出所有的可能性,再結(jié)合古典概型公式求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)榈燃壪禂?shù)為4的恰有3件,所以6=上3=0.15;
20
2
等級系數(shù)為5的恰有2件,所以。=一=0.1;
20
因?yàn)閍+0.2+0.45+b+c=1,所以a=0.1.
故a=0.1,6=0.15,c=0.1.
【小問2詳解】
從事、%、W、%、出這5件日用品中任取兩件,所有可能得結(jié)果有:
{再,%}'{再,七}‘{"1,%},{/,%},{*2,w}'{*2,%}‘{12,%},{工3,%}'{七,%},{乂,/}共
10種情況.
這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的結(jié)果有:{占,/},{石,七},{%,演},{必,為},共4個(gè).
4
因?yàn)槊糠N結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,所以這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率為:尸=—=0.4.
10
18.如圖,已知48_L平面NC。,AB//DE,A/CD為等邊三角形,/。=?!?248,點(diǎn)尸為CD的中
點(diǎn).
(1)求證:4F//平面3CE;
(2)求直線89和平面45C所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
⑵旦
4
【解析】
【分析】(1)設(shè)AD=DE=2AB=2a,建立空間直角坐標(biāo)系N-斗,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出
AF=^(BE+BQ,結(jié)合線面平行判定定理即可得結(jié)論;
(2)確定平面48c的一個(gè)法向量亢,利用而和力的夾角求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?5,平面/CD,AB!/DE,A/C。為等邊三角形,
設(shè)AD=DE=2AB=2a,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系幺—師,
則A(0,0,0),C(2a,0,0),5(0,0,a),D(a,V3a,0),E(a,^a,2a),
?.?尸為CD的中點(diǎn),.?/(!■生當(dāng)a,0),
AF=(1-t7,^-a,0),BE=(a,拒a,a),BC=(2a,0,-a),
—?1—■——.
AF=-(BE+BC),/廠仁平面3CE,
4F//平面5CF.
【小問2詳解】
又3=(0,1,0)是y軸上的單位向量,則其是平面45。的一個(gè)法向量,
因?yàn)槎?Qa,*a,—a),設(shè)跖和平面5CE所成的角為,,
V3
\BF-n\fl
則nilsin(9=。-LT_V3
回祠2axi4
???直線BF和平面ABC所成角的正弦值為巴.
4
19.為了打造美麗社區(qū),某小區(qū)準(zhǔn)備將一塊由一個(gè)半圓和長方形組成的空地進(jìn)行美化,如圖,長方形的邊AB
為半圓的直徑,。為半圓的圓心,=2/。=200m,現(xiàn)要將此空地規(guī)劃出一個(gè)等腰三角形區(qū)域尸(底
邊跖VLCD)種植觀賞樹木,其余區(qū)域種植花卉.謖ZMOB=d,.
jr
(1)當(dāng)。二—時(shí),求△尸AW的面積;
3
(2)求三角形區(qū)域尸跖V面積的最大值.
【答案】(1)(3750百+7500)m2
(2)(7500+5000拒)m?
【解析】
【分析】(1)利用三角函數(shù)表達(dá)出"M4E的長,再由面積公式即可求解.
(2)用,的三角函數(shù)表達(dá)出三角形區(qū)域尸九W面積,利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),求出三角形區(qū)域尸面
積的最大值.
【小問1詳解】
設(shè)肱V與48相交于點(diǎn)E,則Affi=<W.sin4=100x'=506,
32
則AfiV=Affi+EN=50百+100,^£=100+100cosy=150,
易知|Z£|等于P到MN的距離,
x(50V3+100)x150=375073+7500(m2)
【小問2詳解】
過點(diǎn)P作P尸W于點(diǎn)尸,則尸尸=ZE=100+100cos(9,
而兒W=〃E+EN=100+100sine,
則三角形區(qū)域PMN面積為S=^\MN\-\PF\=5000(1+sin6)(1+cos,)
=5000(1+sin9+cos0+sinOcos8),
TT713兀
設(shè)sine+cos8=,,因?yàn)椤K訤
45T
故/=sin,+cos6=V^sin[,+:]e[l,V^],而$也,(:056=彳^,
(尸―
則S=5000l+r+—=2500(/+l『,故當(dāng)f=0時(shí),S取得最大值,
I2J
22
5max=2500(72+1)=7500+5000^(m)
故三角形區(qū)域尸肋V面積的最大值為(7500+5000后)m2
20.如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長軸和短軸,則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線.若雙曲線G與
橢圓G是夬軸”曲線,且橢圓a::+,=l(0<b<3),e-=¥(9、02分別為曲線G、G的離
心率).已知點(diǎn)"(1,0),點(diǎn)P為雙曲線G上任意一點(diǎn).
(1)求雙曲線G的方程;
(2)延長線段PM到點(diǎn)°,且怛比|=2|MQ|,若點(diǎn)Q在橢圓。2上,試求點(diǎn)尸的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P在雙曲線G的右支上,點(diǎn)/、3分別為雙曲線G的左、右頂點(diǎn),直線交雙曲線的左支于
點(diǎn)R,直線NP、8R的斜率分別為左在、kBR.是否存在實(shí)數(shù)X,使得右?=2原&?若存在,求出X的值;
若不存在,請說明理由.
【答案】(1)--/=1
(2)伍,—百)或(6,⑹或(3,0)
(3)當(dāng)尸、3重合時(shí),AeR;當(dāng)尸、3不重合時(shí),存在實(shí)數(shù)2使得左左理由見解析
22Q八
【解析】
【分析】(1)根據(jù)“共軸”曲線定義,直接列式計(jì)算可得答案;
(2)設(shè)「(西,必),。(々,%),由=可得%=方,,%=-5%,代入°?方程與G方程聯(lián)
立,即可求得點(diǎn)尸的坐標(biāo);
(3)討論當(dāng)P、8重合時(shí),2eR;P、8不重合時(shí),設(shè)出直線尸R的方程為》=卬+1,與雙曲線方程聯(lián)立,
消元后利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參,進(jìn)而證明其比值為定值.
【小問1詳解】
22
根據(jù)題意雙曲線。2:^_y_=l(O<b<3),
~9~V
因?yàn)樾?=加上x也+廿=逑,解得6=1,
J339
丫2
雙曲線G的方程為黃,=i;
【小問2詳解】
22
由⑴知,=1,C2:y+/=1,
設(shè)P(X1,必歹2),
己知"(1,0),x\PM\=2\MQ\,
mi”3-X]1
所以,%=一]%,
由點(diǎn)0在橢圓Q上,則[2)
9
又點(diǎn)p為雙曲線G上任意一點(diǎn),則1―3=1,
苞=6
聯(lián)立,解得<
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,-J5")或(6,6)或(3,0);
【小問3詳解】
當(dāng)尸、8重合時(shí),AeR;當(dāng)尸、8不重合時(shí),存在實(shí)數(shù)2=(,使得幻尸=;幻&,理由如下,
當(dāng)尸、5重合時(shí),由題意左以=0,則七尸二0,貝!J4ER,
當(dāng)尸、8不重合時(shí),kBR^Q,設(shè)直線PR的方程為x=(y+l,P(x”外),火(吃,外),
x=ty+\
-9^y2+2ty-8=0,
因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為V=±p
又直線產(chǎn)加交雙曲線的左支于點(diǎn)R,右支于點(diǎn)尸,所以/e(-3,3),
由韋達(dá)定理得,M+工=;?與,"為=三\,
t—yt—y
%必
所以k”占+3%+4%,"3_2=夕心―2%
kBR"%仍+4匕沙辦+48
/一3ty^一2
—8/c
_/2_9_X_8-2%('_9)_力
『+-16_4"(尸.9)2,
9U-9?'J
所以存在實(shí)數(shù)2=3,使得幻尸=;心&-
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題的解題思路是理解題目定義,求出雙曲線方程,根據(jù)定點(diǎn)位置合理設(shè)出直線的方
程形式,再利用直線與雙曲線的位置關(guān)系得到韋達(dá)定理,然后利用斜率公式代入消元,即可判斷是否為定
值.
21.定義在。上的函數(shù)y=f(x),若對任意不同的兩點(diǎn)5(x2,/(x2))(x1<x2),都存在
x0e(xpx2),使得函數(shù)y=f(x)在/處的切線/與直線48平行,則稱函數(shù)y=/⑺在。上處處相依,其
中/稱為直線48的相依切線,(七,%2)為函數(shù)y=f(x)在/的相依區(qū)間.己知/(x)=-(<2+l)x2+ta.
(1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)—x)=V+/(x)在R上處處相依,證明:導(dǎo)函數(shù)歹=尸(力在(0,1)上有零點(diǎn);
⑵若函數(shù)G(x)=lnx+/?D在(0,+8)上處處相依,且對任意實(shí)數(shù)加、",m>n>Q,都有
G(加)恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
m-n
0
(3)當(dāng)a=0時(shí),H(X)=^—=(X>Q),(國,%2)為函數(shù)>=〃(%)在%=1的相依區(qū)間,證明:
x;+x2>2.
【答案】(1)證明見詳解
(2)—,+co^(3)證明見詳解
【解析】
【分析】(1)求出歹=廠'(了),根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷證明;
(2)根據(jù)函數(shù)G(x)在(0,+8)上處處相依,可
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