湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題：平行四邊形的性質(zhì)與判定（八種模型）解析版

專題05平行四邊形的性質(zhì)與判定壓軸題八種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【考點(diǎn)一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】.......................................................1

【考點(diǎn)二利用平行四邊形的性質(zhì)證明】.......................................................3

【考點(diǎn)三判斷能否構(gòu)成平行四邊形】........................................................7

【考點(diǎn)四添一個(gè)條件成為平行四邊形】......................................................10

【考點(diǎn)五證明四邊形是平行四邊形】.......................................................12

【考點(diǎn)六平行四邊形中的折疊問(wèn)題】.......................................................16

【考點(diǎn)七利用平行四邊形的性質(zhì)無(wú)刻度作圖】................................................18

【考點(diǎn)八利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】................................................21

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】.........................................................................27

【典型例題】

【考點(diǎn)一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】

例題：（2024上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在YABCD中，蛇平分/ABC,交AD于點(diǎn)凡CE平

分NBCD,交AD于點(diǎn)E,AB=6,BC=9,則E尸長(zhǎng)為.

【答案】3

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊；熟練掌握平行四

邊形的性質(zhì)，得出AF=AB是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AD〃BC,DC^AB=6,AD=BC=9；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

相等可得N/aB=NEBC；根據(jù)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平

分線可得=推得//叱=/，4萬(wàn)8,根據(jù)等角對(duì)等邊可得AF=AB=6,DE=DC=6,即可列出

等式，求解.

【詳解】解：回四邊形A5CD是平行四邊形，

回DC=AB^6,AD=BC=9,

回AD/BC,

^ZAFB=ZFBC,

回8尸平分/ABC,

^iZABF=ZFBC,

則NABR=NAFB,

0AF=AB=6,

同理可證：DE=DC=6,

^\EF=AF+DE-AD=2,

即6+6-EF=9,

解得：EF=3；

故答案為：3.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在YABCD中，AD=1O,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，

AC+BD=24,則由）C的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【答案】22

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長(zhǎng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的對(duì)角線互相

平分.根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分求出OC+的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：回四邊形ABCD是平行四邊形，

^iAO=OC=-ACBO=OD=-BD,AD=BC=10,

0AC+BD=24,

0（9C+B（9=12,

EIABOC的周長(zhǎng)=OC+OB+3C=12+10=22.

故答案為：22.

2.（2023上?山東淄博?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，YABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，且ADwCD,過(guò)點(diǎn)。

作MOJ_AC,交于點(diǎn)M.如果回COM的周長(zhǎng)為8,那么YABCD的周長(zhǎng)是.

【答案】16

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及周長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，證得AM=MC是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)題意，。河垂直平分AC,所以MC=MA,因此VCDM的周長(zhǎng)=AD+CD,可得平行四邊形ABCD

的周長(zhǎng).

【詳解】解：回ABCD是平行四邊形，

團(tuán)Q4=OC,

EOM±AC,

SAM=MC.

0VCDM的周長(zhǎng)=">+CD=8,

團(tuán)平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是2*8=16.

故答案為16.

【考點(diǎn)二利用平行四邊形的性質(zhì)證明】

例題：（2023下?廣東廣州?八年級(jí)校考期中）平行四邊形ABCD中，AE.分別平分S4B和/ABC交8

于點(diǎn)E、F,AE、BF交于點(diǎn)G.

DFEC

⑴求證：AE±BF；

⑵判斷DE和CF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)DE=CF,理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型；

(1)證明NBAE+NAB尸=90。，即可推出/AGS=90。即AE_L8尸；

(2)證明=產(chǎn)=BC,再利用平行四邊形的性質(zhì)A￡>=3C,即可解決問(wèn)題；

【詳解】(1)證明：如圖，國(guó)在平行四邊形ABCD中，AD//BC,

.-.ZDAB+ZABC=180°,

■：AE.BF分別平分ZDAB和ZABC,

ADAB=2NBAE/ABC=2NABF,

2ABAE+2AABF=180°,ZBAE+ZABF=90°,

:.ZAGB=90°,

:.AE.LBF；

(2)解：結(jié)論：線段DR與CE是相等關(guān)系，即OA=CE,

團(tuán)在平行四邊形A3CD中，CD//AB,

：.ZDEA=ZEAB,

又平分/IMS,

:.ZDAE=ZEAB,

:.ZDEA=ZDAE,

:.DE=AD,同理可得，CF=BC,

又團(tuán)在平行四邊形ABCD中，AD=BC,

r.DE=CF.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?福建廈門?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長(zhǎng)8C到點(diǎn)E,使得

CE=BC,連接AE交CO于點(diǎn)尸.證明：AAFD^AEFC.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的證明.

由平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃3C,AD=BC,從而ND=NFCE,AD=CE,又/AED=/EFC,通過(guò)"AAS"

證得△>1￡）戶名△ECF.

【詳解】回四邊形ABCD是平行四邊形，

回AD〃5C,AD=BC,

國(guó)ND=NFCE,

BAD=BC,CE=BC,

團(tuán)AD=CE,

回在△4)尸和ZXEC戶中,

ZD=ZFCE

</AFD=/EFC,

AD=EC

0Z\ADF^AECF(AAS).

2.（2023下?廣東佛山?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=23C,點(diǎn)E為A3的中點(diǎn),

連接CE并延長(zhǎng)與ZM的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

⑴求證：AAEF^ABEC；

⑵求證：DE是NCDb的平分線.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，連接CE并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸得CB〃。尸，則

ZBCE=ZAFE,根據(jù)點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)得/叱=3萬(wàn)，利用A4s即可證明；

（2）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形得AB〃CD,可得ZAED=NCDE,根據(jù)AB=2BC,點(diǎn)E為A3的中

點(diǎn)，得A￡=AD,則NAED=N4DE,等量代換得NCDE=NADE,即可得.

【詳解】（1）證明：回四邊形ABCD是平行四邊形，連接CE并延長(zhǎng)與D4的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R

^CB//DF,

EINBCE=NAFE,

回點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

^AE=BE,

在△A￡F和A3EC中，

ZAFE=NBCE

<NAEF=NBEC,

AE=BE

0AAEF^ABEC（AAS）；

（2）證明：回四邊形ABCD是平行四邊形，

^AB//CD,

國(guó)NAED=NCDE,

EAB=2BC,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

回AE=AD,

^ZAED^ZADE,

SZCDE=ZADE,

回OE是NCDF的平分線.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是理解

題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn).

3.（2023上?北京海淀?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，YA3CD的對(duì)角線4。,8。交于點(diǎn)。,所過(guò)點(diǎn)。且分別與

AD,BC交于點(diǎn)E,尸.

AED

a

BFC

⑴求證：^AOE^ACOF；

⑵記四邊形ABEE的面積為H，平行四邊形ABCD的面積為邑，用等式表示耳和邑的關(guān)系.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵岳=、

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD〃3C,Q4=OC,進(jìn)而得到NQ4E=NOCF,NOEA=NOFC,

由此可利用AAS證明AAOE^ACOF；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S“AOE=S,C°F，進(jìn)而可證明＜=2鉆?=152.

【詳解】（1）證明：回四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AG3D交于點(diǎn)。，

SiAD//BC,OA=OC,

^\ZOAE=ZOCF,ZOEA=ZOFC,

EAAOE絲/（AAS）

（2）解：BzMOE^ACOF,

回S^AOE—S&COF，

=

團(tuán)S四邊形A5f-S四邊形AB/。+S/^AOE=S四邊形A漢芭=S四邊形人跳笫+^ACOF^AABC，

又回^AABC二萬(wàn)S四邊形.co,

回，=；$2?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角

線互相平分是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三判斷能否構(gòu)成平行四邊形】

例題：（2023下?北京海淀?八年級(jí)北京市H^一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與8。

相交于點(diǎn)。，下列條件中不能判定四邊形ABC。是平行四邊形的是（）

A.OA=OC,OB=ODB.AB//CD,AD//CB

C.AB=CD,AD=CBD.AB//CD,AD=CB

【答案】D

【分析】由平行四邊形的判定定理對(duì)邊對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、13OA=OC,OB=OD,

回四邊形ABCD是平行四邊形,故選項(xiàng)A不符合題意;

B、SAB//CD,AD//CB,

回四邊形ABCD是平行四邊形,故選項(xiàng)2不符合題意;

C、0AS=CD,AD=CB,

回四邊形ABCD是平行四邊形,故選項(xiàng)C不符合題意;

D、由AB〃CD,AD=CB,不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)。符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023下?江西贛州?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在YABCD中，點(diǎn)E,歹分別在BC,AD1..下列條件

中，不能得出四邊形AEW一定為平行四邊形的是（）

C.AE//CFD.ZBAE=ZDCF

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】人、回四邊形A3CD為平行四邊形,

^\AD//BC,即A尸〃CE.

又AF=CE,

回四邊形AEC尸為平行四邊形.（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）

該選項(xiàng)不符合題意.

B、無(wú)法證明四邊形AEC尸為平行四邊形，該選項(xiàng)符合題意.

C、回四邊形ABCD為平行四邊形，

^AD//BC,即Ab〃CE.

又A￡〃CP,

回四邊形AECF為平行四邊形.（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形）

該選項(xiàng)不符合題意.

。、國(guó)四邊形A3CD為平行四邊形，

E1ZBAD=ZBCD,ZB=ZD.

又NBAE=NDCF,ZEAF=ZBAD-ZBAE,ZFCE=ZBCD-ZDCF,

E?E4F?FCE.

田NAEC=NB+NBAE,ZAFC=ZD+ZDCF,

^\ZAEC=ZAFC.

回四邊形AECF為平行四邊形.（兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形）

該選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，牢記平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2023下?安徽合肥?八年級(jí)校考期末）如圖，AD//BC,AD=BC,E、E是線段8。上的兩點(diǎn)，則以

下條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）

A.BE=DFB.ZAEB=ZDFC

C.AF=FED.AE±BD,CFLBD

【答案】C

【分析】連接A3、CD、AC交3。于點(diǎn)O,根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得。4=OC,OB=OD,

再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE=O尸即可，然后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判

斷結(jié)合平行四邊形的判定即可得解.

【詳解】解：連接AB,CD,

\AD\\BC,AD=BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

連接AC交于0,

AO=OC,BO=OD,

?；BE=DF,

:.OE=OF,

，四邊形是平行四邊形，故A不符合題意；

■.■ZAEB=ZCFD,

\?AEO7CFO,

:.AE//CF,

ZAOE=ZCOF,AO=OC,

AAOE^ACOF(AAS),

.-.AE=CF,

.??四邊形AECF是平行四邊形，故8不符合題意；

■.■AF=FE,故無(wú)法判定四邊形AECB是平行四邊形，故C符合題意；

-.■AE±BD,CFYBD,

:.ZAEB=ZCFD,

以下的證明與2相同，故。選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)

與判定是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四添一個(gè)條件成為平行四邊形】

例題：(2023下?福建福州,八年級(jí)?？计谥?如圖，E,尸是。ASCD對(duì)角線上的兩點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適

當(dāng)?shù)臈l件：，使四邊形AECV是平行四邊形.

【答案】BE=DF或BF=DE或NBAE=NDCF.

【分析】用反推法，假如四邊形是平行四邊形，會(huì)推出什么結(jié)果，這結(jié)果就是要添加的條件.

【詳解】解：使四邊形是平行四邊形.就要使AE||b,AE=CF,就要使三△CfD,而在

平行四邊形中已有=8,//腔=/。0尸，再加一個(gè)班=0戶或班'=/汨可用5人$證人4￡6三45），

或ZBAE=ZDCF用ASA證AAEB=ACFD.

故答案為：BE=DF或BF=DE或/BAE=NDCF.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，本題是開(kāi)放題，答案不唯一，可以針對(duì)各種特殊的平行四

邊形的判定方法，給出條件，本題主要是通過(guò)給出證明的條件來(lái)得到AE||Cb,AE=CF,

根據(jù)四邊形中一組對(duì)邊平行且相等就可證明為是平行四邊形.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023下?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在口DEBF中,A、C分別為邊￡D、3尸上的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)?/p>

目前圖形中添加一個(gè)條件,使四邊形ABCD是平行四邊形.

【答案】AD=BC

【分析】在口DEM中可得即〃3尸，即AD〃BC,添加A￡>=3C,滿足一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平

行四邊形.

【詳解】解：添加條件AD=3C,

???四邊形DEB尸是平行四邊形，

:.ED//BF,

即AT>〃3C,

■.■AD=BC,

二四邊形ABC。是平行四邊形.

故答案為：AD=BC.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

2.（2023下?廣東東莞?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=9cm,BC=6cm,

點(diǎn)P在AD邊上以每秒2cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)2在邊上，以每秒1cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)

動(dòng),當(dāng)____秒時(shí)，直線PQ在四邊形ABCD內(nèi)部能截出一個(gè)平行四邊形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定可知，分兩種情況：①”=和②Z）P=CQ,據(jù)此建立方程，解方程即

可得.

【詳解】解：設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)，秒時(shí)，直線PQ在四邊形ABC。內(nèi)部能截出一個(gè)平行四邊形，

則AP=2fcm,CQ=tcm,

?：AD=9cm,BC=6cm,

:.DP=AD-AP=（9-2t）cm,BQ=BC-CQ=（6-t）cm,

由題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)AP=8Q時(shí)，四邊形A3QP是平行四邊形，

則2f=6-f,

解得t=2；

②當(dāng)加=C。時(shí)，四邊形COPQ是平行四邊形，

則9-2N，

解得t=3；

綜上，當(dāng)2秒或3秒時(shí)，直線PQ在四邊形內(nèi)部能截出一個(gè)平行四邊形，

故答案為：2或3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五證明四邊形是平行四邊形】

例題：（2023上?山東東營(yíng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，YABCD的對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。,

BMYAC,DN1AC,垂足分別為V,N.求證：四邊形3MDN是平行四邊形.

BC

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)

得至=ZBAM=ZDCN,然后證明出△ABM絲△CDN(AAS),得到=然后證明出

MB//DN,即可證明四邊形物〃W是平行四邊形.熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】回四邊形ABC。是平行四邊形

^AB=CD,ZBAM=ZDCN

0BM1AC,DN.LAC

^ZAMB=ACND=^°

絲△CZW(AAS)

QMB=DN

0BM1AC,DN1AC

0NOMB=ZOND=90°

0MB〃DN

回四邊形3MDN是平行四邊形.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023下?天津?八年級(jí)?？计谥?如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G,X分別是AB,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)區(qū)F

在對(duì)角線AC上，且=

AD

⑴求證：AAGE名ACHF；

⑵求證：四邊形EG切是平行四邊形.

【答案】⑴證明過(guò)程見(jiàn)詳解

⑵證明過(guò)程見(jiàn)詳解

【分析】⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得/2MC=/ACD,根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得=根據(jù)全等三角

形的判定方法"邊角邊"即可求證；

(2)由(1)可知AAGE2△CHF(SAS),可得GE=HF,ZAEG=Z.CFH,運(yùn)用平角的計(jì)算可得NGEF=HFE,

根據(jù)平行四邊形的判定即可求證.

【詳解】(1)證明：回四邊形ABCD是平行四邊形，

0AB//CD,AB=CD,

S\ZBAC=ZACD,

國(guó)點(diǎn)G,"分別是AB,CD的中點(diǎn)，

0AG=BG=-AB,CH=DH=-CD,

22

回AG=CG,

在VAGE,VCHF中,

AG=CH

<ZGAE=ZHCF,

AE=CF

0Z\AGE^△CHF(SAS).

(2)證明：由(1)可知，^AGE四△CHF(SAS),

SGE=HF,ZAEG=ZCFH,

ZAEG+ZGEF=180°,NCFH+ZHFE=180°,

QZGEF=HFE,

^GE//HF,

回四邊形EGFH是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是

解題的關(guān)鍵.

2.(2023下?江西宜春?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖所示，將YABCD的AD邊延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使

2

連接CE,尸是8c邊的中點(diǎn)，連接ED.

ADE

⑴求證：四邊形c西尸是平行四邊形；

⑵若AB=6,AD=8,NA=60。，求CE的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)2手

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AD//BC,進(jìn)而利用已知得出OE=FT,DE//FC,

進(jìn)而得出答案；

(2)首先過(guò)點(diǎn)。作DV_L3C于點(diǎn)N,再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出。尸的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】(1)證明：?四邊形43CD是平行四邊形，

:.AD^BC,AD//BC,

:DE《AD,尸是BC邊的中點(diǎn)，

2

:.DE=FC,DE//FC,

..?四邊形CEDE是平行四邊形

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作ON,3c于點(diǎn)N,

由(1)得：四邊形CMP是平行四邊形，

:.CE=DF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，ZA=60°,

:.ZBCD=ZA=60°,CD=AB=6,BC=AD=8,

ZCDN=90°-60°=30°,

:.NC=-DC=3,

2

在RMCDN中，NDNC=90°,

DN=yJCD2-NC2=3A/3，

又,.?尸是BC邊的中點(diǎn)，

:.FC=~BC=4,

2

:.FN=FC-NC=1,

在RQDFN中,ZDNF=90°,

EC=DF=ylDN2+FN2=2用■

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等、直角三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行四邊

形的判定方法是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)六平行四邊形中的折疊問(wèn)題】

例題：（2023上?江蘇南通?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，ZA=70°,將平行四邊形折疊，

使點(diǎn)。、C分別落在點(diǎn)尸、E處（點(diǎn)RE都在A3所在的直線上），折痕為MN,則NAMF等于.

DC

【答案】40。/40度

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì).根據(jù)平行四邊形和折疊的性質(zhì)，得到“=石，進(jìn)

而求出的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：回平行四邊形ABCD,

^\CD//AB,

0Zr>=18Oo-zS4=llO°,

團(tuán)折疊，

0ZZ）=ZMfE=llO°,

EZAFM=180°—ZMFE=70°,

0ZAMF=180°-ZA-ZAFM=40°；

故答案為：40°.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023下?河南鄭州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將YABCD沿對(duì)角線3D折疊，使點(diǎn)A落在E處.若/1=60。,

/2=40。，則/A的度數(shù)為_(kāi)______.

【答案】110°/110度

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和外角定義證明Nl=NFBD+NFD3=60。，得NFBD=NFDB=30°,由翻

折可得ZEDB=N2=40°,然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：設(shè)BE,DC交于點(diǎn)F如圖，

回四邊形ABCD是平行四邊形，

S1AB//CD,

S1ZABD=ZCDB,

由翻折可知：ZABD=ZEBD,

EZEBD=ZCDB,//=/>,

0FB=FD,

@ZFBD=NFDB,

0Z1=ZFBD+ZFDB=60°,

0ZFBD=ZFDB=30°,

由翻折可知：NEDB=22=40°,

0Z.EDF=NEDB-NFDB=40°一30°=10°,

0ZE=18O°-6OO-1OO=11O°,

0ZA=ZE=11O°.

故答案為：110°.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角定義，三角形內(nèi)角和定理，

解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

2.（2023下?山西臨汾?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，E為邊CD上一點(diǎn)、,將VADE沿AE

折疊至△AD宏處，AD'與CE交于點(diǎn)凡若/B=55°,ZDAE=2O°,則Z/曲的大小為.

【答案】30。/30度

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得"=々=55。，由折疊的性質(zhì)得：ZD,=ZD=55°,ZEAD'=ZDAE=20°,

由三角形外角性質(zhì)求出/AEF=70。，由三角形內(nèi)角和求出ZA￡D=105。，即可求得ZEE。的大小.

【詳解】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

.-.Z￡）=Zfi=55o,

由折疊的性質(zhì)得：ZD'=ZD=55°,ZEAD'=ZDAE=20°,

ZAEF=ZD+ZDAE=550+20°=75°,ZAED'=1800-ZE4D,-ZD=105°,/./FED'=1050-75°=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌

握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)七利用平行四邊形的性質(zhì)無(wú)刻度作圖】

例題：（2023上?江蘇泰州?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，只用無(wú)刻度的直尺按下列

要求畫圖.（不寫畫法）

圖1圖2

⑴在圖1中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，作邊AD上的中點(diǎn)R

(2)在圖2中，/ABC的平分線交AD于點(diǎn)凡在邊8C上的找點(diǎn)P,使得連接DP后，DP平分NADC.

【答案】⑴見(jiàn)詳解

(2)見(jiàn)詳解

【分析】本題主要考查利用平行四邊形性質(zhì)作圖,

(1)利用平行四邊形對(duì)角線相互平分的性質(zhì)，即可確定EO〃A5,且點(diǎn)E為中點(diǎn)，即可求得點(diǎn)尸也為中點(diǎn);

(2)利用平行四邊形對(duì)角線相互平分的性質(zhì)，可判定四邊形EBPD為平行四邊形，結(jié)合平分/ABC,

則。尸即為所求.

【詳解】(1)解：連接AC和交于點(diǎn)。，連接E0,延長(zhǎng)E0交AD于點(diǎn)見(jiàn)如圖，

(2)連接AC和3。交于點(diǎn)。，連接尸。，延長(zhǎng)尸。交8C于點(diǎn)尸，如圖,

【變式訓(xùn)練】

1.(2023下?江西吉安?八年級(jí)統(tǒng)考期末)例在YABCD中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺按要求作

圖(保留作圖痕跡，不寫作法，題目要求畫的線畫實(shí)線，其他的線畫虛線)

圖1圖2

⑴如圖1,E為邊上一點(diǎn)，AE=AD,畫出回。的角平分線;

⑵如圖2,E為AB邊上一點(diǎn)，AE=AD,畫出回8的角平分線.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)連接。E,由AE=">得NAED=NADE,結(jié)合平行線的性質(zhì)可得NA￡D=NCDE,進(jìn)而可得

OE平分/ADC,即￡>E即為所求；

(2)連接AC,BD交于點(diǎn)0,連接E。并延長(zhǎng)交8點(diǎn)E連接所，B尸為所求.

【詳解】(1)解：如圖：OE即為所求.

(2)解：如圖：8尸即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊

形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

2.(2023上?湖北黃石?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖是由小正方形組成的8x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格

點(diǎn).四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖(畫圖過(guò)程用虛線，畫

圖1圖2

(1)判斷四邊形ABCD的形狀；

(2)在圖1中，在8上畫點(diǎn)E,使/ABE=45。；

⑶在圖2中的CO上畫點(diǎn)G,使CG=AD.

【答案】⑴平行四邊形

⑵見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握平行四邊

形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，判定四邊形ABCD的形狀即可；

(2)如圖1,點(diǎn)A向右4個(gè)格點(diǎn)，向下3個(gè)格點(diǎn)為M,連接,則AABM是等腰直角三角形,則ZABM=45°,

與8的交點(diǎn)E即為所求；

(3)如圖2,C向右1個(gè)格點(diǎn)為尸，貝i]8P=5=AB,連接AP,貝必ABP是等腰三角形，C向上2個(gè)格點(diǎn)為

H,則“為釬的中點(diǎn)，連接3",則ZABH=NPBH,延長(zhǎng)跳/交8于G,由可知，

NBGC=ZABH=NPBG,貝liCG=BC=4,點(diǎn)G即為所求.

【詳解】(1)解：由題意知，AD〃BC,AD=4=BC,AS=CD=V32+42=5.

回四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)解：如圖1,點(diǎn)E即為所求；

圖1

(3)解：如圖2,點(diǎn)G即為所求;

圖2

【考點(diǎn)八利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】

例題：(2023下?廣東深圳?八年級(jí)校考期末)已知：如圖，E、尸是YABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn).

A

D

'E

⑴若AE=CF,求證：四邊形班Z史是平行四邊形；

(2)若DEIAC,BF1AC,垂足分別為E、F,ZEDF=35°,求NFBE的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)35°

【分析】(1)連接8。交AC于O,根據(jù)YABCD,得OB=OD,OA=OC,繼可證得OE=。尸，即可由平

行四邊形的判定定理得出結(jié)論.

(2)先由族147,得出/4￡0=/班。=90。，DE//BF,再證AADE咨ACBF(AAS),得DE=BF,

從而證得四邊形BEDE是平行四邊形，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得ZFBE=ZEDF=35°.

【詳解】(1)證明：連接交AC于。，

EYABCD,

回OB=OD,OA=OC,

SAE^CF,

BAE-OA=CF-OC,即OE=O尸，

回四邊形BFDE是平行四邊形.

(2)解：0DE7AC,BF1AC,

BZAED=ZBFC^90°,DE//BF,

0YABCD,

^\AD=BC,AD//BC,

^iZDAE^ZBCF,

在VADE和VCBb中,

NDAE=NBCF

<ZAED=ZBFC,

AD=BC

0AADE^ACBF(AAS),

^DE=BF,

回四邊形BFDE是平行四邊形

ONFBE=NEDF=35°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023下?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)校考期中)如圖，YABCD中，E、F分別是A3、8上的點(diǎn)，且BE=DF,

連接昉交3D于O.

⑴連接即、DE,判斷四邊形。斷的形狀并說(shuō)明理由.

(2)若AE=6,BE=2,尸的面積為2,求YABCD的面積.

(3)若SD_LAD,NA=45。，EF±AB,延長(zhǎng)E/交的延長(zhǎng)線于G,當(dāng)尸G=1時(shí)，則AB的長(zhǎng)為

【答案】(1)四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；

⑵16；

(3)4；

【分析】(1)分別證明BE=DF,即可；

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)，由ABQ尸的面積為2,得到邑中=4,再利用三角形同底等高的性質(zhì)，得到

△及汨的面積，再求出邑皿,=8,則可知YA3C。的面積為2S/DB=16；

(3)由AADB是等腰直角三角形，得出NA=45。，因?yàn)榈贸鯪G=45。，所以AODG與ADFG都

是等腰直角三角形，從而依次求得G尸、GE、AE的長(zhǎng)，則A3可求；

【詳解】(1)解：四邊形D￡B尸是平行四邊形；

證明：由題意，在YABCD中，DF//EB,

0BE=DF,

0四邊形DEBF是平行四邊形；

(2)解：團(tuán)四邊形DEBF是平行四邊形，

回OE=OF,,

團(tuán)SQOE=S.BOF=2,

團(tuán)SQBE=SAEFB=4,

團(tuán)AE=6,BE=2,

SADEAB8

S.EDBEB2

回^^ADB=,

團(tuán)YABCD的面積為2s△3=16.

(3)解：BBD.LAD,

團(tuán)”)5=90。，

團(tuán)NA=45。，

0ZDBA=ZA=45°,

0EF±AB,

團(tuán)NG=NA=45。，

團(tuán)△ODG是等腰直角三角形，

mABHCD,EF±AB,

回。尸_LOG,

0OF=FG,方G是等腰直角三角形，

團(tuán)四邊形DEB廠是平行四邊形，

^\OE=OF,BE=DF,

^\GF=OF=OE=\,

團(tuán)ADFG是等腰直角三角形，

^\DF=FG=\,

?GE=OE+OF+FG=3,

團(tuán)Af=GE=3,

團(tuán)AB=AE+仍=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，以及同底等高類的三角形

面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì),證明等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.(2023下?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè))在四邊形中，^ABC=ZADC=?(0°<a<90°),AD//BC.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)如圖②，8E平分/ABC,交4。于點(diǎn)E.若a=30。，AB=2代,求AABE的面積；

⑶如圖③，BE平分/ABC,交AD于點(diǎn)E,作AH，CD交射線QC于點(diǎn),交BE于點(diǎn)F.若=

請(qǐng)?zhí)骄烤€段AF,DE,8之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)3

(3)DE+CH=AF或DE-CH=AF

【詳解】解：(1)證明：.?.NA+NB=180。.

?.?ZD=NB,.-.ZA+ZD=180°,

，AB〃CD,.,.四邊形ABC。是平行四邊形.

(2)在0ABe。中，AD//BC,:.NEBC=ZAEB.

平分，ABC,:.ZABE=ZEBC,ZABE=ZAEB,

AB=AE=273.

如圖①，作3"工AE)交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,.1ZH=90。.

圖①

ZABC=30°,AD//BC,:.ZHAB=ZABC=30°,

BH=—AB=yfi,

2

八ABF石?

??SZX/1DC=-2ABH=—2x2V^/5x.y/3=3.

（3）如圖②、圖③，作AGLBE交射線OC于點(diǎn)G.

當(dāng)點(diǎn)H在線段8上時(shí)，如圖②.

圖②

VAGLBE,AHLCD,^AGH=ZBFA=90°-ZHAG,ZAHG=9Q°.

V四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,ZBAF+ZAHG=180°,

:.ZBAF=ZAHG=9G°.

ZAGH=ZBFA,

在&AGH和NBFA中，＜NAHG=NBAF,

AH=BA,

.?.△AG”.△8E4（AAS）,GH^FA.

由（2）易知AB=AE=CD.

?/AG±BE,:./BAG=NEAG=/AGC

..AD=DG,DE=AD—AE-DG-CD=CG.

*：CG=GH—CH=AF—CH,:.DE=AF-CH,

^DE+CH=AF-

當(dāng)點(diǎn)H在。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③.

圖③

同理可得DE=AD-AE=DG-CD=CG,CG=GH+CHAF+CH,

:.DE=AF+CH,^DE-CH=AF.

綜上所述，線段AF,DE,S之間的數(shù)量關(guān)系為DE+C"=AF或￡>E-C"=AF

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2023上?吉林長(zhǎng)春,八年級(jí)校聯(lián)考期末）在YABCD中，ZA+ZC=80°,則NO的度數(shù)為（）

A.140°B.40°C.70°D.80°

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

由平行四邊形的性質(zhì)得NA=/C,AB〃C。，則NA+/D=180。，再求出NA=40。，即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：回四邊形ABCD是平行四邊形，

zzc

ZA=ZC,AB//CDf

z.ZA+ZD=180°,

QZA+ZC=80°,

\?A?C40?,

/.ZD=180°-ZA=140°,

故選：A.

2.（2023下?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）有下列說(shuō)法：①平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等；②平行四邊

形的對(duì)角線互相平分；③平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；④平行四邊形的對(duì)角線相等.其中正確的說(shuō)

法有（）

A.4個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】C

【解析】略

3.（2023上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P是YABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線所、GH分別平

行于A3、BC,與YABCD的邊分別交于G、F、H、E.則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)氏5個(gè)C.8個(gè)D9個(gè)

【答案】D

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形，進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】解：SYABCD,

^\AD//BC,AB//CD,

團(tuán)過(guò)點(diǎn)尸作直線EF、GH分別平行于AB、BC,

SEF//AB//CD,GH//AD//BC,

回四邊形AGPE,ABFE,AGHD,GBCH,EPHD,PFCH,EFCD,GBFP均為平行四邊形，

回加上YABCD共9個(gè)；

故選D

4.（2023上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是YABCD邊AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

連接BE、CE、BD,BE與CD交于點(diǎn)、F.添加以下條件，不能判定四邊形BCED為平行四邊形的是（）

A.DE=DAB.ZABD=/DCEC.NDEB=NBCDD.EF=FB

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，理

解并掌握平行四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵.首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃3C,CD//AB,

AD=BC,CD=AB,若DE=DA,由“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”，即可判斷選項(xiàng)A；

若ZABD=ZDCE,易得NDCE=NCDB,即可證明由"兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊

形”即可判斷選項(xiàng)&若EF=FB,證明△DEF/△CBE,由全等三角形的性質(zhì)可得。E=CB,由“一組對(duì)邊

平行且相等的四邊形為平行四邊形”，即可判斷選項(xiàng)由Nr>E3=N3CD不能證明四邊形BCED為平行四

邊形，即可判斷選項(xiàng)C

【詳解】解：回四邊形ABCD為平行四邊形，

回AD〃3C,CD//AB,AD=BC,CD=AB,

即DE〃BC,

若DE=R4,則有DE=3C,

回四邊形BCED為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；

ECO//AB,

SZABD=ZCDB,

若ZABD=NDCE,則有ZDCE=NCDB,

SBD//CE,

又|3￡>E〃3C,

回四邊形8c即為平行四邊形，故選項(xiàng)2不符合題意；

^\DE//BC,

國(guó)NDEF=NCBF,

若EF=FB,則在ADEF和VCB尸中，

"NDEF=ZCBF

<EF=FB,

ZDFE=ZCFB

團(tuán)A￡)E尸絲AC3尸(ASA),

0DE=CB,

又回￡>E〃BC

回四邊形8CED為平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；

由NOEBn/BCZ)不能證明四邊形3CED為平行四邊形，選項(xiàng)C符合題意.

故選：C.

5.(2023下?浙江?八年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖，E,尸分別是平行四邊形ABC。的邊A3,8上的點(diǎn)，AF與

OE相交于點(diǎn)P,即與CE相交于點(diǎn)Q,若S,AP?=。，5,噸=6,SoABCD=c,則陰影部分的面積為（）

A.a+bB.—c-a—bC.c—la—bD.2a+b

2

【答案】B

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，二角形的面積，解題的關(guān)鍵在于求出各二角形之間的面積關(guān)系.根

據(jù)平行四邊形的面積與三角形的面積公式可得三角形即C的面積，連接E、/兩點(diǎn)，由三角形的面積公式

我們可以推出S.=SABCQ，S&EFD=SAADF,所以SAEFG=SABCQ,-Sw因此可以推出四邊形EPFQ的

面積就是S^APD+S幽c.再根據(jù)面積差可得答案.

【詳解】解：連接E、尸兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)

；

S#EC,SaABCD=DCEM=c,

.S-lc

..2AoEC-2L，

四邊形A3co是平行四邊形，

:.AB//CD,

：.^EFC的FC邊上的高與ABC尸的尸C邊上的高相等,

…S&EFC=S&BCF，

…■*VEFQ~=2VABCQ，

同理：0向口=SAADF，

,,S&EFP=S&AOP，

,'^APD=afS0=b,

S四邊形EPFQ=a+bf

故陰影部分的面積為=SQEC=gc-a-/?.

故選：B.

二、填空題

6.（2023上?福建泉州?八年級(jí)泉州七中?？茧A段練習(xí)）如圖，在YA5CD中，AELCD于點(diǎn)E,如果4=66。,

貝i」NZME=°

【答案】24。

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出/3=ND=66。，再利用直角三角

形兩個(gè)銳角角互余即可求得答案.

【詳解】解：回YABCD是平行四邊形，

回々="=66°,

0AE1CD,

0ZAED=9O°,

回1￡=90?！?=90?！?6。=24。.

故答案為：24°.

7.（2023上?山東濟(jì)寧?八年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在YABCD中，AB=5,AD=3,

【答案】2岳

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用，用平行四邊形的性質(zhì)表示出3C、OC及。3的

長(zhǎng)度，則即可求解，解答本題的關(guān)鍵在于表示出所需邊長(zhǎng).

【詳解】解：回四邊形A6CD是平行四邊形，

團(tuán)AD=BC=3

又回AC1BC,AB=5

團(tuán)在Rtz\ABC中，由勾股定理得，

0AC=4

又回由平行四邊形性質(zhì)可得，

OA=OC=-AC=2

2

OB=OD=-BD-

2

又回RtZkO3C中，由勾股定理得

OB=7oc2+sc2=A/13

EBD=2OB=2A/13.

故答案為：2岳.

8.（2023上?山東威海?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABC。中，AC、3。相交于點(diǎn)。，OE1AC交

邊BC于E,連接AE,若ZABC=60。，ZBAE=ZDAC,則

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

由平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OC、AD//BC,再由平行線的性質(zhì)可得ND4C=NEC4,再說(shuō)明0E是AC

的垂直平分線，即AE=EC,則=進(jìn)而得到N54E=/ZMC=/￡AC；再說(shuō)明/54。=120。，

最后根據(jù)/BAE=|ZDAB即可解答.

【詳解】解：回平行四邊形ABCD中，AC、3D相交于點(diǎn)。，

^OA=OC,AD//BC

SZDAC^ZECA,

SOEJ.AC,

回0E是AC的垂直平分線，

0AE=EC,

^\ZEAC=ZECA,

^1ZBAE=ZDAC=ZEAC,

BZBAE=-ZDAB,

3

^\AD//BC,ZABC=60°,

團(tuán)/BAD=1800-ZABC=120°,

團(tuán)/BAE=-ZDAB=40°.

3

故答案為40.

9.（2023上?重慶九龍坡?八年級(jí)重慶市育才中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）在平行四邊形ABC。中（A5〃CD）,EF為

折痕，四邊形用D沿石尸翻折后得到四邊形ME7W,且線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)5使得若NA=50。，

【答案】400/40度

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ZD=180°-ZA=130°,ZBEF=ZEFD，根據(jù)翻折可得NN=ND=130°,

/EFD=/EFN,然后由四邊形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

團(tuán)AB〃CD,

團(tuán)”=180。—NA=130。，ZBEF=/EFD,

根據(jù)翻折可知：NN=ND=130。，NEFD=NEFN,

國(guó)NEFD=NEFN=NBEF,

⑦M(jìn)NLAB,

團(tuán)N￡BN=90。，

⑦/EFN+ZBEF+/EBN+ZN=360。,

02Z￡F/V+90°+130°=360°,

02ZE/W=1