位置關(guān)系的判定講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

模塊2位置關(guān)系的判定

§第1節(jié)平行關(guān)系證明思路大全

一、內(nèi)容提要

本節(jié)主要?dú)w納立體幾何大題第一問常見的證明平行關(guān)系的思路，先梳理需要用到的一些定理.

①線面平行的判定定理：如圖1,若a<ta,bea,a//b,則a〃a.

②面面平行的判定定理：如圖2,若aua,bea,aClb=P,a〃6,b〃6,則a||0.

③線面平行的性質(zhì)定理：如圖3,若alla,auB,a。6=/,則a〃/.

④面面平行的性質(zhì)定理1：如圖4,若a〃8,yria=a,yAP=b,則a〃b.

⑤面面平行的性質(zhì)定理2:如圖2,若。〃8,aua,則a〃B.

平行關(guān)系的證明題中，最常見的是證線面平行，以下是三大作輔助線的思路：

1.找平行四邊形.可先在面內(nèi)作一條與已知直線平行的直線，觀察構(gòu)成的圖形像不像平行四邊

形，若像，就嘗試去找理由，進(jìn)行論證即可.

2.兩個(gè)重要圖形的運(yùn)用（其原理是上面的線面平行的性質(zhì)定理，運(yùn)用時(shí)選①還是②，一般看圖

就知道）

①點(diǎn)線位于面的兩側(cè).如圖5,要證AB〃a,可在a的另一側(cè)嘗試找一點(diǎn)P,連接PA,PB,則面P

AB與a的交線就是我們證線面平行要找的a內(nèi)的直線.

②點(diǎn)線位于面的同側(cè).如圖6,要證AB〃a,可在a的同側(cè)嘗試找一點(diǎn)P,連接PA,PB,則面PA

B與a的交線就是我們證線面平行要找的a內(nèi)的直線.

P

圖5

3.造面面平行.若前面的兩個(gè)方法都不易解決問題，那么還可以考慮通過證面面平行，來證明

線面平行.

提醒：本節(jié)題目只節(jié)選了原題中的1個(gè)小問，所給條件可能有多余，這些條件是用在其它

小問的.之所以沒有把它們?nèi)サ?，是因?yàn)閼?yīng)試時(shí)本來也需要我們?nèi)ヅ袛嘣撚媚男l件去證明結(jié)

論.

二、考點(diǎn)題型

類型I:找平行四邊形

【例1】如圖,三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)面BC例Bi為正方形,平面BCC$i1平面ABB^Ai,AB

=BC=2,M,N分別為A隹i,AC的中點(diǎn).證明：MN〃平面BCC.B).

【變式1】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA_L平面ABCD,ADXCD,AD||BC,且PA=AD=CD=

2,BC=3,E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PF=2FC.證明：DF〃平面PAB.

【變式2】如圖，四棱臺(tái)ABCD-AiBiCiDi的下底面和上底面分別是邊長(zhǎng)為4和2的正方形，側(cè)

棱C3上的點(diǎn)E滿足轉(zhuǎn)=之證明：直線AiB||平面ADiE.

C]C3

【總結(jié)】①證線面平行，先嘗試找線，可在已知平面內(nèi)作已知直線的平行線，觀察所得圖形的特

征，如有無平行四邊形等；②取中點(diǎn)連線是立幾大題里頻率最高的輔助線作法，但不是唯一的

作法；③若截面不完整，可嘗試畫出完整截面再觀察.

類型II:兩個(gè)重要圖形的運(yùn)用

【例2】如圖，四邊形ABCD為矩形，AF_L平面ABCD,EF〃AB,AD=2,AB=AF=2EF=1,點(diǎn)P為DF

的中點(diǎn).證明：BF〃平面APC.F

【變式】如圖，PD_L梯形ABCD所在平面，ZADC=ZBAD=90°,F為PA的中點(diǎn)，PD=V2,AB=

AD=|CD=1,四邊形PDCE為矩形.證明：AC〃平面DEF.

【例3】直三棱柱ABC-AiBiCi中，AAi=AB=AC=2,AA^AB,AC_LAB,D為A3中點(diǎn)，E

為AAi中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn),證明：EF〃平面ABC.

【總結(jié)】可以發(fā)現(xiàn)，只要題目中出現(xiàn)了兩個(gè)重要圖形，對(duì)應(yīng)連線就可輕松找到思路.

類型m：造面面平行的思路

【例4】如圖，四邊形ABCD是正方形，PA_L平面ABCD,EB〃PA,AB=PA=4,EB=2,F為PD的中

點(diǎn)，證明：BD〃平面PEC.

【總結(jié)】通過構(gòu)造面面平行來證線面平行，常見的方法是過線段端點(diǎn)作面的平行線.

類型IV：線面平行、面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

【例5】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形，點(diǎn)F為棱PC上的點(diǎn)，平面ADF與棱PB

交于點(diǎn)E,證明：EF//AD.

【例6】如圖，矩形ACFE中，AE=1,AE_L平面ABCD,AB〃CD,ZBAD=90°,AB=1,AD=CD=2,平面

ADF與棱BE交于點(diǎn)G,求證：AG〃DF.

【總結(jié)】何時(shí)該用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理？①需要證明線線平行；②幾何體中存在某

條直線是以面面相交，或某個(gè)點(diǎn)是以線面交點(diǎn)的形式給出的；③題干已經(jīng)給出了線面平行或面

面平行這類條件.具備這三個(gè)特征中的任何一個(gè)，就可以考慮用線面平行、面面平行的性質(zhì)定

理來解決問題.

§第2節(jié)垂直關(guān)系證明思路大全

一、內(nèi)容提要

本節(jié)主要?dú)w納立體幾何大題第一問常見的證明垂直關(guān)系的思路，先梳理需要用到的一些定理.

1.線面垂直的判定定理：如圖1,若/J_a,/J_b,a,bea,aAb=P,貝?。?_La.

2.面面垂直的判定定理：如圖2,若a_LB,a<=a,則a_LB.

3.面面垂直的性質(zhì)定理：如圖3,若。_16,aClP=AB,@<=6（且2_1皿，則2_16.

4.三垂線定理：如圖4,au%/在a內(nèi)的射影是b,若a_Lb,則a_L/,此結(jié)論反過來也成立.

①作用：如圖4,想證明/垂直于面a內(nèi)的a,只需證/在面a內(nèi)的射影與a垂直，這就將異面

垂直問題轉(zhuǎn)化為了共面垂直問題.注意，三垂線定理在大題中要給出證明過程，再使用.

空間中證明垂直關(guān)系的常見思路：

1.證線面垂直：證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可.

2.證線線垂直：若線與線是共面的，則考慮用平面幾何的方法來證；若異面，如圖5,要證

異面直線/和a垂直，可證明/垂直于a所在的某個(gè)平面a,找到a是解決問題的關(guān)鍵，常用兩

種方法來找：

①逆推法：把我們要證的結(jié)論與給出的某垂直條件結(jié)合，看能得出什么樣的線面垂直，這樣我

們就找到了面a,再來分析怎么證a,問題就回到前面/的證線面垂直了.

②三垂線定理法：如圖6,若/在平面8內(nèi)，a在B內(nèi)的射影b很好找，由三垂線定理，ZEb

0但a,所以a和射影b構(gòu)成的平面（圖中三角形所在平面）即為我們要找的a.

3.證面面垂直：核心是證線面垂直，若不會(huì)找線，可通過在其中一個(gè)面內(nèi)找與交線垂直的直線,

如上面圖3中的a,找到這條直線，問題就回到前面1的證線面垂直了.

4.已知面面垂直：常過一個(gè)面內(nèi)的點(diǎn)作交線的垂線，得到線面垂直，再得到我們需要的線線垂

提醒：本節(jié)題目只節(jié)選了原題中的1個(gè)小問，所給條件可能有多余.

二、考點(diǎn)題型

類型I:線面垂直的逆推思路

【例1】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD=CD=1,PC=BC=V2,M為BC

上的點(diǎn)，且AM_L平面PBD,證明：PD1平面ABCD.

【反思】證線面垂直的核心是找線，這個(gè)線一定（隱藏）在條件里，嘗試翻譯即可.

【變式】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PDL底面ABCD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交

線為/,證明：/_L平面PDC.

【反思】若發(fā)現(xiàn)直線/與平面a內(nèi)的直線的垂直條件少，則可考慮轉(zhuǎn)化為證/的某平行線與a垂

直.

類型II：線線垂直的逆推思路

【例2】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AABB為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和Cg的

中點(diǎn)，D為棱ABi上的點(diǎn)，BFlAiBi,證明：BFXDE.

【變式1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，ZABC=120°,AB=1,BC=4,

PA=V15,MN分別是BC,PC的中點(diǎn)，PD±DC,PM±MD,證明：ABXPM.

【反思】用逆推法尋找上一步的線面垂直，若遇到多種可能性，則可通過對(duì)比，選擇一條簡(jiǎn)單可

行的路徑.

【變式2］如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB〃DC,DC/7EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD

=NCDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60°,設(shè)M,N分別為AE,BC的中點(diǎn)，證明：FN_LAD.

【總結(jié)】①三垂線定理是證異面直線垂直的好方法，但當(dāng)投影不易找時(shí)會(huì)失效；②逆推法是通法,

但有時(shí)題干沒有其它線線垂直，不易直接逆推線面垂直，此時(shí)往往題目數(shù)據(jù)隱藏著垂直條件，

需要仔細(xì)挖掘.

類型皿：面面垂直判定的逆推思路

【例3】如圖，四面體ABCD中，ADXCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC中點(diǎn)，證明：平面BED

_L平面ACD.

【總結(jié)】從類型I到類型III,我們發(fā)現(xiàn)最終都回歸到線面垂直上，只要掌握了逆推思路這一通法,

學(xué)會(huì)結(jié)合條件分析，即可無往不勝.

類型IV：已知面面垂直的常用輔助線作法

【例4】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,4PCD為正三角形，平面PACL平

面PCD,PA±CD,CD=2,AD=3,證明：PA_L平面PCD.

C

【總結(jié)】若題目出現(xiàn)面面垂直條件，則過某面內(nèi)頂點(diǎn)作交線的垂線，尋找想要的線面垂直，是最

常見的思路.

§第3節(jié)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系綜合小題

一、內(nèi)容提要

本節(jié)題目解題的一般方法是根據(jù)題干的描述進(jìn)行空間想象，畫出圖形，判斷正誤.畫圖的

基本順序是：先畫面面，再畫線面，最后添線；若較難想象，也可借助常見幾何體（如正方體

等）來輔助判斷.

二、考點(diǎn)題型

【例1】設(shè)a,0為兩個(gè)平面，則a〃B的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條