高中數學講義（人教B版2019選擇性必修三）第02講512數列的遞推（2知識點6題型強化訓練）

數列的遞推課程標準學習目標（1）理解遞推公式的含義，掌握遞推公式的應用；（2）理解數列的前項和，掌握由求。（1）理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項；（2）了解用累加法、累乘法由遞推公式求通項公式。知識點01數列的遞推關系1、數列的遞推公式如果已知數列的首項（或前幾項），且數列的相鄰兩項或兩項以上的關系都可以用一個公式來表示，則稱這個公式為數列的遞推關系（也稱遞推公式或遞歸公式）2、數列的通項公式與遞推公式的區(qū)別與聯系遞推公式通項公式區(qū)別表示與它的前一項（或前幾項）之間的關系表示與之間的關系聯系（1）都是表示數列的一種方法；（2）由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式?！炯磳W即練1】（2023·廣東佛山·高二校聯考階段練習）在數列中，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，所以，，，.故選：B知識點02數列的前項和1、概念：一般地，給定數列，稱為數列的前項和。2、與的關系：一般地，如果數列的前項和為，那么當，由，，所以，因此【即學即練2】（2022·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知數列的前項和，則這個數列的通項公式為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當時，當時，，故選：C【題型一：由遞推關系求數列的項】例1．（2023·北京西城·高二北京師大附中校考期末）已知數列滿足，且，那么（）A．4B．5C．6D．8【答案】C【解析】由題，，所以．故選：C．變式11．（2023·廣東·高二校聯考期末）在數列中，若，則下列數不是中的項的是（）A．1B．2C．3D．【答案】A【解析】由題意得，所以為周期數列，且周期為4.故選：A.變式12．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知數列滿足，（），則（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】因為，（），所以.故選：B.變式13．（2023·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知數列的首項為，遞推公式為，則．【答案】【解析】由題意，.變式14．（2023·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學?？茧A段練習）已知數列滿足：（為正整數），若，則所有可能的取值集合為.【答案】【解析】若，則,,或，當時,,或，若,則；若,則，當時,,,或，綜上所述，或或或，集合．【方法技巧與總結】根據遞推關系寫出數列的前幾項，要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可。另外，解決這類問題時還需注意：若知道的是首項，通常將所給公式整理成前面的項表示后面的項的形式；若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式?！绢}型二：求數列的遞推關系式】例2．（2023·全國·高二課堂例題）分別寫出下列數列的一個遞推關系，并求出各個數列的第7項：（1）1，2，4，7，11，…；（2），2，5，8，11，…；（3）1，，4，，16，…．【答案】（1），；（2），；（3），【解析】（1）因為：，，，，所以，即．從而．（2）因為，所以3，即．從而．（3）因為，所以．即．從而．變式21．（2023·重慶九龍坡·高二統(tǒng)考期末）數列的遞推公式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】數列第一項是1，AB是通項公式的形式，故AB錯誤；觀察數列可知，數列從第二項起，每一項是前一項的，所以遞推公式為，故C正確，D錯誤.故選：C.變式22．（2022·高二課時練習）數列1，3，6，10，15，…的遞推公式可以是（）A．，B．，，C．，D．，，【答案】B【解析】設數列1，3，6，10，15，…為，則，，，，…，n=1時，A、D不合題意；而中不包含，由此可得數列滿足.故選：B．變式23．（2023·江西撫州·高二撫州市第一中學?？茧A段練習）裴波那契數列，因數學家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，該數列滿足，且.洛卡斯數列是以數學家愛德華·洛卡斯命名，與裴波那契數列聯系緊密，即，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴當時，，∴，故，∵，∴，，故，∴.故選：C.變式24．（2024·全國·高三專題練習）（多選）意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現了這樣的一列數：1，1，2，3，5，8，13，….即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和．后人為了紀念他，就把這一列數稱為斐波那契數列．下面關于斐波那契數列說法正確的是（）A．B．是奇數C．D．【答案】AD【解析】由已知得數列滿足遞推關系.選項A：，A正確；選項B：觀察數列可知，數列每三項都是奇、奇、偶重復循環(huán)，2022＝674×3，恰好能被3整除，且為偶數，所以也為偶數，故B錯誤；選項C：若選項C正確，又，則，同理，依次類推，可得，顯然錯誤，故C錯誤；選項D：，所以，故D正確．故選：AD．【方法技巧與總結】根據已知數列，確定相鄰兩項或相鄰三項的關系?！绢}型三：數列周期性的應用】例3．（2023·天津寧河·高二統(tǒng)考期末）若數列的前項和，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當，則，而，顯然不滿足上式，所以.故選：D變式31．（2023·廣西南寧·高二統(tǒng)考期末）已知數列滿足，，則（）A．B．2C．12D．33【答案】A【解析】由遞推公式代入計算可得；可得數列是以3為周期的周期數列，所以，故選：A.變式32．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學校聯考期末）已知數列滿足，（），則（）A．B．0C．D．2【答案】B【解析】由，可得，，，因此為周期數列，且周期為3，故，故選：B變式33．（2023·天津南開·高二統(tǒng)考專題練習）數列滿足,若，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,又，，，所以數列周期為，，故選：D變式34．（2023·河北·高二校聯考階段練習）在數列中，為的前項和，則的值可以為（）A．5B．4C．2D．0【答案】ABD【解析】由，得，于是，則數列是以6為周期的周期數列，由，得，因此以此類推，所以的取值僅有，故選：ABD【方法技巧與總結】一般情況下，通過對已知遞推關系進行變形，結合周期性的定義確定數列的周期。但對于某些計算復雜的問題，可直接根據遞推關系寫出數列的項，通過觀察具體的項的規(guī)律確定周期性。【題型四：由Sn求通項公式an】例4．（2023·吉林長春·高二?？计谀┮阎獢盗械那绊椇?則數列的通項公式為.【答案】【解析】在數列中，，當時，，當時，，∵，∴.變式41．（2023·吉林長春·高二長春市第六中學?？计谀┰O數列的前項和是，則．【答案】.【解析】結合題意：由可得：當時，,當時，,所以，，不滿足，故.變式42．（2024·全國·高二課時練習）若數列的前項和，則此數列的通項公式為．【答案】【解析】由已知可得，當時，，兩式相減可得，即，當時，，不滿足上式，所以可得.變式43．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在數列中，，，，則.【答案】【解析】依題意，，，則，兩式相減得，當時，，所以.【方法技巧與總結】已知求的三個步驟：（1）先利用求出.（2）用替換中的得到一個新的關系，利用便可求出當時的表達式．（3）對時的結果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分與兩段來寫．【題型五：累加法求數列的通項或項】例5．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市十二中?？计谀┰跀盗兄?，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：在數列中，，故選A.變式51．（2023·河南周口·高二周口恒大中學校考期末）已知數列滿足，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，則，，，…，，以上各式相加可得，，，故選：B變式52．（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考階段練習）已知數列滿足，，則.【答案】【解析】由可得，所以，，……，，累加可得，，即當時，也符合上式，所以.變式53．（2023·上?！じ叨？计谀┤魯盗袧M足，則的通項公式是．【答案】【解析】因為，所以，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以.【方法技巧與總結】若an+1?an=f(n)，則an兩邊分別相加得：a【題型六：累乘法求數列的通項或項】例6．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知數列的項滿足，而，則＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因為，所以，因為滿足上式，所以，故選：B變式61．（2024·全國·高二課時練習）已知數列滿足，，則（）A．2023B．2024C．4045D．4047【答案】C【解析】，，即，可得，.故選：C.變式62．（2023·全國·高二課時練習）已知，，則數列的通項公式是（）A．nB．C．2nD．【答案】C【解析】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，因為，所以，故選：C．變式63．（2023·山東濟南·高二濟南市萊蕪第一中學校考階段練習）若數列滿足，，則滿足不等式的最大正整數為（）A．28B．29C．30D．31【答案】A【解析】由題意，即，所以，而，所以，由題意令，而是單調遞增的，且發(fā)現，，所以滿足不等式的最大正整數為28，故選：A.【方法技巧與總結】若an+1an=fn，則ana兩邊分別相乘得：a一、單選題1．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）在數列中，，，則的值為（）A．30B．31C．32D．33【答案】B【解析】在數列中，，，，，，．故選：B．2．（2023·重慶·高二重慶十八中?？计谀┮阎獢盗袧M足，，則（）A．B．C．2D．1【答案】C【解析】，，故數列周期為，故選：C3．（2023·重慶·高二重慶市第七中學校?？茧A段練習）在數列中，，，，則（）A．B．1C．D．4【答案】B【解析】因為，，所以，所以，所以是周期為6的周期數列，因為，所以，又因為，所以，，所以.故選：B4．（2023·山西大同·高二大同一中?？茧A段練習）九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，在某種玩法中，用表示解下n（，）個圓環(huán)所需的最少移動次數，滿足，且，則解下4個圓環(huán)所需的最少移動次數為（）A．7B．10C．12D．22【答案】A【解析】由已知可得，，.所以解下4個圓環(huán)最少需要移動7次.故選：A.5．（2024·全國·高二課時練習）已知數列滿足，則的通項公式為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，故選：C.6．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谀┚胚B環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串按一定移動圓環(huán)的次數決定解開圓環(huán)的個數．在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需要少移動的次數，數列滿足且則解下5個環(huán)所需要最少移動的次數為（）A．7B．10C．16D．31【答案】C【解析】，故選：C.7．（2023·重慶·高二楊家坪中學?？茧A段練習）數列的前n項和為，且滿足，，則（）A．1011B．1013C．2022D．2023【答案】B【解析】因為，，所以所以數列是以3為周期的周期數列，且列，所以，故選:B.8．（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數m=6，根據上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．現給出“冰雹猜想”的遞推關系如下：已知數列滿足：（m為正整數），．當時，使得的最小正整數n值是（）A．17B．16C．15D．10【答案】B【解析】時即.故選：B二、多選題9．（2023·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知數列滿足，記為數列的前n項和，，，，記為數列的前n項和，則（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由，顯然，因此選項A正確；由，因此選項B正確；，因為，，所以，顯然不一定恒成立，因此選項C不正確；由可知數列的最小正周期為，因為，所以，由，由，由，可得，，，，于是，由，所以數列的最小正周期為，且，，所以，因此選項D正確，故選：ABD10．（2023·河南鶴壁·高二鶴壁高中?？茧A段練習）已知數列滿足，，則（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】數列滿足，，所以時，，此時，故B錯誤；，，，化為：．當時，．．，，故可知．故選：AD．11．（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）著名的冰雹猜想，又稱角谷猜想，它是指任何一個正整數，若是奇數，則先乘以3再加上1；如果是偶數，就除以2.這樣經過若干次變換后，最終一定得1，若是數列或中的項，則下列說法正確的是（）A．若，則需要4次變換得到1B．若，則需要7次變換得到1C．中的項變換成1的次數一定少于中的項變換成1的次數D．存在正整數，使得與的變換次數相同【答案】ABD【解析】對于選項A，，變化過程為：，4次變換得到1，A正確；對于選項B，，變化過程為：，7次變換得到1，B正確；對于選項C，舉例說明，當時，，變化過程為：，16次變換得到1；，變化過程為：，3次變換得到1；C錯誤；對于D，舉例說明，當時，，變換次數相同，D正確；故選：ABD.12．（2023·山東棗莊·高二棗莊市第三中學?？茧A段練習）1202年，意大利數學家斐波那契出版了他的《算盤全書》，在書中收錄了一個有關兔子繁殖的問題.他從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現了“斐波那契數列”，具體數列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從數列的第三項開始，每個數字都等于前兩個相鄰數字之和．已知數列為斐波那契數列，其前n項和為，并且滿足，，，則關于斐波那契數列，以下結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】斐波那契數列中，，，，，A錯誤；當時，，，三個式子相加，得：，B正確；當時，，則，C正確；當時，，則，D錯誤.故選：BC三、填空題13．（2023·天津寧河·高二統(tǒng)考期末）已知數列滿足，，，則.【答案】2【解析】由題設，，，，.14．（2023·福建廈門·高二廈門外國語學校?？茧A段練習）在數列中，，（），則.【答案】【解析】由（），得（），又，得，，，所以數列是以3為周期的數列，得.15．（2023·河北保定·高二定興第三中學校聯考期中）已知數列的前n項和為，且，，則．【答案】【解析】因為，所以，所以，，，，累加可得，化簡可得.16．（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）若數列滿足，（，），則的最小值是.【答案】6【解析】由已知，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以，設，由對勾函數性質知在上單調遞減，在遞增，因此在時遞減，在時遞增，又