高等數(shù)學課件D118一般周期的傅里葉級數(shù)講義資料

第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式第十一章2/10/2025高等數(shù)學課件一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件設周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點處)其中定理.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件其中令(在f(x)的連續(xù)點處)證畢機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件說明:其中(在f(x)的連續(xù)點處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點x處,傅里葉級數(shù)收斂于如果f(x)為奇函數(shù),則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件例1.

交流電壓經(jīng)半波整流后負壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:這個半波整流函數(shù),它在傅里葉級數(shù).上的表達式為的周期是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件n>1

時機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說明:交流部分由收收斂定理可得2k次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實際應用中展開式取前幾項就足以逼近f(x)了.上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件例2.

把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數(shù)收斂于何值?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件(2)將作偶周期延拓,則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件說明:此式對也成立,由此還可導出據(jù)此有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,方法1令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件方法2令在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:令設將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理條件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件利用歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式設f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件注意到同理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式:因此得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件式的傅里葉級數(shù).例4.把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復數(shù)形解:在一個周期它的復數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達式為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點)其中當f(x)為奇函數(shù)時,(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式利用歐拉公式導出機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件思考與練習1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答:易看出奇偶性及間斷點,2.計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算?答:用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子n－k作業(yè):

P2561(1),(3);2(2);3

從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨計算.習題課目錄上頁下頁返回結(jié)束2/10/2025高等數(shù)學課件備用題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)

解: