中考熱搜難點考點60題（原卷版）-2025年上海中考數(shù)學復習

新題特訓02中考熱搜難點考點6。題

反比例函數(shù)綜合題(共3小題)

1.(2024?綿陽)如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，對角線AC與比)相交于點E,邊他在x軸上，

k

440=60。，8(-1,0),點C在反比例函數(shù)y=—(AwO)的圖象上.

X

(1)求點C,D,E的坐標及反比例函數(shù)的解析式；

(2)將菱形MCD向右平移，當點E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時，邊3C與函數(shù)圖象交于點尸，求點尸

2.(2024?淮安)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y+6的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,

k.

與反比例函數(shù)y==(x>0)的圖象交于點C.已知點A坐標為(-1,0),點C坐標為(1,3).

x

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；

(2)點O在線段03上，過點。且平行于x軸的直線交AB于點E,交反比例函數(shù)圖象于點尸.當

3.(2024?眉山)如圖，在平面直角坐標系xOv中，一次函數(shù)〉=區(qū)+6與反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象

X

交于點A(l,6),2(n,2),與X軸，y軸分別交于C,D兩點.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)若點P在y軸上，當AR4B的周長最小時，請直接寫出點尸的坐標；

(3)將直線AB向下平移0個單位長度后與x軸，y軸分別交于E,b兩點，當=343時，求a的值.

二次函數(shù)綜合題(共9小題)

4.(2024?瀘州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=加+法+3經(jīng)過點4(3,0),與y軸交于

點3,且關(guān)于直線x=l對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當-1瓢詞，y的取值范圍是Oi/2-1,求f的值；

(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點。作x軸的垂線交直線AB于點。，在y軸上是否存

在點E,使得以3,C,D,E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明

理由.

5.(2024?濟寧)已知二次函數(shù)y:辦?+法+。的圖象經(jīng)過(0,-3),(-〃,c)兩點，其中a,b,c為常數(shù),

且">0.

(1)求a,c的值；

(2)若該二次函數(shù)的最小值是T,且它的圖象與尤軸交于點A,B(點A在點3的左側(cè))，與y軸交于

點C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A,3的坐標；

②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖象上有一動點P,過點P作尤軸的垂線，垂足為。，與直線AC交于

點、E,連接尸C,CB,BE.是否存在點尸，使也巫=士？若存在，求此時點尸的橫坐標；若不存在，請

SrRP8

說明理由

備用圖

7

6.(2024?廣安)如圖,拋物線？=-1%2+尿+°與無軸交于4,6兩點，與y軸交于點C,點A坐標為(-1,0)，

點3坐標為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點尸是直線3C上方拋物線上一個動點，過點尸作x軸的垂線交直線BC于點。，過點尸作y軸的垂

線，垂足為點E,請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標；若沒有

最大值，請說明理由.

(3)點M為該拋物線上的點，當NMCB=45。時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標.

C)

A/0

7.(2024?東營)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=f+bx+c與無軸交于A(-l,0),B(2,0)兩點,

與y軸交于點C,點。是拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的表達式；

（2）當點。在直線BC下方的拋物線上時，過點。作y軸的平行線交3C于點E,設(shè)點。的橫坐標為人

QE的長為/,請寫出/關(guān)于f的函數(shù)表達式，并寫出自變量，的取值范圍；

q

（3）連接AD,交8C于點F,求3里的最大值.

8.（2024?山西）綜合與實踐

問題情境：如圖1,矩形陌VKL是學?；▓@的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分

與線段至組成的封閉圖形，點A,3在矩形的邊上.現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進行劃分，以種植不

同花卉，學校面向全體同學征集設(shè)計方案.

方案設(shè)計：如圖2,AB=6米，的垂直平分線與拋物線交于點P,與至交于點O,點尸是拋物線的

頂點，且尸0=9米.欣欣設(shè)計的方案如下：

第一步：在線段OP上確定點C,使44CB=90。，用籬笆沿線段AC,BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串

紅；

第二步：在線段CP上取點P（不與C,P重合），過點尸作AB的平行線，交拋物線于點O,E.用籬

笆沿DE,CF將線段AC,與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季.

方案實施：學校采用了欣欣的方案，在完成第一步△口（?區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料.若要在

第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長.為此，欣欣在圖2中以至所在直線為x軸，OP

所在直線為y軸建立平面直角坐標系.請按照她的方法解決問題：

（1）在圖2中畫出坐標系，并求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）求6米材料恰好用完時DE與CF的長；

（3）種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對該花壇進行裝飾，計劃將燈帶圍成一個矩形.她嘗試借助

圖2設(shè)計矩形四個頂點的位置，其中兩個頂點在拋物線上，另外兩個頂點分別在線段AC,BC±.直接

寫出符合設(shè)計要求的矩形周長的最大值.

LK

22

9.(2024?河北)如圖，拋物線G：y=^-2x過點(4,0),頂點為Q.C2:y=-1(x-r)+|r-2(其

中f為常數(shù)，且，＞2),頂點為尸.

(1)直接寫出。的值和點。的坐標.

(2)嘉嘉說：無論f為何值，將C1的頂點。向左平移2個單位長度后一定落在C2上.

淇淇說：無論f為何值，C?總經(jīng)過一個定點.

請選擇其中一人的說法進行說理.

(3)當f=4時，

①求直線尸。的解析式；

②作直線///PQ,當/與C?的交點到x軸的距離恰為6時，求/與x軸交點的橫坐標.

(4)設(shè)。與C?的交點A，B的橫坐標分別為乙，乙，且引〈演，點〃在G上，橫坐標為機(2鼓弧/).點

N在C2上，橫坐標為強女0,若點M是到直線尸。的距離最大的點，最大距離為1，點N到直線尸。

的距離恰好也為d,直接用含f和沉的式子表示".

10.(2024?南充)已知拋物線yn-V+fcr+c與x軸交于點A(-1,0),5(3,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,拋物線與y軸交于點C,點尸為線段OC上一點(不與端點重合)，直線分別交拋

q

物線于點E,D,設(shè)面積為S1,APSE面積為，，求」的值.

*

(3)如圖2,點K是拋物線對稱軸與x軸的交點，過點K的直線(不與對稱軸重合)與拋物線交于點加，

N,過拋物線頂點G作直線///%軸，點。是直線/上一動點.求QM+QN的最小值.

11.(2024?連云港)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=or2+bx-l(a、b為常數(shù)，o>0).(1)若

拋物線與x軸交于4-1,0)、3(4,0)兩點，求拋物線對應的函數(shù)表達式；

(2)如圖，當少=1時，過點C(-l,a)、D(l,a+20)分別作y軸的平行線，交拋物線于點M、N,連接MN、

MD.求證：MD平分NCMN；

(3)當。=1,-2時，過直線y=x-l(瓚Jc3)上一點G作y軸的平行線，交拋物線于點H.若G”的

最大值為4,求b的值.

12.(2024?甘孜州)【定義與性質(zhì)】

如圖，記二次函數(shù)y="(X-bp+c和y=-a{x-+“5*0)的圖象分別為拋物線C和C「

定義：若拋物線G的頂點Q(p，q)在拋物線C上，則稱C1是C的伴隨拋物線.

性質(zhì)：①一條拋物線有無數(shù)條伴隨拋物線；

②若G是。的伴隨拋物線，則c也是G的伴隨拋物線，即。的頂點尸(仇C)在G上.

【理解與運用】

(1)若二次函數(shù)y=-g(x-2)2+機和y=-g(x-ar+；的圖象都是拋物線y=的伴隨拋物線，則

m=,n=.

【思考與探究】

(2)設(shè)函數(shù)、=爐-2依+4Z+5的圖象為拋物線C2.

①若函數(shù)>=-^+公+e的圖象為拋物線c0,且C2始終是C。的伴隨拋物線，求d,e的值；

②若拋物線與無軸有兩個不同的交點(%，。)，(尤2，0)(%<%)，請直接寫出王的取值范圍.

備用圖

三.三角形綜合題(共4小題)

13.(2024?新疆)【探究】

(1)已知△ABC和△ME都是等邊三角形.

①如圖1,當點。在上時，連接CE.請?zhí)骄緾4,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖2,當點。在線段BC的延長線上時，連接CE.請再次探究。1,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.【運用】

(2)如圖3,等邊三角形中，AB=6,點E在AC上，(3=2/.點。是直線3。上的動點，連接

DE,以DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF,連接CF.當△CEF為直角三角形時，請直接寫出

的長.

E

AA、AA

圖1圖2圖3備用圖

14.(2024?重慶)如圖，在AABC中，AB=6,3c=8,點P為他上一點，過點尸作PQ//BC交AC于

點Q.設(shè)好的長度為尤，點P,。的距離為％,AABC的周長與AAPQ的周長之比為％.

(1)請直接寫出為,分別關(guān)于尤的函數(shù)表達式，并注明自變量尤的取值范圍;

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出函數(shù)必，%的圖象；請分別寫出函數(shù)M，必的一條性質(zhì);

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出必時x的取值范圍.(近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過02)

81--一：

7：

6■—r—r-t—,?—?—,—,—?—!

5------------------------1-------11-1

4---r--r--T--T-"i---!-------J!；-

3——?—?

2?—；—；—:

1)---1---:

0\123456789

15.(2024?寧夏)綜合與實踐

如圖1,在AABC中，80是NABC的平分線，BD的延長線交外角/C4M的平分線于點E.

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】

結(jié)論1:/4￡8=NACB；

結(jié)論2：當圖1中44cB=90。時，如圖2所示，延長BC交鉆于點尸，過點E作的垂線交陟于點G,

交AC的延長線于點則AE與EG的數(shù)量關(guān)系是—.

【應用結(jié)論】

(1)求證：AH=GF；

(2)在圖2中連接F”，AG,延長AG交FH于點N,補全圖形，求證:FN=NH+y/2AE.

16.(2024?吉林)如圖，在△ABC中，NC=90。，4=30。，AC3cm,AD是△ABC的角平分線.動

點尸從點A出發(fā)，以上cni/s的速度沿折線AD-DB向終點3運動.過點P作PQ//A3,交AC于點Q,

以尸。為邊作等邊三角形PQE,且點C,E在尸。同側(cè).設(shè)點P的運動時間為f(s)Q>0),△PQE與△ABC

重合部分圖形的面積為S(a/).

(1)當點尸在線段AD上運動時，判斷△AP。的形狀(不必證明)，并直接寫出AQ的長(用含f的代數(shù)

式表示).

(2)當點E與點。重合時，求f的值.

(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量f的取值范圍.

四.正方形的性質(zhì)(共1小題)

17.(2024?南通)如圖，在RrZXABC中，ZACB=90°,AC^BC=5.正方形DEFG的邊長為6,它

的頂點D,E,G分別在△ABC的邊上，則BG的長為

五.四邊形綜合題（共13小題）

18.（2024?蘭州）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，同學們以特殊三角形為背景.探究動點運動的幾何問題.如圖，在4

ABC中，點、M,N分別為AB,AC上的動點（不含端點），且=

【初步嘗試】（1）如圖1,當△ABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將M4繞點〃逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到ME>,

連接BD,則MN=DB,請思考并證明；

【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M一步探究:如圖2,在△MC中，AB=AC,ZBAC=90°,

AE1MN于點、E,交8C于點F,將M4繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到MD,連接ZM,DB.試猜想四邊

形人說的形狀，并說明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在△ABC中，AB=AC=4,44c=90。，連接3N,

CM,請直接寫出BN+CM的最小值.

19.（2024?長春）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△MC中，

AB=3,點M、N分別在邊AC、3c上，且=試探究線段MN長度的最小值.

【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運

動路徑，進而解決上述幾何問題.

【問題解決】如圖②，過點C、M分別作MN、的平行線，并交于點尸，作射線釬.

在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：

（1）證明：AM=MP；

（2）NG4P的大小為度，線段長度的最小值為.

【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)

據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形3CDE是矩形，AB=AC=CD=2^z,

NACB=30。.MN是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點”在AC上，點N在上上.在調(diào)整

鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持40=QN.鋼絲繩長度的最小值為一米.

20.（2024?泰安）綜合與實踐

為了研究折紙過程蘊含的數(shù)學知識，某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行了數(shù)學折紙?zhí)骄炕顒?

【探究發(fā)現(xiàn)】

（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1,把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點3的對應點G恰好

落在矩形的一邊CD上，折痕為防，將紙片展平，連結(jié)3G.砂與33相交于點H.同學們發(fā)現(xiàn)圖形中

四條線段成比例，即竺=絲，請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

BGBC

【拓展延伸】

（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2,是平行四邊形紙片ABCD的一條對

角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點A的對應點G,點C的對應點”都落在對角線上，折痕

分別是3E和ZJF.將紙片展平，連結(jié)EG,FH,FG.同學們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG//CD,那么點G恰

好是對角線的一個“黃金分割點”，即3G請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

21.（2024?山東）一副三角板分別記作AASC和ADEF,其中NABC=ND￡F=90。，N」BAC=45。，

ZEDF=30°,AC=DE.作于點M,ENLDF于點、N,如圖1.

備用圖

(1)求證：BM=EN；

（2）在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C,點A與

點。重合，將圖2中的ADCR繞。按順時針方向旋轉(zhuǎn)c后，延長用0交直線小于點P.

①當a=30。時，如圖3,求證：四邊形為正方形；

②當30。<&<60。時，寫出線段MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系，并證明；當60。<1<120。時，直接寫出線段

MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系.

22.(2024?吉林)小明在學習時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程:

【探究論證】

(1)如圖①，在AABC中，AB=BC,BD±AC,垂足為點Z).若CD=2,BD=1,貝!I5AAsc=

(2)如圖②，在菱形Ab。。中，AC=4,BD=2,則S菱形?B，。。，=

(3)如圖③，在四邊形￡7朽”中，EG±FH,垂足為點O.

右EG—5，F(xiàn)H—3,則S四邊形EFGH=

若EG=a,FH—bi猜想S四邊形EFGH與。，b的關(guān)系，并證明你的猜想.

【理解運用】

如圖④，在AMAK中，MN=3,KN=4,MK=5,點P為邊MN上一點.小明利用直尺和圓規(guī)分四步

作圖；

(i)以點K為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊KN,KM于點R,I；

(ii)以點P為圓心，依長為半徑畫弧，交線段于點T；

(iii)以點1為圓心，小長為半徑畫弧，交前一條弧于點R,點R,K在跖V同側(cè);

(iv)過點尸畫射線根，在射線府上截取尸。=儂，連接KP,KQ,MQ.

請你直接與出S四邊形MPK2的值.

23.（2024?鹽城）如圖1,E、F、G、H分別是5co各邊的中點，連接AF、CE交于點M,連接

AG,CH交于點N,將四邊形AMCN稱為口ABCZ）的“中頂點四邊形”.

A

M□:

圖1圖2圖3

（1）求證：中頂點四邊形AMOV為平行四邊形;

（2）①如圖2,連接AC、BD交于點O,可得M、N兩點都在上，當口ABCD滿足時，中頂點

四邊形AMCN是菱形；

②如圖3,己知矩形40CN為某平行四邊形的中頂點四邊形，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊

形.（保留作圖痕跡，不寫作法）

24.（2024?日照）如圖，以nABCD的頂點3為圓心，長為半徑畫弧，交BC于點、E,再分別以點4,

E為圓心，大于工AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，畫射線3尸，交AD于點G,交CD的延長線于點

2

H.

（1）由以上作圖可知，N1與N2的數(shù)量關(guān)系是；

(2)求證：CB=CH；

(3)若鈣=4,AG=2GD,ZABC=60°,求△3S的面積.

25.(2024?青島)如圖①，用△ABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,Rf△EDF中,ZEDF=90°,

DE=DF=6cm,邊3c與fD重合，且頂點E與AC邊上的定點N重合.如圖②，△￡/方從圖①所示位

置出發(fā)，沿射線NC方向勻速運動，速度為lc〃z/s；同時，動點O從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運動，速

度為2cm/s.EF與BC交于點、P,連接OP,OE.設(shè)運動時間為r(s)(0<f,,g).解答下列問題：

(2)設(shè)四邊形PCEO的面積為S,求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖③，過點。作交AC于點Q,△AO”與△AOQ關(guān)于直線至對稱，連接是

否存在某一時刻t,使PO//BH?若存在,求出f的值；若不存在，請說明理由.

26.(2024?甘孜州)如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,連接過點。作6￡_19，垂足為E,CE

交BD于點F,Z1=ZABC.

(1)求證：Z2=Z3；

(2)若N4=45。.

①請判斷線段BC,的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若5C=13,AD=5,求跖的長.

27.（2024?通遼）數(shù)學活動課上，某小組將一個含45。的三角尺和一個正方形紙板ABCE＞如圖1擺放，

若AE=1,AB=2.將三角尺AEF繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)e（0啜h90。）角，觀察圖形的變化，完成探究

活動.

【初步探究】

如圖2,連接BE,。戶并延長，延長線相交于點G,3G交AD于點

問題1鴕和小的數(shù)量關(guān)系是—，位置關(guān)系是—.

【深入探究】

應用問題1的結(jié)論解決下面的問題.

問題2如圖3,連接BD,點O是的中點，連接Q4,OG.求證Q4=OD=OG.

【嘗試應用】

問題3如圖4,請直接寫出當旋轉(zhuǎn)角a從0。變化到60。時，點G經(jīng)過路線的長度.

F

GFGG

ADAD

BCBC

圖2圖3

28.(2024?揚州)如圖，點A、B、M、E、方依次在直線/上，點A、6固定不動，且AB=2,分別

以AB、￡F為邊在直線,同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH,/PMN=90。,直角邊恒過點C,直

角邊恒過點H.

(1)如圖1,若BE=10,EF=12,求點/與點5之間的距離；

(2)如圖1,若跳：=10,當點M在點5、石之間運動時，求的最大值；

(3)如圖2,若BF=22,當點石在點5、尸之間運動時，點M隨之運動，連接C",點。是C"的中

點，連接HB、MO,則+的最小值為.

圖1

29.（2024?青海）綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形.數(shù)學

興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究.

如圖1,在四邊形ABCE＞中，E、F、G、H分別是各邊的中點.

求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：?:E、F、G、”分別是AB、BC、CD、的中點，

:.EF,GH分別是△口(?和△ACD的中位線，

:.EF=^AC,GH=^AC(?).

:.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

：,中點四邊形￡FGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

(1)請你補全上述過程中的證明依據(jù)①.

【探究二】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

A

不相等、不垂直平行四邊形—?

AC=BD菱形

D：

---1

c

圖2

從作圖、測量結(jié)果得出猜想I：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形.

(2)下面我們結(jié)合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【探究三】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

AC-LBD②

圖3

(3)從作圖、測量結(jié)果得出猜想n：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②.

(4)下面我們結(jié)合圖3來證明猜想II,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【歸納總結(jié)】

(5)請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應的圖形.

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

③④r???????

????????

????????

????????

????????

1-----+--1---1

????????

????????

????????

????????

L___L____X_____J___J______1___|___I

11111111

11111111

!__________________________!_____?_____<_____?

11111111

11111111

1_____L____1_____1_____1______1_____1______1

11111111

11111111

11111111

圖4

結(jié)論：原四邊形對角線③—時，中點四邊形是④.

30.(2024?包頭)如圖，在nABCD中，NABC為銳角，點E■在邊AD上，連接BE,CE,且％=SADCE.

(1)如圖1,若尸是邊BC的中點，連接所，對角線AC分別與3E,毋相交于點G,H.

①求證：〃是AC的中點；

②求AG:G〃:HC；

(2)如圖2,助的延長線與CD的延長線相交于點“，連接AW,CE的延長線與AA1相交于點N.試

探究線段AM與線段AV之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

'M

六.切線的判定與性質(zhì)（共1小題）

31.（2024?淮安）如圖，在△MC中，BA=BC,以至為直徑作交AC于點D,過點。作DE_LBC,

垂足為E,延長DE交AB的延長線于點F.

（1）求證：OF為。。的切線；

（2）若BE=1,BF=3,求sinC的值.

七.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）

32.（2024?綿陽）如圖，在矩形MCD中，點E在A3上運動，△ADE的內(nèi)切圓與DE相切于點G,將4

ADE沿DE翻折，點A落在點F處，連接當點E恰為的三等分點（靠近點A）時，且EG=百-1,

DG=y/5+l,貝UcosZABF^.

八.正多邊形和圓（共1小題）

33.（2024?淮安）如圖，點尸是正六邊形ABCD跖的邊AB的中點，一束光線從點P出發(fā)，照射到鏡面EF

上的點。處，經(jīng)反射后恰好經(jīng)過頂點C.已知正六邊形的邊長為2,則EQ=—.

九.圓的綜合題（共4小題）

34.（2024?綿陽）如圖，為△回（?的外接圓，弦CDLM,垂足為E,直徑酬交CD于點G,連接

AF,AD.若AB=AC=5,BC=2舊.

（1）證明：四邊形AZX蘇為平行四邊形；

（2）求變的值；

AD

（3）求sinNC4p的值.

By——、

35.（2024?德州）如圖，圓。已與。C都經(jīng)過A，6兩點，點2在上，點。是人。25上的一點，連

接AC并延長交。。2于點P，連接鉆，BC,BP.

(1)求證：ZACB=2/P；

(2)若ZP=30°,AB=273.

①求O。］的半徑；

②求圖中陰影部分的面積.

36.(2024?常州)對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離d后

與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”.

(1)如圖1,B、C、。是線段AE的四等分點.若AE=4,則在圖中，線段AC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是一，

d=—(寫出符合條件的一種情況即可)；

(2)如圖2,等邊三角形的邊長是2.用直尺和圓規(guī)作出△回(?的一個“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d=2

(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)如圖3,在平面直角坐標系xOy中，點。、E、G的坐標分別是(-1,0)、(1,0)、(0,4),以點G為圓

心，r為半徑畫圓.若對0G上的任意點尸，連接/宏、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，

且滿足d..3,直接寫出r的取值范圍.

G

DE

ABCDEO-x

（圖1）（圖2）（S3）

37.（2024?廣西）如圖，已知0O是AABC的外接圓,=.點D,E分別是BC,AC的中點，連

接DE并延長至點/，使DE=EF,連接AF.

（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）求證：AF與。。相切；

（3）若tan/BAC=—,BC=12,求0。的半徑.

一十.作圖一復雜作圖（共1小題）

38.（2024?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,F,G均在格點上.

（/）線段AG的長為；

（〃）點E在水平網(wǎng)格線上，過點A,E,尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點作切線，分別與AE,AF

的延長線相交于點3,C,ZXABC中，點M在邊BC上，點N在邊上，點尸在邊AC上.請用無刻

度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點M,N,尸，使△ACVP的周長最短，并簡要說明點N,P

的位置是如何找到的（不要求證明）—.

一十一.翻折變換（折疊問題）（共5小題）

39.（2024?淮安）如圖，在nABCD中，AB=2,BC=3,ZB=60°,尸是3c邊上的動點（2尸＞1）,將

△形尸沿AP翻折得△的2，射線P8f與射線4）交于點E.下列說法不正確的是（）

A.當時，Bk=BE

B.當點夕落在AD上時，四邊形A5P8是菱形

C.在點尸運動的過程中，線段AE的最小值為2

D.連接則四邊形的面積始終等于LAPIB'

2

40.（2024?牡丹江）小明同學手中有一張矩形紙片ABCD,AD=12cm,CD=Wcm,他進行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使與BC重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把AADN沿AN折疊得到△ADW,AO交折痕MN于點E,則線段E?V

的長為（）

24248

41.（2024?眉山）如圖，在矩形MCD中，AB=6,BC=8,點￡1在DC上，把AADE沿AE折疊，點。

恰好落在BC邊上的點F處，貝Ucos/CEF的值為（）

42.（2024?自貢）如圖，在矩形ABCD中，AF平分/朋C,將矩形沿直線砂折疊，使點A,3分別落

在邊"＞、3c上的點4,8處，EF,A/分別交AC于點G,H.若GH=2,HC=8,則3尸的長

為（）

A工B*C.巫D.5

992

43.（2024?常州）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是邊AC的中點，E是邊BC

上一點，連接BO、DE.將ACDE沿/走翻折，點。落在班）上的點尸處，則CE=.

44.（2024?徐州）如圖，在wWCD中，AB=6,AD=10,NS4D=60。，P為邊AS上的動點.連接PC,

將PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到PE,過點石作跖/〃