浙江省臺(tái)州市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1月期末質(zhì)量試卷

浙江省臺(tái)州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)1月期末質(zhì)量試卷

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)——四總分

評(píng)分

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求）

1.直線y=2%-1的斜率等于（）

A.-1B.1C.2D.-2

2.若雙曲線耳一腳=l（m>0）的離心率為2,則實(shí)數(shù)（）

LN

A.2B.2V3C.4D.16

3.若空間向量a=（L0,1）,6=（2,1,2）,則a與b的夾角的余弦值為（）

A.1B.孚C.孥D.-1

4.已知等差數(shù)列｛an｝OiCN*）的前n項(xiàng)和為治.若55=35,a4=3a1；則其公差d為（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.如圖，在平行六面體4BCD—中，記ZB=a,AD=b,AD1=c,貝！=（）

A.a+b—cB.—a+b+cC.—a+b+cD.—CL-b+c

6.人們發(fā)現(xiàn)，任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述

運(yùn)算，必會(huì)得到1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：對(duì)于數(shù)列｛冊(cè)｝SEN*）,

，Ctrl

ax=m（zn為正整數(shù)），an+1=2'斯''若則血所有可能的取值的和為（）

、3an+La。為奇數(shù).

A.16B.18C.20D.41

7.已知拋物線C；y2=2p%（p>0）的焦點(diǎn)為凡A,B兩點(diǎn)在拋物線C上，并滿足於=3而，過點(diǎn)4作x軸

的垂線，垂足為M,若|FM|=1,則p=（）

A.1B.1C.2D.4

1

8.在空間四邊形2BCD中，AB-BC=BC-CD^CD-DA=DA-AB,則下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.AB+BC=-（CD+~DA）B.AB2+BC2=CD2+DA2

C.AABDSADCAD.AC1BD

二'多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.已知數(shù)列｛an｝和｛bJSeN*）是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.｛碎｝是等比數(shù)列B.｛斯+0｝一定不是等差數(shù)列

C.8““｝是等比數(shù)列D.｛冊(cè)+現(xiàn)｝一定不是等比數(shù)列

10.已知a>—4且aHO,曲線C；￡+些=1，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)a>0時(shí)，曲線C是橢圓

B.當(dāng)一4<a<0時(shí)，曲線C是雙曲線

C.當(dāng)a>0時(shí)，曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,（0,-2）

D.當(dāng)一4<a<0時(shí)，曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（—2,0）,（2,0）

11.如圖，在四面體4BCD中，E,F,G,"分別是4B,BC,CD,D4的中點(diǎn)，EG,相交于點(diǎn)則下列

A.4C〃平面EFGH

B.AC1BD

C.AM=^(AB+AC+AD^

D.若S,7分別為AC,BC的中點(diǎn)，則M為ST的中點(diǎn)

12.已知S={(%,y)|(x-2)2+(y—m)2=1,y>0}U{[x,y)|(x-2)2+(y+m)2=1,y>0],T=

((%,y)|y=P=SCT,則下列結(jié)論中正確的是()

2

A.當(dāng)m=2時(shí)，SQ｛（%,y）ly=。｝=｛（2-,0）,（2+，°）｝

B.當(dāng)m=2時(shí)，P有2個(gè)元素

C.若P有2個(gè)元素，則孚—1＜血〈字+i

D.當(dāng)o（血〈字一1時(shí)，P有4個(gè)元素

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.點(diǎn)（1,2）到直線3久+4y—6=0的距禺為.

14.已知橢圓烏+"=19＞6〉0）的左右焦點(diǎn)分別為%,尸2〃為橢圓上的點(diǎn)，若NF1PF2=60°,\PFr\=

a乙b乙

2\PF2\,則橢圓的離心率等于.

71G

15.已知數(shù)列｛（2^+n）Qn+1+n+l）乂'*）的前n項(xiàng)和為5加當(dāng)5?＞奈時(shí)，n的最小值是.

16.已知拋物線C『/=4y和C2；/=—8y.點(diǎn)P在C2上（點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合），過點(diǎn)P作的的兩條切線，切

點(diǎn)分別為4B,直線交。2于C,。兩點(diǎn)，則黑的值為.

四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知圓C經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)4（2,0）,B（0,2V3）.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過原點(diǎn)的直線I與圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，若|PQ|=2,求直線I的方程.

18.已知數(shù)列5｝（nGN*）是公比不為1的等比數(shù)歹U,其前幾項(xiàng)和為目.已知332a2,成等差數(shù)列,S3=26.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

3

(2)若％=(n+1)&，求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和

19.在長方體力BCO-Z/iCiOi中，ZB=4。=1.從①②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)解答該題.

①直線AB與平面AC%所成角的正弦值為多

②平面ABBMi與平面"小的夾角的余弦值為李

(2)E是線段(不含端點(diǎn))上的一點(diǎn)，若平面為C1E1平面力QE,求弱的值.

4

20.如圖，圓C的半徑為4,/是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)且|C4|=2,P是圓C上任意一點(diǎn)，線段4P的垂直平分線1和

半徑CP相交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng).

(1)求點(diǎn)Q的軌跡;

(2)當(dāng)CP1C4時(shí)，證明：直線，與點(diǎn)Q形成的軌跡相切.

21.某游樂園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一條北偏

東為8的筆直公路，其中cose=3.摩天輪近似為一個(gè)圓，其半徑為35m,圓心。到地面的距離為40m,其最高

點(diǎn)為44點(diǎn)正下方的地面B點(diǎn)與公路的距離為70m.甲在摩天輪上，乙在公路上.(為了計(jì)算方便，甲乙兩人的

身高、摩天輪的座艙高度和公路寬度忽略不計(jì))

（1）如圖所示，甲位于摩天輪的4點(diǎn)處時(shí)，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？

（2）當(dāng)甲隨著摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？

22.已知雙曲線芻一噲=i（a>0,b>0）的實(shí)軸長為2也直線x=2交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，\AB\=2.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)M（2,3）,過點(diǎn)0）的直線1與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn)，且直線MP與直線MQ的斜率存在,

分別記為心，心.問：是否存在實(shí)數(shù)3使得七+左2為定值？若存在，則求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由直線的斜截式y(tǒng)=k￡+b可知y=2x—1的斜率為k=2.

故答案為：C.

【分析】利用直線的斜截式方程的參數(shù)的幾何意義即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：由題意得，2解得血2=里

e=￡i=zn!+i2=4,

aLm乙

又m>0,則TH=2.

故答案為：A.

【分析】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì).根據(jù)題意可得：。2=血2力2=12，代入離心率計(jì)算公式e2=^|可得:

正妥=4,解方程可求出m的值.

m乙

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意，得cos<aj)=黑=°,,廣</a=孥.

|a||b|V12+02+12XV22+12+223

故答案為：C.

【分析】利用空間向量夾角公式即可求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由S5=乂叼：。5)=5。3=35,所以。3=7,又。4=3的，

???解得｛*=；?

+3a=3%Id=2

故答案為：D.

【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a3=7,再結(jié)合(14=3的

可得方程組：3d=:，解方程組可求出公差注

+3a=J4

5.【答案】A

【解析】【解答】解：由題意可得：D^C=D^D+DC=DC+AD-AD[=a+b-c.

故答案為：A.

7

【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算.根據(jù)圖形可得：D；C=D；D+DC，又因?yàn)榭杀硎緸镈；。=AD-ADV

所以0；C=DC+AD-AD^將荏=a,AD=b,AD[=砒入上式可求出答案?

6.【答案】B

【解析】【解答】解：若。5=1，則由遞推關(guān)系只能有。4=2,。3=4,有。2=8或。2=1，

當(dāng)。2=8時(shí)，的=16；當(dāng)a2=1時(shí)，的=2,

所以小所有可能的取值為16或2,16+2=18.

故答案為：B.

，CITI

【分析】本題考查數(shù)列的遞推公式.若。5=1，則由遞推關(guān)系即+1=乞‘°n'',只能有a4=2,=4,

3azi+1,Qn為奇數(shù).

粵，0為偶數(shù),

2n

再遞推一次可得：。2=8或。2=1.當(dāng)@2=8時(shí)，則由遞推關(guān)系an+i=）,可求得Q1=16；

、3azi+1,小為奇數(shù).

當(dāng)（12=1時(shí)，則由遞推關(guān)系即+1=|芋‘a(chǎn)"為偶數(shù)',可求得見=2,據(jù)此得出m所有可能的取值，進(jìn)而得

（.3dn+1,為奇數(shù).

出答案.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：由題意得尸（與0）,

當(dāng)過F的直線斜率不存在時(shí)，AF=FB,不合要求，舍去，

當(dāng)過F的直線斜率存在時(shí)，設(shè)為y=k。-紛，聯(lián)立C：V=2p%得，

k2x2—（2/c2P+2p）x+卜f=0，

設(shè)4（%i，yD鳳％272），則％i%2=%

因?yàn)?F=3尸B,所以%i—芻=3（1一％2）,

又|FM|=1,故%1—芻=1,解得%i=l+2

故3怎-%2）=】解得%2=芻一/

故（1+引仁一羽=聯(lián)解得p=l.

8

【分析】本題考查拋物線的定義和拋物線的簡單幾何性質(zhì).本題需要分過F的直線斜率不存在和存在兩種情況.

當(dāng)過F的直線斜率不存在時(shí)，AF^FB,不合要求；當(dāng)過F的直線斜率存在時(shí)，設(shè)為y=k（x-烏）聯(lián)立拋物線

可得：?=）。一’），消y可得：—（2k2P+2p）久+字=0,得到兩根之積久1冷=《，根據(jù)向量比例關(guān)

y2-2px44

系羽=3而得到方程久1一號(hào)=3弓72），再結(jié)合伊叼=1求出％1=1+*工2=5V，代入勺工2=苧可得到

方程（1+引弓弓）=4,解方程可求出答案.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：依題意，AB+BC^AC^-CA（CD+DA）,A正確；

顯然（荏+BC）2=（而+DA）2,即荏2+或2+2AB-JC=~CD2+DA2+2CD-DA,

因此屈2+前2=42+育2,B正確；

由前+而=^D=-DB=-（DA+AB）,同理得前2+42=礪2+荏2,

于是|詬|=|前荏|=|而|,由而?玩=玩?而，得阮?（荏+虎）=0,

由而?雨=雨?荏，得麗?（荏+反）=0,取BC中點(diǎn)。，連接C。并延長至E,

使OE=C。，連接B&DE/E,取4E中點(diǎn)尸，連接BF,CF,顯然四邊形BCDE為平行四邊形，

貝I」而|=\BC\=\DE\.\AB\=\CD\=\BE\,BC//DE.CD//BE,

于是荏+求=方+麗=2麗，即有前?而=0,用?麗=0,貝I」BC1BF/。1BF,

DE1BF,而40CDE=D,AD,DEu平面ADE,則BF1平面ADE,又DFu平面ADE,

因止匕BF_LDF,BD=2OF=AC,而AB=。為公共邊，所以△ABD也ADCB,C正確；

顯然線段BC,CD不一定相等，而BF=VSE2-EF2=y/CD2-EF2,DF=y/BC2-EF2,

即直角三角形BFD的兩條直角邊不一定相等，F(xiàn)。與BD不一定垂直，又尸O〃AC,

所以不一定垂直，D錯(cuò)誤.

故答案為：D.

【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算.根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得：而+前=而=-函=-（而+a）.對(duì)式

9

子荏+前=-(麗+市)兩邊同時(shí)平方可得：AB2+~BC2+2AB-JC=~CD2+DA2+2CD-DA,結(jié)合題目已知

條件可得：AB2+BC2=CD2+DA2;由阮+麗=麗=-礪=-(用+荏)，兩邊同時(shí)平方結(jié)合已知條件可

得：BC2+CD2=DA2+AB2,據(jù)此可推出瓦?(荏+比)=0,通過作圖分析，利用給定等式結(jié)合垂直關(guān)系的

向量表示推理判斷CD.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、設(shè)數(shù)列｛斯｝的公比為q,則等i=q,

an

口2

故」甲=/，所以｛碌｝是等比數(shù)列，A正確；

an,

B和D、設(shè)斯=l,bn=2,滿足數(shù)列｛冊(cè)｝和｛現(xiàn)｝("eN*)是等比數(shù)列，

所以冊(cè)+既=1+2=3,故此時(shí)｛an+“｝是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，BD錯(cuò)誤；

C、設(shè)數(shù)列｛斯｝的公比為q,數(shù)列｛"｝的公比為qi，

則詠華+1故｛a"bn｝是等比數(shù)列，C正確；

故答案為：AC.

zy

【分析】本題考查等比數(shù)列的定義和等差數(shù)列的的定義.設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的公比為q,則鏟=q,故勺=q2,所

an鯨

以｛碎｝是等比數(shù)列；同理設(shè)數(shù)列｛6｝的公比為qi，則5+/+1=qq>故｛斯?％｝是等比數(shù)列CD選項(xiàng)通過舉出

反例進(jìn)行判斷，設(shè)斯=1/n=2,滿足數(shù)列｛陶和也｝(nCN*)是等比數(shù)列,所以an+,=1+2=3,故此時(shí)

｛斯+現(xiàn)｝是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、若a>0,則4+a>a>0,故曲線C是焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，A正確；

B、若—4<a<0,則4+a>0,a<0,故曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，B正確；

C、a>0時(shí)，由A可得曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，C錯(cuò)誤；

D、—4<a<0時(shí)，由B可得曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,

曲線?！?白1，可化為曲線。名Y

1，

雙曲線C的半焦距為J4+a+(-a)=2,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0),D正確.

故答案為：ABD.

【分析】本題考查橢圓方程，雙曲線方程.對(duì)于AC,若a>0,則4+a〉a〉0,故曲線C是焦點(diǎn)在左軸上的

橢圓，故A正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于B,若—4<a<0,則4+a>0,a<0,故曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線;

對(duì)于D,—4<a<0時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，曲線。占+*=1，可化為曲線C：工—之=1，

4+aa4+a—a

10

可求出雙曲線C的半焦距為j4+a+(-a)=2,進(jìn)而得出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、因?yàn)橥逨分別是的中點(diǎn)，所以EF〃AC.

又因?yàn)镋Fu平面EFGH,4CC平面EFGH,所以4c〃平面EFGH,A正確；

B、由A可得，EF//AC,因?yàn)镕,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，所以FG〃BD.

由題中條件得不到EF與FG垂直，所以也得不到4C與BD垂直，B錯(cuò)誤；

C、AM=AE+~EM=^AB+^EG=^AB+~(EF+FG)

1一11一111

=~yAB+(^-yAC+=2荏+4前+4港-碉

=^(AB+AC+AD),C正確;

D、因?yàn)?是BD的中點(diǎn)，所以后=々(荏+而).

又因?yàn)镾是4c的中點(diǎn)，所以屈而，

所以萬+屈港+前+而)=2AM,

所以M為ST的中點(diǎn)，D正確.

故答案為：ACD.

【分析】本題考查直線與平面平行的判定，異面直線垂直的判定，空間向量的線性運(yùn)算.已知E,F分別是4B,BC

的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得：EF//AC,根據(jù)線面平行的判定定理可得4C〃平面EFGH；已知F,G

分別是BC,CD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得：FG〃BD,又知EF〃/C,所以可將AC與BD的位置關(guān)

系轉(zhuǎn)化為EF與FG的關(guān)系進(jìn)行判斷，又因?yàn)轭}中條件得不到EF與FG垂直，所以也得不到4C與BD垂直；

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可判斷C；已知

7是BD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中線向量公式可得：萬=g(荏+而).又知S是4C的中點(diǎn)，所以荏近，兩

式結(jié)合可得：AT+AS=^(AB+AC+AD)=2AM,據(jù)此得出“為S7的中點(diǎn)

12.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、加=，時(shí),

(%-2)2+(y-1)2=l,y>0表示圓心為(2,4),半徑為1的圓位于%軸上方的部分(包括%軸上的兩點(diǎn))，

由—2>+(0—■|')2=i得％=2+字或x-2—字,

故力(2—學(xué),0),B(2+孚,0)，

2)2+(y+1)2=l,y>0表示圓心為(2,-義)，半徑為1的圓位于左軸上方的部分(包括左軸上的兩點(diǎn))，

11

由(久一2)2+(0+4)2=1,解得久=2+孚或尤=2—孚，

同理可得4(2—亨,0)鳳2+冬0)，

故S表示的部分如圖所示，

{Q,y)|y=0}表示久軸，故sn{O，y)|y=0}={(2—^,0),(2+苧，0)}，A正確；

B、當(dāng)TH=2時(shí)，(工一2)2+(y-2)2=1,由于圓心(2,2)到x軸的距離等于2,大于1,

整個(gè)圓位于%軸上方，

(%—2)2+(y+2)2=1,由于圓心(2,-2)到％軸的距離等于2,大于1,整個(gè)圓位于工軸下方,

故S表示的部分如圖所示，

1__|2-1|_2通”

由于圓心(2,2)到y(tǒng)=2汽的距離萬復(fù)一~5~<1，

故直線y=*久與圓(x—2)2+(y—2)2=1有兩個(gè)交點(diǎn)，p有？個(gè)元素，B正確;

C、當(dāng)771=0時(shí)，此時(shí)兩圓圓心相同，半徑相等，

此時(shí)S表示的部分如圖所示，

此時(shí)直線y=去％與S有兩個(gè)交點(diǎn)，而亨一1>0,C錯(cuò)誤；

D、當(dāng)0<771<孚—1時(shí)，

cr1Im—II2V5lm—II2店、

(%-2)2+(y-m)2=1,由于圓心(2,TH)到y(tǒng)=^x的距離為5T=5e)，

12

(x-2)2+(y+m)2=1,由于圓心(2,—m)到y(tǒng)=^x的距離為

|m+l|_275|m+l|e(等1),

■1^+^1二5

畫出S表示的部分如圖所示,

此時(shí)直線丫=/久分別與兩圓交于兩點(diǎn)，共4個(gè)交點(diǎn),

所以P有4個(gè)元素，D正確.

故答案為：ABD.

【分析】本題考查點(diǎn)集，集合的交集運(yùn)算和并集運(yùn)算.A選項(xiàng)，當(dāng)：m=*時(shí)，(%—2)2+(y—*)2=12表示

圓心為(21)，半徑為1的圓位于X軸上方的部分(包括支軸上的兩點(diǎn))，(尤—2)2+(y+g)2=l,y20表示圓

心為(2,-★)，半徑為1的圓位于工軸上方的部分(包括支軸上的兩點(diǎn))，進(jìn)而可畫出S表示的部分圖形，求出

與工軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；B選項(xiàng)，當(dāng)血=2時(shí)，S為(久一2>+(y-2)2=1,由圓心(2,2)到丫=去

的距離小于半徑得到有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)；C選項(xiàng)，舉出反例：當(dāng)巾=0時(shí)，此時(shí)兩圓圓心相同，半徑

相等，畫出S表示的圖形，根據(jù)圖形可得直線y=科久與S有兩個(gè)交點(diǎn)，而孚-1>0；D選項(xiàng),當(dāng)o<m(字-1

rn1Im—II2V5|m—II2總、n

時(shí)，(%-2)2+(y-m)2=1,由于圓心(2,TH)到y(tǒng)=^x的距離為彳口=5G),(%-2)2+(y+

r1—|m+l|275|m+l|_,275一一

m)2=1,由于圓心(2,-血)到y(tǒng)="的距離為=---§---《.J),回出S表示的部分圖形，結(jié)合

“J1+4

點(diǎn)到直線距離，數(shù)形結(jié)合得到答案.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：點(diǎn)P(l,2)到直線3久+4y—6=0的距離d=叱-回=t

V3乙+4，

故答案為：1.

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可.

14.【答案】孚

13

【解析】【解答]解:由橢圓定義可得|PFi|+|P&I=2a,XlPFtl=2\PF2\,

故附1|=竽,仍尸2|=導(dǎo)

22

16a+4a_/1220a￡_42

F1P|2+|F2P|2一尸1尸2|2—9'9_9

由余弦定理得COS^FPF=

122|FFHF2Pl,4a2a16a2

-9-

挈-族_1_16a2

故?

16a2=2'9

9

解黑=字故離心率為字

故答案為：字

【分析】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì).已知|P%|=2|P%I結(jié)合橢圓定義可求出IPFil=竽,四2|=冬再由余

|F1P|2+|F2Pl2—216a2

弦定理可得到方程C0S4%P4二同/=/代入數(shù)據(jù)化簡后可得到方程懈—8c2=,，化

2|%PHF2Pl9

簡后可求出離心率.

15.【答案】4

2幾+111

【解析】【解答】解：由于(2汽+71)(2n+1+n+1)―2n+n—2?+l+n+l,

故Sn=ARA卷+…+1111

2n+n—2n+1+n+l~3~2n+1+n+l，

由%＞稱，可得?2「+L+]＞茶，

即2n+1+n+1>20,由于2n+1+n+l,(nGN*)的值隨n的增大而增大,

且n=3時(shí)，2n+1+n+l=20,n=4時(shí)，2n+1+n+l37>20,

故〃的最小值為：4.

故答案為：4.

2幾+111

【分析】本題考查裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和.觀察可得：可將2+71+1)化為島?一2"+i、+r利用裂項(xiàng)

求和法可求出SMSn=1-2W+I^n+1，又因?yàn)?＞茶，可得，，布—＞稱再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得:

2n+1+n+l,(neN*)的值隨n的增大而增大，利用單調(diào)性求解不等式，可得出答案.

16.【答案】辛

【解析】【解答】解：依題知直線AB的斜率存在且不為0,

14

B

ZT\^

設(shè)直線AB\y=kx+b,(kW0),21y2)，

e，.(y=kx+bmo

聯(lián)乂［,_彳丫，得％之—4kx—4b=0,

貝必=16k2+16b>0,

+%2=4k

-%2=-4b，

設(shè)過Z點(diǎn)的切線方程為y-yi=fci(x-xi),

則1一二”￡一刈)，得/—+4的久1—芯=0,

由A=16kj—16/c1x1+4%：=0,得ki=芬

故過A點(diǎn)的切線方程為y—yi=學(xué)(工一亞)，即y=^^一yi，

同理過B點(diǎn)的切線方程為y=芋-、2，

_xl+x2_07

聯(lián)立得久一二—一/匕則點(diǎn)p(2k,—b),

.y=-b

則(2k)2=—8(—b),得卜2=2b,

設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)>

.ry=kx+b/口

聯(lián)乂)c，得%?Q+8kx+8b=0,

(=2-8y

A=64/c2-32b>0,

t%3+%4=—8k

I%3?久4=8b'

\AB\=|x「Q|=Jl6k2+i6b=4改2+\=4聞=在

x2

|CD|k3-4lJ64k2—3264內(nèi)2k2-4&同,

故答案為：點(diǎn).

【分析】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.根據(jù)題意可知直線ZB的斜率存在且不為0,據(jù)此設(shè)出直線2B方

程”依+從聯(lián)立『［"心，得/-4日-4b=0,根據(jù)韋達(dá)定理可得：產(chǎn)+久2=普；聯(lián)立『之了

得久2+8kx+8b=0,根據(jù)韋達(dá)定理可得：巴根據(jù)弦長公式可得解=告"，代入數(shù)據(jù)可求

I久3.%4=8b\CD\|%3一%4l

15

出答案.

17.【答案】(1)解：設(shè)原點(diǎn)為0,易知。4L0B,線段4B的中點(diǎn)為圓心，圓心坐標(biāo)為(1,V3).

線段2B的長為圓C的直徑，|2B|=4,半徑r=2.

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(％—1尸+(y—V3)2=4

(2)解：①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線I的方程為x=0,

令久=0,代入圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，

解得y=o或y=2V5,則|PQ|=2百，不符合題意.

②當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=kx,將其轉(zhuǎn)化為一般式方程kx-y=0,

圓心到直線的距離為d,則4=1號(hào)=岳『=8，得(k—百)2=3(上2+1),

化簡得k=Q或k=—即直線I的方程為y=0或y=—V3x

【解析】【分析】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系.

(1)由0410B,可知線段4B的中點(diǎn)為圓心，線段的長為圓C的直徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出|AB|=

4,所以半徑r=2,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出圓心為(1,V3),據(jù)此可寫出圓的方程；

(2)分直線1的斜率是否存在進(jìn)行討論：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線2的方程為x=0,

將直線方程久=0代入圓。的方程(久一1)2+(丫一8)2=4,解得y=0或y=2B，則|PQ|=2g,不符合題

意.；當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，因?yàn)橹本€1經(jīng)過原點(diǎn)，所以設(shè)直線/的方程為y=kx,利用圓的弦長公式可求出

d=卜_(竿)2==他又知圓心(1，遮)到直線kx-y=0的距離為d,可列出方程d==

V3,解方程可求出斜率k,進(jìn)而寫出直線1的方程.

18.【答案】⑴解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,由題意得：

2

3al+%=4a2，即3%+arq=4arq,

,??內(nèi)W0,得3+/=4q,解得q=1或q=3.

由于q=1不符合題意，因此q=3.

由S3=26得，的+做+。3=26,即13al=26,a1=2.所以a九二2?3n-1

n1

(2)解：由題意得，bn=(2n+l)3-,貝IJT九=3乂3°+5乂31+7*32+i+(2九一1)3九一2+(271+1)3九一1,

貝ij3T幾=3X31+5X32+7X33+…+(2n-l)3n-1+(2n+1)3%

則一2T幾=3x3。+2x(31+32+…+3九T)一(2n+1)3九=3+23。言一(2n+1)3%

則一2T九=3+3(3九t-1)-(2n+1)3九=-2n.3n,

n

Tn=n-3

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.

(1)已知3a1，2“2以3成等差數(shù)列，所以3al+a3=4a2，將式子用和q進(jìn)行表示，解方程組即可求解；

16

（2）由⑴可得:0n=2-3計(jì)］.所以“=（2n+l）3n-i,利用錯(cuò)位相減即可求出

19.【答案】（1）解：如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BBi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間

直角坐標(biāo)系.

則B（0,0,0）,4（0,1,0）,C（l,0,0）,

z

，I

設(shè)Z&=a,則1/a),前=(L-1/0),=(1,0,a),

設(shè)平面/CDi的法向量元=力，zi).

n?AC=%i—Vi=0/3a曰［一(.\

t?。=a,y\—a,z1=—1,貝！JTI—(a,a,—1J.

{n?AD1=+azi=0,

若選擇條件①，AB=(0,-1,0),設(shè)直線4B與平面4CDi所成角為仇

則sin。=|cos(n,AB)\=口=奈

V2az+1J

解得a-2.即AA1=2.

若選擇條件②，易知平面4BB1&的法向量為訪=(1，0,0),

設(shè)平面ABB1A1與平面AC小的夾角為a,

EIIm-nIa2

則c°sa=|而前|=7^7=3^

解得a=2.A41=2

（2）解：由題（1）得，?。↙1,2）,&（0,1,2）,g（L0,2）,西=（1,1,2）,存=（L—1,0）.

設(shè)麗=A^=（入，入，2人）（入H1）,貝（入，入，2人），袍=（入，入一1,2入一2）.

17

A1C1

設(shè)平面4C1E的法向量§=（X2，、2，Z2）J-S*yi0，取利=丫2=1,Z2=

G,A^E-A%2+（入—l）y2+（2入—2）z2=0，

搭,則3=（1，1，媛）

又ZE二（入，入一1，2Z）,AD=^1/0,0）,設(shè)平面4DE的法向量七=（對(duì)，丫3，^3）-

卜?ZE=-入%3+（入-1）丫3+2屹3=。，人1八97）1、

\_>令丫3=-2入，Z3=A.-1,貝!J￡=（0,—2入，入-1）.

（t-AD=x3=0,

?.?平面&C1E1平面2DE,二§7=0,即一2入+J—=—2入+^^=0,

ZA-ZZ

解得人4所以弱T

【解析】【分析】本題考查利用空間向量求直線與平面所成的角，平面與平面所成的角，平面與平面垂直.

（1）以BC,BA,BBi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)44i=a,利用向量法求出平

面AC處的法向量,①直線AB與平面AC%所成角的正弦值為率代入直線與平面所成的角的公式可求出a=2；

②平面ABB1&與平面AC小的夾角的余弦值為易可知平面力BBMi的法向量為萬=（1,0,0）,代入平面與平面

所成的角公式可得：如戊=|需露|=|五差意|=引解方程可求出a；

（2）設(shè)礪=入西=（入，入,2人）,（入片1）,求出平面4停止的法向量與平面ADE的法向量，已知平面4也止，平面

ADE,,在兩個(gè)平面的法向量垂直可列出方程：—2入+（1-智目-D=—2入+亨=0,解方程可求出入的值，

ZA—ZZ

即可求出前RF的值.

20.【答案】（1）解：???|CP|=|QC|+|QP|=4,\QP\=\QA\,\QC\+\QA\=4.

因?yàn)閼?yīng)陰+應(yīng)川〉心|=2.所以、與兩個(gè)定點(diǎn)。，4的距離的和等于常數(shù)（大于［C4|）,

由橢圓的定義得，Q點(diǎn)的軌跡是以C,A為焦點(diǎn)，長軸長等于4的橢圓.

（2）解：以線段C2的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，以過點(diǎn)C,4的直線為久軸，以線段C4的垂直平分線為y軸，建

立平面直角坐標(biāo)系Oxy,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+"=l（a>b>0）,

a乙b乙

由橢圓的定義得：2a=4,即。=2；2c=2,即c=1.

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為子+4=1.

43

當(dāng)CP1C4時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（一1,4）和（一1,-4）.

當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（—1,4）時(shí)，已知4點(diǎn)的坐標(biāo)為（L0）,

線段P4的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,直線4P的斜率為土生=—2,

18

1（y=+2,2

直線/的方程y=±x+2,聯(lián)立方程建y2_得3/+4&X+2）-12=0，

“匕+專=L

整理得/+2久+1=0,可得△=（）.

所以直線I與點(diǎn)Q形成的軌跡只有1個(gè)交點(diǎn)，即直線I與點(diǎn)Q形成的軌跡相切.

當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-4）時(shí)，同理可證.

【解析】【分析】本題考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系.

（1）已知P是圓C上任意一點(diǎn)，所以|。「|=及。|+及「|=4,又知線段4P的垂直平分線為/，所以|QP|=|Q4|,

結(jié)合|?！竱=|<?。+及「|=4可得：|QC|+|Q4|=4,因?yàn)镮QCI+IQ*>叱|=2,所以Q與兩個(gè)定點(diǎn)C,A的

距離的和等于常數(shù)（大于|。川），根據(jù)橢圓的定義可得答案；

（2）以線段C4的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,以過點(diǎn)C,4的直線為x軸，以線段CA的垂直平分線為y軸，建立平

面直角坐標(biāo)系。久y,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)CPLC4時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,4）和（一1,-4）,求出直線Z的

ry=_51%+I2o,

方程與橢圓方程聯(lián)立可得22，消y可得：/+2%+1=0利用判別式可得&=0,進(jìn)而證明結(jié)論.

借+勺=1，

21?【答案】（1）解：如圖所示，設(shè)公路所在直線為過B點(diǎn)作I的垂線，垂直為D,BD=70m.

因?yàn)閳A的半徑為35m,圓心。到地面的距離為40m,所以AB=75m.從甲看乙的最大俯角與乙4OB相等，由

題意得。AB1BD,則tanzADB==第=普.

（2）解：如圖所示，設(shè)甲位于圓。上的R點(diǎn)處，直線。尸垂直于。4且交圓。于F點(diǎn)，射線OR可以看成是

射線OF繞著。點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角度得至IJ.過R點(diǎn)正下方的地面7點(diǎn)向/作垂線，垂足為S.當(dāng)tanzRST取

得最大值時(shí)，乙RST即為從乙看甲的最大仰角.山題意得:

.,88.

35sina+40_7sina+7_7-y-sma

tanZ-RST=

“2-27—cos。―27—cosa

70—3or5cosa?,

8./

其中，一sma表示點(diǎn)（cosa,sina）和點(diǎn)（7,外構(gòu)成的直線a的斜率，當(dāng)直線a的斜率取得最小值時(shí)，tanzRST

7—cosa'

取最大值.因?yàn)辄c(diǎn)（cosa,sina）在單位圓％2+產(chǎn)=1上，所以當(dāng)直線。與單位圓相切時(shí)，斜率取得最大值或最小

19

值，設(shè)過點(diǎn)(7,外的直線方程為：y+,-7),即=解得卜=一14嚴(yán),則直線a的斜率最

小值為T41嚴(yán),代入可得tanZKST取最大值是今色1

【解析】【分析】本題考查解三角形，點(diǎn)到直線的距離公式，斜率公式.

(1)設(shè)公路所在直線為1,過B點(diǎn)作1的垂線，垂直為。因?yàn)閳A的半徑為35m,圓心。到地面的距離為40m,

所以2B=75m,由tanN4DB=黑，代入數(shù)據(jù)可求出答案；

(2)設(shè)甲位于圓。上的R點(diǎn)處，直線OF垂直于。力且交圓。于F點(diǎn)，射線OR可以看成是射線OF繞著。

點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角度得到.過R點(diǎn)正下方的地面T點(diǎn)向1作垂線，垂足為S.tanNRST取得最大值時(shí),NRST

即為從乙看甲的最大仰角，tan乙RST=7,一河巴其中，土吧表示點(diǎn)(c°sa,sina)和點(diǎn)(73構(gòu)成的直線a

27—cosa7—cosa