中考數學復習重難點突破：二次函數的最值

數學中考復習重難點突破——二次函數的最值

一'單選題

1.二次函數y^ax2-4x+l有最小值一3,貝Ua的值為（）

1

A.1B.-1C.±1D.-

一2

2.拋物線y=2（x+3『—4的頂點坐標是（）

A.（3,4）B.（3,T）C.（-3,4）

D.（—3,-4）

3.某商場降價銷售一批名牌襯衫,已知所獲利潤y（元）與降價x（元）之間的關系是y=-

2x2+60x+800,則利潤獲得最多為（）

A.15元B.400元C.800元D.1250

元

4.設a,b是實數，定義@的一種運算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2,則下列結

論：

①若a@b=0,貝!Ja=0或b=0

（2）a@（b+c）=a@b+a@c

③不存在實數a,b,滿足a@b=a?+5b2

④設a,b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當a=b時，a@b最大.

其中正確的是（）

A.②③④B.①③④C.①②④

D.①②③

5.拋物線y=（x+l）2-4（-2<x<2）,如圖所示，則函數y的最小值和最大值分別

B.-4和5C.-4和-3D.-1和5

6.二次函數y=ax?+bx+c,自變量x與函數y的對應值如表:

X-5-4-3-2-10

y40-2-204

下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下B.當x>-3時，y隨x的增大而

增大

C.二次函數的最小值是-2D.拋物線的對稱軸是x=--

2

7.我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希

臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a,b,C,記

^_a+b+c,則其面積s=[p（p-a）（p-b）（p-c）.這個公式也被稱為海倫-秦

九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形面積的最大值為（）

A.75B.4C.275D.5

8.如果函數y=2x2-3ax+l,在自變量x的值滿足l<x<3的情況下，與其對應的函數值

y的最小值為-23,則a的值為（）

A.—B.3點C.百-或不口?5

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,點M為對角線AC上的一個動點（不與

端點A,C重合），過點M作MELAD,MF1DC,垂足分別為E,F,則四邊形

C.18D.24

10.如圖，已知點A（4,0）,O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點

O,A）,過P、O兩點的二次函數yi和過P、A兩點的二次函數y2的圖象開口均向

下，它們的頂點分別為B、C,射線OB與AC相交于點D.當OD=AD=3時，這兩個

二次函數的最大值之和等于（）

y

D

O］鈦A\x

I'力

A.逐B(yǎng).C.3D.4

3

二、填空題

11.某種火箭背向上發(fā)射時，它的高度h（m）與時間t（s）的關系可以用公式h=-

5t2+160t+10表示.經過s,火箭到達它的最高點.

12.當x=0時，函數y=2x2+4的值為.

13.飛機著陸后滑行的距離S（單位：m）與滑行的時間t（單位：s）的函數關系式是

S=80t-2t2,飛機著陸后滑行的最遠距離是m.

14.已知二次函數y=f-2/九雙〃7為常數），當一1〈無＜2時，函數值V的最小

值為—2，則加的值是.

15.如圖，在矩形OABC中，點A在x軸的正半軸，點C在y軸的正半軸.拋物線

y=yx2-yx+4經過點B,C,連接OB,D是OB上的動點，過D作DE〃OA

交拋物線于點E（在對稱軸右側），過E作EFLOB于F,以ED,EF為鄰邊構造

°DEFG,貝U口DEFG周長的最大值為.

三、解答題

16.已知二次函數y^^+bx+c的圖像經過點（4,3）和點（2,-1）,求該函數的

表達式，并求出當旗/3時，y的最值.

17.如圖，矩形ABCD的兩邊長AB=18cm,AD=4cm,點P、Q分別從A、B同時

出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向

以每秒1cm的速度勻速運動.設運動時間為x秒，△PBQ的面積為y（cm2）.

⑴求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

(2)求4PBQ的面積的最大值.

18.函數學習中，自變量取值范圍及相應的函數值范圍問題是大家關注的重點之一,

請解決下面的問題.

2

(1)分別求出當2WxW4時，三個函數：y=2x+l,y=—,y=2(x-iy+l的最大值和

x

最小值.

(2)對于二次函數y=2(x-m)2+m-2,當2WxW4時有最小值為1,求m的值.

19.如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正

半軸上，0A=4,OC=2.點P從點。出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻

速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒.將線段CP的中點

繞點P按順時針方向旋轉90。得點D,點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA.

(1)請用含t的代數式表示出點D的坐標；

(2)求t為何值時，ADPA的面積最大，最大為多少？

(3)在點P從。向A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的

值.

若不能，請說明理由；

(4)請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長.

20.已知二次函數y=x?+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表:

X-101234

y830-103

(1)求該二次函數的解析式;

(2)當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？

(3)若A(m,yi),B(m+2,y2)兩點都在該函數的圖象上，計算當m取何值時,

%>%?

21.如圖，直線y=kx+b(k、b為常數)分別與x軸、y軸交于點A(-4,0)、B

(0,3),拋物線y=-x?+2x+l與y軸交于點C.

(I)求直線y=kx+b的函數解析式；

(II)若點P(x,y)是拋物線y=-x2+2x+l上的任意一點，設點P到直線AB的

距離為d,求d關于x的函數解析式，并求d取最小值時點P的坐標；

(III)若點E在拋物線y=-x2+2x+l的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求

CE+EF的最小值.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】16

12.【答案】4

13.【答案】800

14.【答案】-3或拒

2

243

15.【答案】--

40

16.【答案】解：??,二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點(4,3),(3,0),

.jl6+4b+c=3

9+3/?+c=0'

b=-4

解得,

。=3

...函數解析式為：y=x2-4x+3,

y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.?.當x=0時，y有最大值是3.

17.【答案】解：(1)：SAPBQ=：PB-BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,

.\y=y(18-2x)x,即y=-x2+9x(0<x<4)；

28]

H+了，

9

?.,當0<xW]時，y隨x的增大而增大，

而0<x<4,，當x=4時，y最大值=20,

即小PBQ的最大面積是20cm2.

18.【答案】（1）解：...在函數y=2x+l中，k=2>0,.?.函數y隨x的增大而增大,

2

；.y=2x+l的最大值為9,最小值為5；在函數y=—中，k=2〉0,.?.函數y隨x的增

x

21

大而減小，則函數y=一的最大值為1,最小值為一；

x2

y=2（x+l）2-l的最大值為19,最小值為3.

（2）解：①當m=2時，當x=2時，y最小值為1,代入解析式，解得m=（舍

去）或m=l.,.m=l②當時，m-2=l,m=3

③當m>4時，當x=4時，y最小值為1,代入解析式，無解.綜上所述：m=l或m=3

19.【答案】解：（1）?.?點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻

速運動，

，OP=t,而OC=2,

：.P（t,0）,

設CP的中點為F,則F點的坐標為（!，1）,

2

，將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉90。得點D,其坐標為（t+1,-）；

2

（2）S=-PA-DE=-（^-t^=--t2+t=--（t-V+

22Vy244V7

，當t=2時，S最大，最大值為1

（3）ZCPD=90°,AZDPA+ZCPO=90°,ZDPA#90°,故有以下兩種情況：

①當NPDA=90。時，由勾股定理得。￡）2+.2=%2,

產t2

XPD-=PE2+DE2=1+—,DA2=DE2+EA2=-+（3-tV,

44V7

22

府=（4—）2,1+:+；+（3-）2=（4T）2

即t2-4t-12=0,解得ti=2,t2=6（不合題意，舍去）

②當/PAD=90。時，點D在BA上，故AE=3—t,得t=3

綜上，經過2秒或3秒時，△PAD是直角三角形；

（4）?.?根據點D的運動路線與OB平行且相等，OB=2下,

，點D運動路線的長為2石.

20.【答案】(1)由表格得：二次函數與x軸的兩交點分別為(1,0),(3,0),

設二次函數解析式為y=a(x-1)(x-3),

將x=0,y=3代入得：3=3a,即a=l,

則二次函數解析式為y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.

(2)由(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

則當x=2時，ymin=-l.

將A坐標代入二次函數解析式得：yi=m2-4m+3；

B坐標代入二次函數解析式得：y2=(m+2)2-4(m+2)+3=m2-l,

若yi>y2,則m2-4m+3>m2-l,

解得：m<l.

(^k+b=0\k=-

21.【答案】解：(I)由題意可得〈，.，解得<4,

[b=3[b=3

,3

直線解析式為y=-x+3；

(II)如圖1,過P作PHLAB于點H,過H作HQLx軸，過P作PQLy軸，兩垂

貝！|NAHQ=NABO,且/AHP=90°,

，ZPHQ+ZAHQ=ZBAO+ZABO=90°,

.\ZPHQ=ZBAO,且NAOB=NPQH=90。,

/.△PQH^ABOA,

.PQHQPH

"OB~OA~AB'

33

設H(m,—m+3),則PQ=x-m,HQ=—m+3-(-x2+2x+l),

44

VA(-4,0),B(0,3),

，OA=4,OB=3,AB=5,且PH=d,

x-m%+3-(Td_

4'

3