直角三角形、等腰三角形、等邊三角形【考點鞏固】（解析版）

專題14直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

（時間：60分鐘，滿分120分）

一、填空題（每題3分，共30分）

1.下列幾組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長的是（）

A.5,12,13B.9,40,41C.3,4,5D.2,3,4

【解答】解：A.52+122=132,

.?.以5,12,13為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

B.92+402=412,

.?.以9,40,41為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

c.、32+42=52,

.?.以3,4,5為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

D.22+32^42,

.?.以2,3,4為邊不能組成直角三角形，故本選項符合題意；

故選：D.

2.如圖，已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=1,在△ABC所在平面內(nèi)一條直線，將△ABC分割成兩個

三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）

A

CB

A.5條B.4條C.3條D.2條

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用42為底以及48為腰得出符合題意的圖形即可.

【解答】解：如圖所示，當AB=AF=3,BA=BD=3,AB=AE=?>,BG=AG時，都能得到符合題意的等

故選:B.

3.（2022.黑龍江大慶）下列說法不無聊的是（）

A.有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形

B.有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有兩個角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形

【答案】A

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，對各選項逐項分

析可得出正確答案.

【詳解】解：A、設N1、/2為銳角，

因為：Zl+Z2+Z3=180°,

所以：/3可以為銳角、直角、鈍角，所以該三角形可以是銳角三角形，也可以是直角或鈍角三角形，故A

選項不正確，符合題意；

B、如圖，在△ABC中，BE±AC,CDYAB,J.BE=CD.

\BELAC,CD±AB,

：./CDB=NBEC=90。,

在RtXBCD與Rt4CBE中，

[CD=BE

[BC^CB，

:.RmBCD"RtACBE(HL),

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,即△ABC是等腰三角形.,

故B選項正確，不符合題意；

C、根據(jù)直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形，，

故C選項正確，不符合題意；

D、底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，

故D選項正確，不符合題意；故選：A.

4.（2022?廣西梧州）如圖，在ABC中，AB=AC,AQ是,ABC的角平分線，過點。分別作

DE人AB,DF^AC,垂足分別是點E,F,則下列結(jié)論簿送的是（）

A.ZADC=90B.DE=DFC.AD=BCD.BD=CD

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即

可判斷求解.

【詳解】解：???AB=AC,A。是,ABC的角平分線，

AADKBC,BD=CD,

，ZADC=90,故選項A、D結(jié)論正確，不符合題意；

又AD是NBAC的角平分線，DE^AB,DFAC,

:.DE=DF，故選項B結(jié)論正確，不符合題意；

由已知條件推不出AD=BC,故選項C結(jié)論錯誤，符合題意；故選：C.

5.（2022?湖北鄂州）如圖，直線〃〃/2,點C、A分別在//、〃上，以點C為圓心，C4長為半徑畫弧，交

//于點8,連接A艮若4BC4=150。，則/I的度數(shù)為（）

C.20°D.30°

【答案】B

【分析】由作圖得AABC為等腰三角形，可求出NABC=15。，由//〃心得Nl=/4fiC,從而可得結(jié)論.

【詳解】解：由作圖得，C4=CB,，AABC為等腰三角形，，/4BC=NC4B

VZBCA=150°,；.ZABC=g(180。-ZACB)=g(180O-15(F)=15°

'：h//h；.Zl=ZABC=15°故選B

6.(2021?遼寧九年級一模)如圖，ABC是等邊三角形，A￡＞是BC邊上的中線，點E在A。上，且OE=JBC,

則NAFE=()

A.100°B.105°C.110°D.115°

【答案】B

【分析】由ABC是等邊三角形，可得/2=60。，由AD是3C邊上的中線，可得BD=CD=LBC,AD±BC,

2

由。E=；BC,ED=CD,可求NEC￡)=45。，由三角形外角性質(zhì)可求NAFC=105。.

【詳解】解：：ABC是等邊三角形，.?./8=60。，AB=AC,

；AD是8C邊上的中線，：.BD=CD=-BC,AD±BC,

2

VDE=-BC,：.ED=CD,ZEDC=9Q°,:./ECD=/DEC=45°,

2

?.?/4產(chǎn)。是八所。的外角，，/4/。=/8+/尸(；￡)=60。+45。=105。.故選擇：B.

7.(2021?廣東九年級一模)如圖，在ABC中，AS=AC=8,AO是角平分線，8E是中線，則DE的長

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求得OE.

【詳解】解：：AB=AC=8,AD是角平分線，

ADLBC,：.ZADC=90°,

,?8E是中線，AE=CE,：.D￡=-AC=-x8=4,故選：B.

22

8.如圖，點0是等邊三角形ABC內(nèi)一點，連接OA、OB、0C,并以0C為一邊向外作等邊三角形OCD,

連接AD.若/AOB=llO。，ZBOC=150°,則/OAD的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)已知易證△ACD出BCO,得出/ADC=/BOC=150。，又因△OCD是等邊三角形，易證

ZADO=90°,又由NAOB+NBOC+NAOC=360。，求出/AOC=100。，從而得/AOD=40。，再根據(jù)直角三角

形的兩個內(nèi)角互余即可求出/OAD的度數(shù).

【解析】解：:△ABC和△OCD是等邊三角形，；.AC=BC,OC=CD,ZODC=ZDCO=ZCOD=ZACB=60°,

ZDCO-ZACO=ZACB-ZACO即/ACD=NBCO.

AC=BC

在^ACD和^BCO中|ZACD=NBCO.*.△ACD^ABCO.?.ZADC=ZBOC=150°.ZADO=90°,

DC=OC

VZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,AZAOC=100°,AZAOD=40°,/.ZOAD=90°-40°-50°.故選B.

9.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形A8CD,點E為對角線8。

上任意一點，連接AE、CE.若A8=5,BC=3,則等于（）

D

/

C

AB

A.7B.9C.16D.25

【答案】C

【解析】

【分析】

連接AC,與8。交于點。，根據(jù)題意可得AC，3。，在在血與&*COE中，利用勾股定理可得

AE2-CE2=AO2-CO2,在在用與比.COB中，繼續(xù)利用勾股定理可得AO之一"）2=,求

解即可得.

【詳解】

解：如圖所示：連接AC,與8。交于點O,

D

???對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形,

AC15D,

在曲.AOE中，AE2^AO2+OE2,

在RfCOE中，CE2=CO2+OE2,

，AE2-CE2=AO2-CO2,

在W*AO3中，AO2=AB2-OB2,

在歷?COB中，CO2=BC2-OB2,

：.AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16,

/.AE--CE-=16,

故選：C.

10.（2022?黑龍江）如圖，ABC中，AB=AC,AD平分的C與8C相交于點Z）,點E是AB的中點，點

廠是DC的中點，連接所交A。于點P.若ABC的面積是24,PD=\.5,則PE的長是（）

A

A.2.5B.2C.3.5D.3

【答案】A

【分析】連接DE,取AO的中點G,連接EG,先由等腰三角形“三線合一“性質(zhì)，證得AOLBC,BD=CD,

再由E是AB的中點，G是AZ)的中點，求出SAEGO=3,然后證△EGP必△EDP(AAS),WGP=CP=1.5,

從而得OG=3,即可由三角形面積公式求出EG長，由勾股定理即可求出PE長.

【詳解】解：如圖，連接?！?取的中點G,連接EG,

,：AB^AC,A。平分ZBAC與8c相交于點。，

：.AD±BC,BD=CD,

101

:.S&ABD=-S=-x24=12,

2ABRCr2

是AB的中點，

.1c1

..SAAED=—SARn=—x12=6,

2ABD2

是AZ)的中點，

11,

/.SzEGD=-So=一x6=3,

2AEFDn2

是AB的中點，G是AD的中點，

：.EG//BC,EG=gBD=gcD,

：./EGP=/FDP=90°,

?.?/是CO的中點，

：.DF=^CD,

：.EG=DF,

'：ZEPG=ZFPD,

△EGPW/\FDP(AAS),

：.GP=PD=1.5,

:?GD=3,

?；SAEGD=LGD-EG=3,即工EGx3=3,

22

：.EG=2,

在R/AEGP中，由勾股定理，得

PE=y/EG2+GP2=V22+1.52=25,

故選：A.

二、填空題（每題4分，共24分）

11.如圖，點C所表示的數(shù)是（）

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長為石，根據(jù)弧的半徑相等得AC=AB=根據(jù)兩點之間的距離求得

點C表示的數(shù).

【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：AB=VOA2+OB2=VfT?=V5-

.,.AC=AB=后,

.??點C表示的數(shù)是1-5/5.

故答案為：1-右

12.（2022?湖南岳陽）如圖，在，ABC中，AB=AC,于點。，若3C=6,則CD=.

【答案】3

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知。是BC的中點，即可求出8的長.

【詳解】解：：AB=AC,AD1.BC,

CD=BD,

BC=6,

：.CD=3,

故答案為：3.

13.已知等腰三角形的底邊長為6,一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另外一部分

長2,則三角形的腰長是.

【分析】其中一部分比另外一部分長2,分兩種情況：腰比底大2或底比腰大2,分別求出腰即可.

【解答】解：等腰三角形一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，這兩部分的差即是腰與底的差的絕

對值，

???其中一部分比另外一部分長2,

.,.腰比底大2或底比腰大2,

腰為8或4.

故答案為：8或4.

14.（2022?湖南永州）我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證

明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形

的面積是25,小正方形的面積是1,則AE=.

【答案】3

【分析"艮據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,設AF=DE=CH=BG=x,結(jié)合圖形得出AE=x-\,

利用勾股定理求解即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,

AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,

根據(jù)題意，設AF=DE=CH=BG=x,

則AE=x-l,

在RrAAEZ）中，

AE2+ED2=AD2,

GP（x-1）2+x2=52,

解得：x=4（負值已經(jīng)舍去）,

故答案為：3.

15.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點、E,ZBDA=90，NCBE=30，NCEB=45，

AE=4EC,BC=2,則CD的長為.

【答案】V26

【分析】如圖，過點。作CHLB。于點〃，根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)可求出CH的長，然后根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)、己知條件和勾股定理可依次求出EH、CE、AE、DE的長，進而可得DH的長，再根

據(jù)勾股定理即可求出答案.

【解析】解：如圖，過點。作CHLBD于點

NCBE=30，BC=2,:.CH=-BC=l,

又?ZCEB=45，:.EH=CH=1,則CE=&.，AE=4EC=4V^，

在直角CAD石中，NEDA=90，ZAED=NCEB=45，貝UAD=DE,AD2+DE2=AE2,

；?AD=DE=￡AE=4，:.DH=DE+EH=5,

2

在直角，。CH中，根據(jù)勾股定理可得：CD=y/DH2+CH2=752+12=726?故答案為：區(qū).

16.（2022.遼寧錦州）如圖，在.ABC中，AB=AC,NABC=30。，點。為BC的中點，將ABC繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn)得到VAEG,當點A的對應點A落在邊A3上時，點C'在54的延長線上，連接班'，若

則ABB'D的面積是.

【答案】巫

4

【分析】先證明/'AD是等邊三角形，再證明A'OLBC,再利用直角三角形30。角對應的邊是斜邊的一般

分別求出A?和A'O,再利用勾股定理求出。。，從而求得△BB7）的面積.

【詳解】解：如下圖所示，設A9與3。交于點。，連接AD和A。，

???點。為BC的中點，AB=AC,NABC=30。，

：.AD±BC,A'D.LB'C',AO是/B'A'C'的角平分線，AD是ZBAC,

二ZB'A'C=120°,ABAC=120°

??ZBAD=ZB,AfD=60°

.*A:D=AD,

9*AAD是等邊三角形，

??AA=AD=AD=l,

.*NBA?=180°—NB'A'C':60°,

ZBAB'=ZAAD,

\ABr//AD,

??AO.LBC,

?.A!O=-A!D=-,

22

.*AB,=2AD=2

「ZABD=ZADO=3(f,

??BO=OD

13i-

,?05,=2-5=5,BD=2OD=y/3,

S=LxBDxB'O=-xy/3x-=—.

BBD2224

三、簡答題（共46分）

17.（7分）如圖，點D是4ABe內(nèi)部的一點，BD=CD,過點D作DELAB,DF±AC,垂足分別

為E、F,且BE=CF.

求證：一ABC為等腰三角形.

【答案】見解析.

【分析】欲證明AB=AC,只要證明NABC=NACB即可；

【解析】證明：DE±AB,DFLAC，.?.4ED=NCFD=90.

BE=CF

{BD=CD,-.RtBDE等RtCDF（HL），,/EBD=NFCD,

BD=CD,.?.〃BC=^DCB,^DBC+^EBD=^DCB+^FCD,

即NABC=/ACB,.-.AB=AC.

ABC為等腰三角形.

18.（7分）（2022泗川自貢?中考真題）如圖，△ABC是等邊三角形，D,E在直線BC上，DB=EC.求

證：ZD=ZE.

【答案】詳見解析

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)以及題設條件，可證AAOB/△4EC,由全等三角形的性質(zhì)可得ND=NE.

【詳解】證明：：△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZABC=ZACB,

：.ZABD=ZACE,

在△和△AEC中，

AB=AC

<ZABD=ZACE

DB=EC

：./\ADB^AAEC（SAS）,

ND=NE.

19.（8分）（2022?浙江溫州?中考真題）如圖，5。是，ABC的角平分線，DE〃BC,交AB于點E.

D、

AEB

（1）求證：ZEBD=ZEDB.

（2）當AB=AC時，請判斷8與ED的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）見解析（2）相等，見解析

【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得NAD￡=NAED,貝?。軦D=AE,從而有CD=BE,由（1）得，ZEBD=NEDB,

可知BE=DE,等量代換即可.

【詳解】（1）證明：???5。是qABC的角平分線，

ZCBD=ZEBD.

■:DE〃BC,

：.ZCBD=ZEDB,

ZEBD=ZEDB.

⑵CD=ED.理由如下：

AB=AC,

：.ZC=ZABC.

■:DE//BC,

：.ZADE=ZC,ZAED=ZABC,

:.ZADE=ZAED.

AD—AE,

AC-AD=AB-AE,即CD=BE.

由（1）得ZEBD=ZEDB,

:.BE=ED,：.CD=ED.

20.（12分）已知：AB±BD，ED±BD,AC^CE,BC=DE.

A

（1）試猜想線段AC與CE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）若將CD沿CB方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

（3）若將CD沿CB方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

【答案】（1）AC±CE,見解析；（2）成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析

【分析】（1）先用判斷出RtAABCgRtZ\CDE,得出NA=NDCE,進而判斷出

ZDCE+ZACB=90。,即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法，即

可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）4。，8理由如下：：43,3￡）,ED±BD,：.ZB=ZD=90°

"AC=CE

在RtAABC和RtACDE中\(zhòng)；.RtAABC爾tZ\CDE（HL）,/.ZA=ZDCE

BC=DE

NB=90°,；?ZA+ZACB=90°,；?ZACE=180°—(ZDCE+ZACB)=90°,ACLCE；

(2)成立，理由如下：VAB±BD,ED±BD,：.ZB=ZD=90°,

AC】=CE

在RtABC和RtAQDE中<2：.RtAABQ名RtAC￡>E(HL),NA=ZDC.E,

XBC】=DE2

?：ZB=90°,：.NA+ZACjB=90°，,ZDC2E+ZAQB=90°,

在4.GFC2中，ZQFC,=180°-(ZDQE+ZA^B)=90°,AC,1C2E.

（3）成立，理由如下：EDLBD，；.NABC[=ND=90°

AC〕=C,E

在RtABC和RtACDE中<：.RtAABC1gRtAC￡>E(HL)，,NA=ZDCE,

r2BQ=DE22

'：NABG=90°,NA+ZAC,B=90°,

在,中，O

GFC2ZQFC2=180-(ZDC2E+ZAC1B)=90°,AC,±C2E.

21.（12分）（2021?重慶）在等邊，ABC中，AB=6,BD±AC,垂足為點E為43邊上一點,

點尸為直線3。上一點，連接EF.

（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EG,連接FG.

①如圖1,當點E與點8重合，且GF的延長線過點C時，連接。G,求線段。G的長；

②如圖2,點E不與點A,3重合，GP的延長線交BC邊于點H,連接E//,求證：BE+BH=y[3BF;

（2）如圖3,當點E為AB中點時，點M為8E中點，點N在邊AC上，且DN=2NC,點尸從8。中點

。沿射線。。運動，將線段E尸繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EP,連接儀，當+最小時，直接

寫出△DPN的面積.

【答案】（1）①歷；②見解析；（2）半

【分析】

（1）①連接AG,根據(jù)題意得出△ABC和△GE/均為等邊三角形，從而可證明△G8C絲Z\G4C,進一步求

出A￡>=3,AG=BG=25然后利用勾股定理求解即可；②以點尸為圓心，心的長為半徑畫弧，與8"的

延長線交于點K,連接K居先證明出△是頂角為120。的等腰三角形，然后推出△尸￡8名△尸HK,從而

得出結(jié)論即可；

（2）利用“胡不歸''模型構(gòu)造出含有30。角的直角三角形，構(gòu)造出NP+，MP=NP+/V,當N、P、J三點

2

共線的時候滿足條件，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別計算出PN與DV的長度，即可得出結(jié)論.

【詳解】

（1）解：①如圖所示，連接