中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理（解析版）

專題21勾股定理

【考查題型】

【知識(shí)要點(diǎn)】

知識(shí)點(diǎn)一勾股定理

勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為。，b,斜邊為C,那么/+/=02。

變式：a2=c2—b2,b"=c2—a2,c=yla2+b2,a=yjc2—b~,b=yjc2—b2.

適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)

用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形。

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

1)圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變

2)根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理

勾股定理的證明方法：

方法一(圖一)：4SA+S正方形EFGH=$正方形砥D，4x1aZ>+(/>-a)2=c2,化簡可證?

方法二(圖二)：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4x-ab+c2=2ab+c2

2

大正方形面積為S=(a+6)2=a2+lab+b2,所以/+b2=c2

2

方法二(圖二)：S梯形=—(fl+/>)-(o+Z?),S梯形=2sA4牛+^MBE=2,3ab+—c>化間得證a~+b。=c~

D

圖一圖二圖三

知識(shí)點(diǎn)二勾股數(shù)

勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即/+中，Mb,c為正整

數(shù)時(shí)，稱a,b,c為一組勾股數(shù)

常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示“組勾股數(shù):

1）n2-l,2n,n2+1（〃22,〃為正整數(shù)）；

2）2n+l,2n2+2n,2n2+2?+l（〃為正整數(shù)）

3）m2-n2,2mn,m2+n2（m>n,m,〃為正整數(shù)）

注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)三勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長a,b,c滿足/+/=°2,那么這個(gè)三角形是直角三角形，其

中c為斜邊

【注意】

1）勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定

三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和1+〃與較長邊的平方,作比較，若它們相

等時(shí)，以a,8，c為三邊的三角形是直角三角形；若/+/<c2,時(shí)，以“，心c為三邊的三角形是鈍

角三角形；若/+62>c2,時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形；

2）定理中a,b,c及/+/=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a,6,c滿

足/+,2=/，那么以*b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是6為斜邊

3）勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形

是直角三角形

知識(shí)點(diǎn)四直角三角形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)：1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

3）直角三角形中30。角所對的邊是斜邊的一半。

判定：1）有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。

2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系/+/=。2,那么這個(gè)三角形是直角

三角形。

考查題型一由勾股定理解三角形

典例1.（2022?浙江金華?中考真題）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后，學(xué)校和體育場的

坐標(biāo)分別是（3,1）,（4,-2）,下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（）

C.體育場D.學(xué)校

【答案】A

【分析】根據(jù)學(xué)校和體育場的坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，利用勾股定理求出各點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由此得到答

案.

【詳解】解：根據(jù)學(xué)校和體育場的坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系,

超市到原點(diǎn)的距離為萬方~=石，

醫(yī)院到原點(diǎn)的距離為行不=而，

學(xué)校到原點(diǎn)的距離為乒7=VTo，

體育場到原點(diǎn)的距離為"方=26，

故選：A.

Xi

A

【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)確定原點(diǎn)，勾股定理，正確理解點(diǎn)坐標(biāo)得到原點(diǎn)的位置及正確展望勾股定

理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

變式1-1.（2022?陜西?中考真題）如圖，4D是03C的高，若AD=2CA=6,tan/C=2,則邊48的長為

（）

A.3也B.3A/5C.377D.6亞

【答案】D

【分析】先解直角。3C求出NO,再在直角△45。中應(yīng)用勾股定理即可求出N8.

【詳解】解：■.-BD=2CD=6,

：.CD=3,

,直角A4DC中，tanZC=2,

AD=CD-tanNC=3x2=6,

.??直角△48。中，由勾股定理可得，AB=^AD2+BD2=762+62=672.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用銳角函數(shù)解直角三角形和勾股定理，難度較小，熟練掌握三角函數(shù)的意義是解題的

關(guān)鍵.

變式1-2.（2022?湖南邵陽?中考真題）如圖，是等邊A45C的外接圓，若45=3,則。。的半徑是（）

5

c.百D.

2

【答案】c

【分析】作直徑ND,連接CD,如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到乙8=60。，關(guān)鍵圓周角定理得到

乙4cz)=90。，35=60°,然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解.

【詳解】解：作直徑連接C。，如圖,

???△ABC為等邊三角形,

?"=60°,

"AD為直徑，

山CD=90°,

?.”=48=60。，貝1|。4。=30。，

1

-t-CD=-AD,

2

■：AD2=CD2+AC2,即AD2=(^D)2+32,

?''AD-2y/3,

；.OA=OB=；AD=6.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫

做三角形的外心.也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

變式1-3.（2022?甘肅蘭州?中考真題）如圖，菱形4BCD的對角線/C與AD相交于點(diǎn)。，E為AD的中點(diǎn),

連接ZABC=60°,BD=46,則?！?()

A.4B.2也C.2D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出“2=2。=DC=2C,AC1BD,再由△/OD直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊一半得出=利用菱形性質(zhì)、直角三角形邊長公式求出力。=4,進(jìn)而求出O￡=2.

【詳解】?.FNBCD是菱形，E為/。的中點(diǎn)，

:.4B=4D=DC=BC,AC1BD.

是直角三角形，OE=；AD.

???ZABC=60°,BD=473,

ZADO=-ZADC=-ZABC=30°,OD=-BD=-x4y/3=2y/3.

2222

i3

■：AD1--AD2=OD-,gp-^Z>2=12,

AD=4,OE=；/O=gx4=2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形、直角三角形的性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力.解題關(guān)鍵是得出=并求得

AD=4.求解本題時(shí)應(yīng)恰當(dāng)理解并運(yùn)用菱形對角線互相垂直且平分、對角相等，直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊一半的性質(zhì).

變式1-4.（2022?廣西桂林?中考真題）如圖，在A/5C中，乙8=22.5。，NC=45。，若/C=2,則A/5C的面

積是（）

A

A.B.1+V2C.2V2D.2+V2

2

【答案】D

【分析】如圖，過點(diǎn)/作/ZXL/C于/,交BC于D,過點(diǎn)/作/E18C于E,先證明A4OC是等腰直角三

角形，得幺力=4C=2,乙4OC=45。，CD=WC=2亞,再證明/D=AD,計(jì)算/E和5c的長，根據(jù)三

角形的面積公式可解答.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)/作4D1/C于/,交BC于D,過點(diǎn)/作/EL8C于E,

??.A4OC是等腰直角三角形，

：.AD—AC=2,Z-ADC=45°,CD=亞AC=2亞,

‘；乙ADC=LB+乙BAD,4=22.5。,

："AB=225。,

??Z-B—Z-DAB,

：,AD=BD=2,

'：AD=AC,AELCD,

??DE—CE,

：.AE=-CD=4i,

2

.?48C的面積=；.2。/￡=??。?+20）=2+應(yīng).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形的性質(zhì)是

解本題的關(guān)鍵.

變式1-5.（2022?四川資陽?中考真題）如圖，正方形/3CD的對角線交于點(diǎn)。點(diǎn)￡是直線5c上一動(dòng)

點(diǎn).若48=4,則2E+OE的最小值是（）

AD

A.4>/2B.2A/5+2C.2V13D.2V10

【答案】D

【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點(diǎn)/關(guān)于直線8c的對稱點(diǎn)再連接

A'O,運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到4。為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段4。的長度即可.

【詳解】解如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A',連接/'O,其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,再作OF±AB

交AB于點(diǎn)F,

"A與/'關(guān)于8c對稱，

.-.AE=A'E,AE+OE=A'E+OE,當(dāng)且僅當(dāng)H,0,￡在同一條線上的時(shí)候和最小，如圖所示，此時(shí)

AE+OE=A'E+OE=A'O,

?.?正方形/BCD,點(diǎn)。為對角線的交點(diǎn)，

.-.OF=FB=-AB=2,

2

??,對稱，

AB=BA'=4,

:.FA'=FB+BA'=2+4=6,

在Rt^OFA'中，OA'=ylFO2+FA'2=2V10，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線段長度是解題關(guān)鍵。

變式1-6.（2022?湖北黃石?中考真題）如圖，正方形048C的邊長為血，將正方形。43c繞原點(diǎn)。順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)45°,則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)耳的坐標(biāo)為（）

V八

BC

AO

A.(-V2,0)B.(-V2,0)C.(0,V2)D.(0,2)

【答案】D

【分析】連接03,由正方形ABCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,推出乙4儆=45。，得到△4。耳為等腰直角

三角形，點(diǎn)片在y軸上，利用勾股定理求出。耳即可.

【詳解】解：連接03,

??,正方形/BCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

AAOAX=45°,408=45°,

.?Z3i=45°,

.??△4。4為等腰直角三角形，點(diǎn)為在y軸上,

ABXAXO=90°,44==&,

OBX=yjAg+OA：=42+2=2,

■.Bl(0,2),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角證明點(diǎn)氏在歹軸

上.

變式1-7.（2022?山東青島?中考真題）如圖，。為正方形/BCD對角線NC的中點(diǎn)，AACE為等邊三角

形.若/8=2,則OE的長度為（）

C.2亞D.273

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出NC的長度，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】在正方形ABCD中：AB=BC=2,NABC=90°,

???AC=^AB'+BC1=7F+27=2V2，

???O為正方形/BCD對角線/C的中點(diǎn)，

：.OC=-AC=-j2,

2

???△/CE為等邊三角形,。為/C的中點(diǎn)，

;.EC=AC=2亞,EO±AC,

：.NEOC=90°,

-OE=SIEC2-OC2=一（可=瓜

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

變式1-8.（2022?四川宜賓?中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=5,BC=3,將△BCD沿5D折

疊到ABED位置，DE交AB于點(diǎn)、F,貝UcosN4D廠的值為（）

E

87158

A.—B.—C.—D.—

17151715

【答案】c

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明AAEDgAEFB,得出/斤=斯，DF=BF,設(shè)

AF=EF=x,則BE=5-x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的

定義求出結(jié)果即可.

【詳解】解：???四邊形/BCD為矩形，

■■.CD=AB=5,AB=BC=3,ZA=ZC=90°,

根據(jù)折疊可知，BE=BC=3,DE=DE=5,Z.E=ZC=90°,

Z=NE=90。

???在△^陽和△脅5中＜ZAFD=NEFB,

AD=BE=3

\AFD^\EFB(AAS),

AF=EF,DF=BF,

設(shè)AF=EF=x,貝!/=5—x,

在RtA&EF中，BF2=EF2+BE2

gp(5-x)2=x2+32,

OQ1J

解得：X=-,則。尸=8尸=5—y=不，

4。315

cos/ADF=---==—..

???DF1717,故C正確H.

T

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)

題意證明A4FD0AE7鳴，是解題的關(guān)鍵.

變式1-9.（2022?四川成都?中考真題）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程/一6》+4=0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長是.

【答案】277

【分析】由題意解一元二次方程一一6x+4=0得到x=3+右或x=3-指，再根據(jù)勾股定理得到直角三角形

斜邊的長是2療.

【詳解】解：???一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程一一6x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由公式法解一元二次方程，-6苫+4=0可得尤="J%』=6±2^=3土石，

22

根據(jù)勾股定理可得直角三角形斜邊的長是J（3+逐丁+（3-石『=728=277,

故答案為：2將.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理求線段長，根據(jù)題意解出一元二次方程的兩根是解決問題的關(guān)鍵.

變式1-10.（2022?黑龍江牡丹江?中考真題）在RtaABC中，zC=90°,AD平分NCAB,AC=6,BC=8,

【詳解】試題分析：如圖，過點(diǎn)D作DELAB于E,

??-AB=VT1C2+5C2=A/62+82=10，

???AD平分NCAB,

???CD=DE,

■?■SAABC=7AC?CD+yAB-DE=yAC-BC,

即yx6?CD+yxlO-CD=yx6x8,

解得CD=3.

變式1-11.（2022?甘肅武威?中考真題）如圖，菱形/BCD中，對角線NC與50相交于點(diǎn)O,若

AB=2#，AC=4cm,則BD的長為cm.

【答案】8

【分析】利用菱形對角線互相垂直且平分的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案即可.

【詳解】解：???菱形N8CD中，對角線/C,5。相交于點(diǎn)。，AC=4cm,

:.AC1BD,BO=OD=-BD,AO=OC=^AC=2cm

22

QAB=245cm,

BO=yjAB2-AO2=4cm,

BD=2BO=8cm,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理解直角三

角形，是解題關(guān)鍵.

考查題型二利用勾股定理解決折疊問題

典例2（2022?四川達(dá)州?中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形23co的48邊上，將VNOE沿DE翻折，點(diǎn)/恰好

落在8c邊上的點(diǎn)尸處，若CD=3BF,BE=4,則4D的長為（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/后=后尸,40=即，設(shè)8￡=工，則。。=3乂，則/￡=/3-3￡=0-3后=3%-4,

在RtZXAE■尸中勾股定理建列方程，求得x,進(jìn)而求得C。，根據(jù)NAE■尸=NDFC,可得

RFm

tanZBEF=tanZDFC,即——=——，求得尸C=12,在Rt△尸CD中，勾股定理即可求解.

BEFC

【詳解】解：???四邊形23。是矩形，

AB=CD,NB=NC=90。，

1??將V/DE沿DE翻折，點(diǎn)/恰好落在BC邊上的點(diǎn)尸處，

FD=AD,EF=AE,ZEFD=ZA=90°,

CD=3BF,BE=4,

設(shè)BF=x,貝ijCD=3x,AE=AB-BE=CD-BE=3x-4,

在RtABEF中BE2+BF2=EF2，

gp42+X2=（3X-4）2,

解得x=3,

/.BF=3,CD=9,

ZEFD=ZA=90°,NB=NC=90。,

ZBEF=90°-/BFE=ZDFC,

tan/BEF=tanZDFC,

,BFCD

.3_9

??f

4FC

：.FC=n,

在Rt△/CT）中，F(xiàn)D^ylFC2+CD2=15>

4D=FD=15.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

變式2-1.（2022?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，三角形紙片N3C中，AB/C=90。，48=2,/C=3.沿過點(diǎn)/

的直線將紙片折疊，使點(diǎn)2落在邊8c上的點(diǎn)。處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，若折痕與NC的交

點(diǎn)為E,則AE的長是（）

B

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得/。=/8=2,LB=UDB,CE=DE,乙C=LCDE,可得々￡>￡=90。，繼而設(shè)

AE=x,則CE=DE=3-x,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：???沿過點(diǎn)N的直線將紙片折疊，使點(diǎn)8落在邊5c上的點(diǎn)。處，

■?■AD=AB=2,Z.B=Z.ADB,

??,折疊紙片，使點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，

：.CE=DE,乙C=LCDE,

"BAC=90。,

???〃+ZC=90°,

.?^4DB+^CDE=90°,

??Z-ADE=90°,

：-AD2+DE2=AE2,

^AE=x,貝ljCE=DE=3?x,

.-.22+（3-X）2=X2,

13

解得％

o

即AE=~

6

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

變式2-2.（2021?山東棗莊?中考真題）如圖，三角形紙片ABC,AB=AC,zBAC=90°,點(diǎn)E為AB中點(diǎn),

3

沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F,已知EF=D，則BC的長是（）

A

【答案】B

【分析】折疊的性質(zhì)主要有：1.重疊部分全等；2.折痕是對稱軸,對稱點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分.由折疊的

性質(zhì)可知=NEAF=45。,所以可求出NAFB=90。，再直角三角形的性質(zhì)可知所=；,所以43=/C,的

長可求，再利用勾股定理即可求出BC的長.

【詳解】解：?.?沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，

.?./B=/EAF=45。，

/AFB=90°,

?.?點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，且/AFB=90。，

EF=-AB,

2

?

?.*EF=一3,

2

3-

/.AB=2EF=—x2=3,

2

在ARtABC中，AB=AC,AB=3,

.-.BC=7AB2+AC2=V32+32=3V2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，求出NAFB=90。是解

題的關(guān)鍵.

變式2-3.（2021?四川巴中?中考真題）如圖，矩形/08C的頂點(diǎn)/、3在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-10,

8）,點(diǎn)。在/C上，將A2CD沿AD翻折，點(diǎn)C恰好落在。4邊上點(diǎn)E處，則tan/DBE等于（）

31

A.-D.-

4B-t2

【答案】D

【分析】先根據(jù)四邊形N8CD是矩形，C(-10,8),得出8C=/O=10,AC=OB=8,z^=zO=zC=90°,再由

折疊的性質(zhì)得到C7ADE,BC=BE=10,乙DE3=NC=90。，利用勾股定理先求出OE的長，即可得到4B,再利

DF

用勾股定理求出。。利用tanND8E=B求解即可.

BE

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形，C(-10,8),

：.BC=AO=10,AC=OB=8,zJ=zO=zC=90°,

由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE,BC=BE=134DEB=LC=9Q°,

在直角三角形AE■。中：OE=4BE1-OB1=6-

AE=OA—OE=4,

設(shè)CD=DE=x,則4O=ZC-CQ=8-%

在直角三角形4D￡中：AD2+AE2=DE2^

.-.（8-x）2+42=x2,

解得％=5,

DE=5,

?.ZDEB=9O。,

DF51

tanZDBE=-=—

BE102

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握

相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

變式2-4.(2022?甘肅蘭州?中考真題)如圖，在矩形紙片4BCD中，點(diǎn)E在2c邊上，將ACDE沿DE翻折

得到VFDE,點(diǎn)尸落在/￡上.若CE=3cm,AF=2EF,則48=cm.

【答案】3石

【分析】由將△(?￡>￡■沿DE翻折得到△FDE,點(diǎn)尸落在上，可得￡F=C￡=3cm,CD=DF,乙DEC=U)EF,

由矩形的性質(zhì)得乙DFANCngOWQ",從而得4F=6cm,AD=AE=9cm,進(jìn)而由勾股定理既可以求解。

【詳解】解：???將△CDE沿OE翻折得到△口)￡,點(diǎn)尸落在/￡上，CE=3cm,四邊形/BCD是矩形，

,-.EF=CE=3cm,CD=DF,3EC=3EF,乙DFE=￡C=9Q°=乙DFA,

■■AF=2EF,

^AF=6cm,

-'-AE=AF+EF=6+3=9(cm),

?.?四邊形45CO是矩形，

：.AB=CD=DF,AD〃BC,

:?UDE=(DEC=(DEF,

-，-AD=AE=9cm,

???在用/中，AF2+DF2=AD2

??G+Z)產(chǎn)2=92,

.,.DF=3A/5(cm),

AB=DF=345(cm),

故答案為:3不.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理及軸對稱，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2-5.(2022?遼寧鞍山?中考真題)如圖，在RM48c中，ZACB=90。,AC=6,BC=8,點(diǎn)。，E分

別在48,5c上，將△8OE沿直線DE翻折，點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)"恰好落在上，連接C*,若CB'=BB',

則AD的長為

(,

【分析】在中，利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)=B9得出/9=府=；，5,再根據(jù)折疊

的性質(zhì)可得8。=夕。=；8夕.根據(jù)4。=49+夕。求得的長.

【詳解】解：在R3Z3C中，

AB=yjAC2+BC2，

?.?ZC=6,BC=8,

：.AB=&2+G=IO.

?.?CB'=BB',

/B=ZBCBr,

???NACB=90。,

ZA+ZB=ZACBr+ZBCBf=90°.

N4=ZACB'.

AB'=CB'.

AB'=BB'=-AB=5.

2

???將&BDE沿直線DE翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)皮恰好落在AB上，

B'D=BD=-BB'=2.5.

2

AD=AB'+B'D=5+2.5=7.5.

故答案為：7.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是在直角三角形中根據(jù)C8'=88'通過推理

論證得到CB'是斜邊上的中線.

變式2-6.（2022?浙江麗水?中考真題）如圖，將矩形紙片/BCD折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)。重合，點(diǎn)/落在點(diǎn)P

處，折痕為EF.

(1)求證：dPDEmACDF；

⑵若CD=4cm,E戶=5cm,求5c的長.

【答案】(1)證明見解析

16

(2)ycm

【分析】(1)利用證明即可；

(2)過點(diǎn)E作EG12C交于點(diǎn)G,求出尸G的長，設(shè)/￡=xcm,用x表示出DE的長，在RfAPED中,由勾

股定理求得答案.

(1)

???四邊形/5CD是矩形，

：.AB=CD,U=4=UDC=C=9Q°,

由折疊知，AB=PD,乙4=d,乙B=4PDF=90°,

：.PD=CD,NP=NC,乙PDF=UDC,

:.乙PDF-乙EDF=AADC-&EDF,

:?乙PDE=ACDF,

在APDE和△CDF中，

'ZP=ZC

<PD=CD,

NPDE=ZCDF

.?.△PDE2ACDF(ASA)；

(2)

如圖，過點(diǎn)E作EG12C交于點(diǎn)G,

p

D

BG

???四邊形NBC。是矩形，

：.AB=CD=EG=^cm,

又,:EF=5cm,-??GF=^EF2-EG2=3cm,

設(shè)AE=xcvci,

?,.￡P(guān)=xcm,

由△尸。廠知，EP=CF=xcm,

,-.DE=GC=GF+FC=3+xf

在RtAPED中，PE2+PD2=DE2,

即X2+42=（3+X）2,

7

解得，x=g

6

7716

:.BC=BG+GC=—F3H—=—（cm）.

663

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)

將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

考查題型三以弦圖為背景的計(jì)算題

典例3.（2022?貴州貴陽?中考真題）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼

成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3,則中間小正方形的周長是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形分析可得小正方形的邊長為兩條直角邊長的差，據(jù)此即可求解.

【詳解】圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3,則中間小正方形的周長是4X（3-1）=8.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了以弦圖為背景的計(jì)算題，理解題意是解題的關(guān)鍵.

變式3-1.（2022?四川內(nèi)江?中考真題）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖"，后人稱

其為“趙爽弦圖"（如圖（1））.圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正

方形ABCD、正方形EFG"、正方形MvK7的面積分別為a、必、S3.若正方形昉G”的邊長為2,則

Sl+S2+S3=.

【答案】12

【詳解】由題意得，正方形EFGH的面積為4,

則4個(gè)直角三角形的面積和為4-^，

則正方形ABCD的面積為4+4-S3,

所以Si+S2+S3=4+4-S3+4+S3=n.

故答案為12.

變式32（2022?四川宜賓?中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正

方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方

形的面積為

【答案】289

【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為a，“c,較長的直角邊為。，較短的直角邊為仇c為斜邊，由切線長定理

可得，直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于空二，即。+6-。=6,根據(jù)小正方的面積為49,可得

（a-?2=49,進(jìn)而計(jì)算,?即/+〃即可求解.

【詳解】解設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的三邊分別為伍。，較長的直角邊為。，較短的直角邊為"c為斜邊,

???直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,

==49,

a+b-c=6（i）,a-b=1（2）,

13+c7c-1

a=------,b-------

22

a2+b2=。2③,

解得。=17或c=-5（舍去），

大正方形的面積為=172=289,

故答案為：289.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內(nèi)切

圓的半徑等于空空是解題的關(guān)鍵.

變式3-3.（2022?青海西寧?中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

將2a-3a6-4+66因式分解.

【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式=（2。-3的-（4-6?=“（2-3"-2（2-3"=（2-36）（。-2）

解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b）=2（a-2）-3可。-2）=（2）（2-3?

【感悟】對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式

法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法.分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方

程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用.(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)

【類比】

⑴請用分組分解法將x2-/+X+。因式分解；

【挑戰(zhàn)】

(2)請用分組分解法將◎+/一2仍-加+/因式分解；

【應(yīng)用】

(3)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理.如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直

角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形.若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和

斜邊長是3,小正方形的面積是1.根據(jù)以上信息，先將+2/^一2仍3+/因式分解，再求值.

(2)(a-b^a-b+

(3)(a2+62)(a-Z>)2,9

【分析】(1)直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；

(2)先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；

(3)分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到/+〃=9,

(a-b)2=l,整體代入得出答案即可.

(1)

解：x2—a2+x+a

=卜=_q-)+(x+a)

=(x+a)(x-a)+(x+a)

=(x+a)(x-a+l)；

(2)

解：ax+a1-2ab-bx+b2

=(a1-2ab+/)+(ax-bx)

二("b『+%(Q-b)

=^a-b^a-b+x^；

(3)

解：a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4

=(/+2a2b2+/)_(2a3b+2疝)

=(Q2+/)2_2Q6(Q2+〃)

=(a1+/)(42-Zab+b)

=(/+b2)(a-b)2,

???根據(jù)題意得"+4=9,("6)2=1,

二原式=9.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應(yīng)用，正確分

組再運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵.

考查題型四勾股定理解決實(shí)際應(yīng)用問題

典例4.(2021?江蘇南通?中考真題)如圖，一艘輪船位于燈塔尸的南偏東60。方向，距離燈塔50海里的/

處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45。方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距

離為海里(結(jié)果保留根號(hào)).

【答案】25y/6■

【分析】先作PC1N8于點(diǎn)C,然后利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，作PC1/2于點(diǎn)C,

在尺〃L4PC中，4P=50海里，A4PC=90°-60°=30°,

NC=gAP=25海里，pc=A/502-252=2573海里，

在RtAPCB中，PC=2573海里，48尸。=90。-45。=45。,

；.PC=BC=25班海里,

PB=J（25后+（25后=2576海里，

故答案為：25^/6.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定

理解決問題，解決的方法就是作高線.

變式4-1.（2021?江蘇宿遷?中考真題）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長為10尺的正

方形，一棵蘆葦NC生長在它的中央，高出水面部分8c為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向

岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是

A

【答案】12

【分析】我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EC'的長為10尺，則CB=5尺，設(shè)

蘆葦長/C=/C'=x尺，表示出水深根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水

深.

【詳解】解：依題意畫出圖形,

設(shè)蘆葦長/C=NC'=x尺,

則水深/8=(x-l)尺，

?.?C'E=10尺，

；.C'B=5尺,

在RtA/C'B中，

52+(尤-I)?=x2,

解得x=13,

即蘆葦長13尺，水深為12尺,

故答案為：12.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

變式4-2.（2020?江蘇揚(yáng)州?中考真題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)

的基本框架.如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾

何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處

離地面多高？答：折斷處離地面尺高.

《九辛耳術(shù)》-圻什”同

a：”令有什高一丈，木折林地.

*根?三乂，問折者離人何？-越

告是：有一根竹子原高一丈（一

丈=10尺），中都有一處折斯，

竹梢觸地面處離竹根3尺，試問