河南省九師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省九師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章~第三章第2節(jié)（約40%），第三章第3節(jié)~選擇性必修第二冊第四章（約60%）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在數(shù)列中，，則（）A. B. C.16 D.32【答案】D【解析】，則，則是公比為2的等比數(shù)列，∴，故選：D．2.已知直線在軸上的截距是，其傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由直線在軸上的截距是，則直線過，可得，解得；由直線，設(shè)該直線的傾斜角為，則，解得，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，由，則，由，則，解得.故選：A.3.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，設(shè)拋物線方程為，將代入得，則，所以所求拋物線方程為.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】等差數(shù)列，則，，要使得最大，則，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故選：B．5.已知數(shù)列中，，則數(shù)列前2024項(xiàng)的和為（）A.0 B.1012 C.2024 D.4048【答案】C【解析】由題意可得，，，，，…則可得下表：易知數(shù)列存在周期性，最小正周期為，由，則.故選：C.6.《九章算術(shù)》中有問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是說今有蒲第一天長高三尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，莞每天長高為前一天的兩倍，要使莞的長度大于蒲的長度（蒲與莞原先的長度忽略不計(jì)），需要經(jīng)過的時(shí)間最少為（）A.3天 B.4天 C.5天 D.6天【答案】A【解析】由題意，蒲第一天長高三尺，以后蒲每天長高前一天的一半，所以蒲生長長度構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，又由莞第一天長高一尺，每天長高前一天的兩倍，則莞生長長度構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，由題意得，即，則，令，則，，解得，即，又，，所以需要經(jīng)過的時(shí)間最少為3天.故選：.7.記曲線圍成的平面圖形的面積為，曲線圍成的平面圖形的面積為，則（）A. B. C.16 D.【答案】D【解析】對于曲線，當(dāng)，時(shí)，曲線；當(dāng)，時(shí)，曲線；當(dāng)，時(shí)，曲線；當(dāng)，時(shí)，曲線；因?yàn)?，所以，不同時(shí)為0，畫出曲線的大致圖象，如圖，則曲線圍成的面積可分割為一個(gè)邊長為的正方形和四個(gè)半徑為的半圓，故面積為，故A正確；對于曲線，當(dāng)，時(shí)，曲線；當(dāng)，時(shí)，曲線；當(dāng)，時(shí)，曲線；當(dāng)，時(shí)，曲線；則曲線圍成的面積為上圖虛線圍成的邊長為的正方形，故面積為，所以.故選：D.8.已知拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，且，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，所以，因?yàn)橹本€l交E于兩點(diǎn)，所以直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，消去y得，所以，即，，，因?yàn)?，所以，得，?lián)立，解得或，所以，滿足.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A.，所以，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對于B，，所以為遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椋瑒t，，所以不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對于D，，所以，所以為遞增數(shù)列，故D正確.故選：AD.10.如圖,在正方體中，為底面的中心，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A.平面 B.平面C. D.四點(diǎn)共面【答案】ABD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體棱長為2，則,,，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，因，且平面，所以平面，故A正確；因?yàn)?，平面，所以平面，故B正確；因?yàn)?，，，，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，所以，，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，故D正確.故選：ABD11.已知為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線，設(shè)在曲線上，且，則（）A.曲線的方程為B.曲線的離心率為C.經(jīng)過且與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有兩條D.四邊形面積的最小值為8【答案】AC【解析】對于A，圓：的圓心為，半徑，因?yàn)榫€段的垂直平分線交直線于點(diǎn)M，則，所以，所以點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，其中，，所以，所以曲線H的方程為，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，所以該雙曲線的離心率為2，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過且與曲線H相切的直線是，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，經(jīng)過的直線與曲線H的漸近線平行時(shí)，也滿足條件，所以符合條件的直線恰有兩條，故C正確；對于D，因?yàn)?，，則A，B分別在兩支上，且A，B都在x軸上方或x軸下方，不妨設(shè)都在x軸上方，又，則A在第二象限，B在第一象限，如圖所示，延長交雙曲線于點(diǎn)N，延長交雙曲線于點(diǎn)Q，由對稱性知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題設(shè)，直線AN的方程為，直線BQ的方程為，聯(lián)立消去x并整理得，且，，，，易得，因?yàn)?，所以，所以，兩條直線AN與BQ間的距離，所以，令，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，取得最小值為12，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，若三棱柱的所有棱長都是，是棱的中點(diǎn)，則兩點(diǎn)之間的距離等于______．【答案】【解析】三棱柱的所有棱長都是，，，則，所以兩點(diǎn)之間的距離等于.故答案為：13.若數(shù)列滿足，且為其前項(xiàng)和，則的最小值為______.【答案】【解析】令，解得，所以數(shù)列中，只有，為負(fù)數(shù)，所以的最小值為或或，又，，，，，，則，所以的最小值為.故答案為：.14.已知拋物線為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為______．【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則圓心為，半徑為，設(shè)，，所以，.所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若是等差數(shù)列，．（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）設(shè)，由數(shù)列是等差數(shù)列，即數(shù)列為等差數(shù)列，則設(shè)公差為，由，則，由，即，，即，則，，由，可得，解得，所以等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，可得，即，.（2）當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，將代入上式，可得也適合，所以.16.如圖，在三棱臺中，平面是邊長為2的正三角形，．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，.，，則是平行四邊形，故，結(jié)合平面，則平面；而平面，故，是等邊三角形的中線，.和在平面內(nèi)，且，所以平面；平面，故.（2）（1）中已證，平面，且，故，與兩兩垂直，可分別以，和為軸，軸，軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系：，，,，，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即令，可求得.根據(jù)線面角的定義，所求角的正弦值即為與所成角的余弦值的絕對值，，將坐標(biāo)代入計(jì)算得：，，，.故與平面所成角的正弦值為.17.已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)為是上任意一點(diǎn)，且的最大值為3．（1）求的方程；（2）設(shè)的右頂點(diǎn)為，直線的方程為，若直線交于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率之和為，解：（1）由題意．解得，則，所以橢圓方程為；（2）設(shè)，又，由得，則，，所以.18.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為上三個(gè)不同的點(diǎn)，且，．（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．①若直線交圓于兩點(diǎn)，其中位于第一象限，求的最小值；②過點(diǎn)作的垂線，直線交于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．解：（1）由拋物線，則，準(zhǔn)線方程為，由為上三個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)，則，由，則，由，且，則，所以，解得，故橢圓的方程為.（2）①由題意作圖如下：由，整理可得，則圓心為F1,0，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入拋物線，解得，則，將代入圓，解得，則，所以，此時(shí)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意可得，直線的方程可設(shè)為，設(shè)聯(lián)立可得，消去整理可得，，，易知，，所以，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，綜上所述，的最小值為.②證明：由題意可作圖如下：由題意可知直線的斜率存在且不為零，可設(shè)該直線方程為，由①可得，設(shè)，則，由直線垂直直線，且垂足為，則該直線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，設(shè)，則，設(shè)，且線段的中點(diǎn)分別為，則，，，，當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，直線的斜率，可得方程為，則，整理可得，令，解得，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，易知，直線DE的方程為，此時(shí)直線過；綜上所述，所以直線過定點(diǎn).19.對于各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，若，都有，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列是數(shù)列.（1）判斷無窮數(shù)列和是不是數(shù)列？若是，求出相應(yīng)的常