湖南省瀏陽市校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省瀏陽市校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由得，解得，即，，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因此在第二象限.故選：B.3.在平行四邊形中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，記，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意：.故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，得，所以.故選：D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】圓的圓心為1,0半徑，圓心到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D6.已知三棱錐側(cè)棱長相等，且所有頂點(diǎn)都在球的球面上，其中，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，由余弦定理得，，則，截球所得的圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑，由于三棱錐的側(cè)棱長相等，所以共線，且，.設(shè)球的半徑為，由得：.球的表面積．故選：A．7.若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，則（）A.0 B.1 C.2024 D.2025【答案】A【解析】由fx+2+fx又是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，即，因?yàn)?，令x=2可得令得：，所以，故.故選：A.8.是定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若方程在上至少有3個(gè)不同的解，則稱為上的“波浪函數(shù)”.已知定義在上的函數(shù)為“波浪函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，由得，當(dāng)時(shí)，由，可知不是方程的解；當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.且，當(dāng)；當(dāng)；如圖，作出函數(shù)的大致圖象，要使方程在上至少有3個(gè)不同的解，則函數(shù)與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn).故結(jié)合圖形可知，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A：易知，即，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算可得，即B正確；對(duì)于C：易知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，即C正確；對(duì)于D：易知，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，方程無解，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)于恒成立，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】由題意的最小正周期為，得：，對(duì)于恒成立，則，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，代入，得到，由于，取，則，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，故C正確；將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點(diǎn)，Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（）A.存在點(diǎn)Q，使B，N，P，Q四點(diǎn)共面B.存在點(diǎn)Q，使平面BMNC.過Q且與BN垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為D.點(diǎn)H是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線PH與直線AD夾角為，則點(diǎn)H的軌跡長度為【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A，連接，，，正方體中易知，P，N分別是，中點(diǎn)，則，所以，即四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時(shí)滿足B，N，P，Q四點(diǎn)共面，但Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，如圖，取中點(diǎn)為，連接，，，因?yàn)镸，N分別是，中點(diǎn)，則與平行且相等，故四邊形是平行四邊形，所以，又是中點(diǎn)，所以，所以，平面，平面，所以平面，B正確；選項(xiàng)C，如圖，在平面上作⊥于K，過K作⊥交BC或者于T，因?yàn)槠矫妗推矫?，交線為，平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以平面QKT，平面QKT截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)T與點(diǎn)C重合時(shí)，面積最大，此時(shí)，，面積為，當(dāng)Q與點(diǎn)無限接近時(shí)，面積接近于0，過Q且與BN垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為，C正確；選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，連接，則，則平面，取的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，交，于X，Y，則點(diǎn)H的軌跡為以O(shè)為圓心，2為半徑的部分圓弧，此時(shí)滿足直線PH與直線AD夾角為，如圖，，故，所以點(diǎn)H的軌跡長度為，D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則__________.【答案】【解析】，故.故答案為：.13.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.【答案】【解析】由題意可得，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則又切點(diǎn)在曲線上，所以，聯(lián)立解得，即.，設(shè)直線與曲線切點(diǎn)為，所以，又，聯(lián)立兩式，解得.故答案為：214.已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線，若的交點(diǎn)在上（均在軸上方），且，則的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)，由題意可知，如圖所示：則直線的斜率，可知的方程為，同理可得：的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，因?yàn)樵谏?，可知關(guān)于軸對(duì)稱，且，可得，又因?yàn)椋?lián)立，解得或（舍去）故，所以橢圓的離心率為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，已知（1）求角；（2）若，求面積的取值范圍.解：（1）由正弦定理得：，即，，，，又；（2）由正弦定理得：,,，在銳角中：，解得：，，,，則16.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，平面平面.（1）若分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，為中點(diǎn)，，又平面平面，平面；為中點(diǎn)，，平面平面，平面；又，且平面，平面平面，平面，故平面.（2）解：設(shè)的中中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接，，且，平面又平面平面，且平面平面，平面，又底面為等腰梯形，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為即：，可取，即：，可取，記平面與平面的夾角為，∴cos17.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.（1）解：函數(shù)定義域?yàn)?，令f'x>0得：令f'x函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：要證，即證：令設(shè)，則在R上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，hx>0；當(dāng)x∈0,+∞故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減函數(shù)在處取得極大值也是最大值.則，即證.18.已知橢圓C:x2a2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），且為橢圓的左頂點(diǎn)，若的面積為，求的值.解：（1）橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，，聯(lián)立解得：.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）解：由（1）知：，記Mx當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，三點(diǎn)共線，不合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立：，.，.，即，整理得：，令，即，解得：（舍）或，即，.由知：且，當(dāng)時(shí)，滿足：，聯(lián)立解得：，當(dāng)時(shí)，滿足：，聯(lián)立解得：，綜上，的取值為或.19.給定數(shù)列，若對(duì)任意且是中的項(xiàng)，則稱為“數(shù)列”；若對(duì)任意且是中的項(xiàng)，則稱為“數(shù)列”.（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列既是等比數(shù)列又是“數(shù)列”，且，求公比的所有可能取值；（3）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意是數(shù)列中的項(xiàng)，求證：數(shù)列是“