湖南省益陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期普通高中期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省益陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期普通高中期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷包括試題卷和答題卡兩部分；試題卷包括單項(xiàng)選擇題、多項(xiàng)選擇題、填空題和解答題四部分，共4頁，考試用時120分鐘，滿分150分.2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號等填寫在本試題卷和答題卡指定位置.該按答題卡的要求在答題卡上作答，在本試題卷和草稿紙上作答無數(shù).3．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，則直線的斜率為（）A.－3 B. C. D.3【答案】C【解析】由，則直線的斜率為.故選：C.2.已知兩個向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，故.故選：C.3.已知直線和互相平行，則的值是（）A. B. C.1 D.4【答案】D【解析】由題意得，解得，此時后者直線方程為，滿足題意.故選：D4.已知雙曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.的實(shí)軸長為4 B.的焦距為10C.的離心率 D.的漸近線方程為【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線，所以,則，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，的漸近線方程為，故D錯誤，故選：B5.已知空間向量，則（）A.3 B. C. D.21【答案】C【解析】由題意，，所以.故選：C.6.在平行六面體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖：故.故選：A.7.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，且，則的值為（）A. B.4 C.5 D.8【答案】D【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的左支，且，又，所以，因?yàn)?，且，所以，解得，所以，在直角三角形中，由勾股定理有，解?故選：D.8.若直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如下圖所示，已知圓心，半徑設(shè)，令，則，因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以滿足條件的P點(diǎn)軌跡為，又點(diǎn)P在直線上，所以直線與有交點(diǎn)，即，解得，即或，所以．故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知圓，則（）A.圓的圓心是 B.圓關(guān)于軸對稱C.圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為3 D.直線與圓有兩個交點(diǎn)【答案】AC【解析】由題意圓的圓心為，它在軸上，所以圓關(guān)于軸對稱，故A對B錯；半徑為，圓心到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故C對；對于D，圓心到直線的距離滿足，所以直線與圓沒有交點(diǎn)，故D錯.故選：AC.10.已知曲線，則（）A.若，則是圓，其半徑為B.若，則是兩條平行于軸直線C.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上D.若，則是雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上【答案】AD【解析】對于A，由題意若，則是圓，其半徑為，故A正確；對于B，若，則是兩條平行于軸的直線，故B錯誤；對于C，若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故C錯誤；對于D，若，則是雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上，故D正確.故選：AD.11.如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，且，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.C.直線與夾角的余弦值為D.直線與平面所成角的余弦值為【答案】BC【解析】由底面是正方形，故，由平面，、平面，故、，故、、兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、、、，故、，，故A錯誤；、，故，故B正確；，故，即直線與夾角的余弦值為，故C正確；，，設(shè)平面法向量為，則有，即，可令，故有，，故平面的法向量可為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，其余弦值為，故D錯誤.故選：BC.12.已知數(shù)列滿足，則（）A.的最大值為1 B.若，則C. D.【答案】ABC【解析】由，得，又，，所以，，所以，即數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，所以的最大值為，因?yàn)椋?，解得，故A正確；由數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，且可知時，，故B正確；由知，，，，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，即，所以，即，故C正確；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時，不成立，故D錯誤故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知兩個向量，，且，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，解得，故答案為?4.等比數(shù)列中，2，7，則公比=___________.【答案】0.5或2【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，7，所以，所以，得，，解得或，故答案為：0.5或215.已知正方體的棱長為1，與平面的交點(diǎn)為，則______．【答案】1【解析】由題意以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)檎襟w棱長為1，所以，，所以，所以，又因?yàn)槊妫悦?，又因?yàn)槊妫?，由正方體的性質(zhì)容易得到，而在直角三角形中，有，所以由等面積法有，所以，，所以.故答案為：1.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則分別在點(diǎn)的拋物線的切線交點(diǎn)軌跡方程是______．【答案】【解析】由題意可得，設(shè)，顯然直線的斜率存在，則可設(shè)為，聯(lián)立可得，消去可得，則，可得，，則，因?yàn)?，，由可得，由，解?此時拋物線，即，可得，可知在點(diǎn)處切線斜率存在，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程，消去y得，可得，解得，則切線方程為，即，同理可得在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立方程，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，可知所求軌跡方程為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知兩點(diǎn)和．（1）記點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求直線的方程；（2）求線段的垂直平分線的方程．解：（1）由題意點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，又，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)閮牲c(diǎn)和，所以其中點(diǎn)為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，即.18.已知公差為3的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求：（2）若，記，求的值．解：（1）因?yàn)楣顬?的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，所以，解得，所以.（2）由題意，所以.19.已知圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值；（2）過原點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，，求直線的方程．解：（1）將點(diǎn)代入圓的方程，可得，即，即，故或，又，故；（2）由，故，圓心為，半徑為，又直線過原點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，代入圓方程，可得，解得或，此時有，不符合要求；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得，故有，即，整理可得，即，故或，綜上所述，或，故直線方程為或.20.如圖，四邊形為矩形，平面平面，，，．（1）求證：；（2）點(diǎn)在線段上，，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所以，所以，即有、，又因?yàn)?、平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）由（1）知，直線、、兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，即有、、、、，由，故，故、、、，令平面與平面的法向量分別為、，則有，，即，，可令、，則可取，，故，則平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．解：（1）由題意，所以，兩式相減得，，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題意，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，兩式相減得，所以，而，且，所以單調(diào)遞增，所以，綜上所述，.22.已知橢圓，過橢圓上一動點(diǎn)引圓的兩條切線為切點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；（2）若圓的半徑為2，且，過橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角不為0的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且為常數(shù)，求的面積的最大值．解：（1）如圖，設(shè)，，所以，所以，所以切