山西省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，平面向量，復(fù)數(shù)，數(shù)列，立體幾何與空間向量.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.2.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，，所以，故實數(shù)的取值范圍為.故選：D3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時，，即，滿足充分性；當(dāng)時，，即，滿足必要性.所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.若函數(shù)滿足，則的值為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由，得，則，解得，故選：C.5.已知是等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，解得，所以，解得，所以.故選：B6.已知為第一象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，即，∵，∴，即，故選：B7.已知函數(shù)（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知，該函數(shù)為指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，當(dāng)時，令，對稱軸為，則要使（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則則；當(dāng)時，要使（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則，綜上，.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：D8.已知一個圓臺母線長為3，側(cè)面展開圖是一個面積為的半圓形扇環(huán)（如圖所示），在該圓臺內(nèi)能放入一個可以自由轉(zhuǎn)動的正方體（圓臺表面厚度忽略不計），則該正方體體積的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】要使圓臺內(nèi)能放入自由轉(zhuǎn)動的正方體的體積最大，則該正方體的外接球恰好為該圓臺內(nèi)能放入的最大的球.設(shè)圓臺的側(cè)面展開圖半圓形扇環(huán)的內(nèi)圓半徑為，外圓半徑為，則，化簡得，又圓臺母線長為，聯(lián)立，解得設(shè)圓臺上、下底面圓半徑分別為，則，解得.如圖1，還臺為錐，設(shè)上、下底面圓心為，在中，，又為銳角，則.由相似性可知，圓臺的軸截面等腰梯形的底角為，故圓臺的高.如圖2，圓錐軸截面為正三角形，則正三角形內(nèi)切圓即圓錐內(nèi)切球半徑長為，因為正三角形內(nèi)切圓直徑，故圓錐內(nèi)切球即圓臺內(nèi)能放入的最大的球，直徑為.設(shè)正方體的棱長為，由正方體外接球直徑即為體對角線可得，解得，此時正方體的體積最大，最大為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.B.直線是圖象的一條對稱軸C.D.函數(shù)圖象的對稱中心為【答案】BC【解析】A選項，的最小正周期為，則，錯誤；B選項，由A可知，函數(shù)解析式為，當(dāng)時，，故是函數(shù)的一條對稱軸，正確；C選項，，，因為在時，函數(shù)單調(diào)遞減，則，正確；D選項，令則，則函數(shù)的對稱中心為.錯誤.故選：BC10.如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，，為的中點，將沿折起，點至點的位置，使得，將沿折起，點至點的位置，此時四面體恰好為正四面體，，分別為，的中點，則（）A.平面 B.為鈍角C.平面 D.【答案】ACD【解析】對于A，因為，為的中點，所以，從而可得為，，又，平面，所以平面，故A正確；對于B，因為四面體恰好為正四面體，所以，所以，所以，所以，所以，故B錯誤；對于C，過點作平面于，連接，因為，易得，所以，因為，是的中點，所以，所以在直線上，又，，又，平面，所以平面，所以，所以過有唯一平面，設(shè)正面體的棱長為，則可得，，在中，由余弦定理可得，又是的中點，所以，在中，由余弦定理可得，，又易得，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，所以平面，故C正確；對于D，又平面，所以平面平面，又平面平面，由選項C可知，又平面，所以平面，又平面，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知定義域為的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，，則（）A.8是一個周期 B.為偶函數(shù)C. D.【答案】ABD【解析】由，得，則，即函數(shù)圖象關(guān)于對稱；因為為奇函數(shù)，所以，則，即函數(shù)圖象關(guān)于中心對稱.A項，由對稱性可知，，所以，即，所以，則是的一個周期，故A正確；B項，由對稱性與周期性可知，，所以是偶函數(shù)，故B正確；C項，，得，所以，故C錯誤；D項，由周期性和，得，所以，同理，由，得，所以，則，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，向量在上的投影向量的坐標(biāo)為，則______.【答案】【解析】由，得，則向量在上的投影向量為，則，所以.故答案為：.13.記為等差數(shù)列的前項積，已知，，，則取得最小值時，______.【答案】【解析】等差數(shù)列中，，∴，∵，∴，且，∴∵，，∴，設(shè)，，此時，，，即，此時，，，即，所以此時取最小值，即，即，解得，即，∵，∴，，∴，且，∴，故答案為：14.在中，角的對邊分別為.已知，邊上的高為，則______.【答案】【解析】由，，得，由，得，所以由余弦定理得，則，所以，所以由正弦定理知，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的零點.解：（1）當(dāng)時，，則，對有，對有.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）首先，根據(jù)（1）的結(jié)論，可以得到不等式，即.用替換，就得到，即.當(dāng)時，，故，顯然的定義域為.當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)x=0時，有.所以函數(shù)的零點為.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求與平面所成角的正弦值.解：（1）在直線上取點，使得，在平面內(nèi)作直線，交與點，∵平面，平面，∴平面平面，∵平面平面，，平面，∴平面，∵平面，平面，∴，，∵平面，平面，∴，∵，∴，∴以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：∵，，∴，∴，，，∵，∴A1,0,0，，，，，∴，，設(shè)直線與直線所成交為，則.（2）由（1）可知，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，設(shè)，則，所以為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面的夾角為，則17.在中，角的對邊分別為a,b,c，已知.（1）求；（2）若，為邊的中點，，求.解：（1）因.所以，故，所以.（1）由于故，由余弦定理又有，而，故有，.所以.18.如圖，在四棱柱中，底面為矩形，，平面平面，，分別為，的中點.（1）證明：平面；（2）若，二面角的正弦值為，求.（1）證明：連接，與交于點，連接、，所以點為的中點；在中，因為，分別為、中點，所以，且，因為為的中點，所以，且，所以，且，因此四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）取中點，連接，，所以，又，則；因為，點是的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以，，因此，以點為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，由，，得；則，，，，所以，，；設(shè)平面的法向量m=x,y,z由，得，令，解得，則平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量，由，得，令，解得，則平面的一個法向量；設(shè)二面角的平面角為，則，由題意知，則，即，解得，即.19.在數(shù)列中，若滿足：對于，都有，則稱數(shù)列“類差數(shù)列”.（1）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，若數(shù)列是“類差數(shù)列”，且恒成立，求的最大值；（2）已知等比數(shù)列是“類差數(shù)列”，且，數(shù)列不是“類差數(shù)列”，設(shè)，若數(shù)列是“類差數(shù)列”：①求數(shù)列的通項公式；②證明：數(shù)列中任意三項都不構(gòu)成等差數(shù)列.（1）解：設(shè)數(shù)列的公差為，為正整數(shù).一方面，若數(shù)列是“類差數(shù)列”，則.同時我們有，從而，此即，即.假設(shè)，則在時有，矛盾，所以.再由，就得到，所以.另一方面，當(dāng)時，取，則，且.故存在數(shù)列滿足條件.綜合以上兩方面，可知的最大值是.（2）①解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.是“類差數(shù)列”，且，故，，故數(shù)列為無窮遞增數(shù)列，且，即.由，且，知為大于的有理數(shù).下面先用反證法證明公比是正整數(shù)：假設(shè)不是正整數(shù)，由且為有理數(shù)，知存在，，且互質(zhì)，使得.由，有為正整數(shù)，即整除.而互質(zhì)，故互質(zhì)，而整除，故整除.這表明恒為正整數(shù)，從而恒成立，但，從而這在時是不可能的，矛盾.所以假設(shè)不成立，從而公比是正整數(shù).假設(shè)，則，從而.這表明是“類