數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用中的隨機模型講解部分隨機模型

數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用中的隨機模型講解部分隨機模型第5章隨機模型簡單統(tǒng)計模型；

一元線性回歸模型；參數(shù)估計模型；主要內(nèi)容主成份分析模型。初等概率模型；

第2頁,共85頁，星期六，2024年，5月1、初等概率模型問題1：有趣的蒙特莫特模型第3頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題1：有趣的蒙特莫特模型1、初等概率模型第4頁,共85頁，星期六，2024年，5月當(dāng)充分大,即人數(shù)較多時,至少有1人抽取到自己所帶禮品的概率為問題1：有趣的蒙特莫特模型1、初等概率模型第5頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題2：傳染病的傳播模型現(xiàn)在的問題：對某種傳染病而言，人群中有病人（帶菌者）和健康人（易感染者），任何兩人之間的接觸是隨機的，當(dāng)健康人與病人接觸時健康人是否被感染也是隨機的.如果通過實際數(shù)據(jù)或經(jīng)驗掌握了這些隨機規(guī)律，那么怎樣估計平均每天有多少健康人被感染，這種估計的準(zhǔn)確性有多大？1、初等概率模型第6頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(1)問題的分析與假設(shè)問題2：傳染病的傳播模型第7頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(2)模型的建立與求解問題2：傳染病的傳播模型第8頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(2)模型的建立與求解問題2：傳染病的傳播模型第9頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(2)模型的建立與求解問題2：傳染病的傳播模型

第10頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(3)模型的檢驗問題2：傳染病的傳播模型第11頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(3)模型的檢驗問題2：傳染病的傳播模型第12頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(1)問題的提出問題3：售報廳的進(jìn)報策略模型第13頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(2)問題的分析

因為需求量是隨機的，致使報亭每天的銷售收入也是隨機的。所以，不能以報亭每天的收入數(shù)作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，而應(yīng)該是以報亭的長期（幾個月，或一年）賣報的日平均收入最大為目標(biāo)函數(shù)。由概率論的知識，這相當(dāng)于報亭每天銷售收入的期望值，以下簡稱平均收入。問題3報亭的進(jìn)報策略模型第14頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報亭的進(jìn)報策略模型(3)模型的建立與求解第15頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報亭的進(jìn)報策略模型(3)模型的建立與求解第16頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報亭的進(jìn)報策略模型(3)模型的建立與求解第17頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報亭的進(jìn)報策略模型第18頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報亭的進(jìn)報策略模型第19頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型某時令水果店每售出一百千克水果，可以獲得利潤250元，若當(dāng)天進(jìn)貨不能出售出去，則每一百斤將損失325元。該水果店根據(jù)預(yù)測分析，每天的需求量和對應(yīng)的概率值如下表：在這樣的需求結(jié)構(gòu)下，水果店主希望知道，他應(yīng)該每天進(jìn)多少水果才能夠獲得最大的利潤？1、初等概率模型水果需求量/百千克012345678相應(yīng)的概率值0.050.10.10.250.20.150.050.050.05第20頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題的分析：

該問題為一個隨機存儲問題，要研究這類問題，主要是按平均進(jìn)貨量（即數(shù)學(xué)期望）準(zhǔn)則來討論。問題的假設(shè)：（1）當(dāng)不滿足需求，即缺貨時，店主沒有任何損失，即不考慮缺貨所帶來的損失。（2）水果店的純利潤為賣出水果后所獲利潤與因未賣出的水果所帶來的損失部分之差。問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型第21頁,共85頁，星期六，2024年，5月模型的建立與求解：利用概率知識及經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際分析的方法，綜合分析討論這個問題。問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型第22頁,共85頁，星期六，2024年，5月（１）水果店每天進(jìn)貨量為2百千克情況：由于該水果店每售出一百千克水果，能夠獲得利潤250元；若不能出售時每百斤損失325元。

進(jìn)貨２百千克時的需求量與純利潤表問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型需求量012345678純利潤650-75500500500500500500500水果店純利潤的期望值為第23頁,共85頁，星期六，2024年，5月（2）水果店進(jìn)貨量為3百千克情況：相應(yīng)的需求量與對應(yīng)的純利潤計算結(jié)果如下表所示。進(jìn)貨３百千克時的需求量與純利潤表問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型需求量012345678純利潤-975-400175750750750750750750水果店純利潤的期望值為第24頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型

（３）水果店進(jìn)貨量為4百千克情況：相應(yīng)的需求量與對應(yīng)的純利潤計算結(jié)果如下表所示。

進(jìn)貨４百千克時的需求量與純利潤表需求量012345678純利潤-1300-725-15042510001000100010001000水果店純利潤的期望值為第25頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型該水果店每天的水果進(jìn)貨量為3百千克相對獲得利潤較大。那么問題是否是３百千克的進(jìn)貨量一定就是最好的呢？引入邊際分析方法，邊際分析方法是西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基本的分析方法之一。通過已知信息，判定水果店每增加一百千克的進(jìn)貨量，所帶來的利潤或損失，進(jìn)而判斷進(jìn)貨量的合理性。如果水果店現(xiàn)已有n百千克水果，那么再進(jìn)1百千克水果，從而就存有n+1百千克水果。第26頁,共85頁，星期六，2024年，5月首先給出以下兩個概念：邊際利潤（MarginalProfit）：由所增加的1個單位水果帶來的純利潤，記為MP。邊際損失（MarginalLoss）：由所增加的１個單位水果所導(dǎo)致的損失，記為ML。問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型

第27頁,共85頁，星期六，2024年，5月

1、初等概率模型當(dāng)銷售概率大于0.5652時，水果店應(yīng)再增加1百千克水果的進(jìn)貨量才是合算的。從已知的需求量與對應(yīng)概率值的關(guān)系：問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型該水果店的需求量大于等于4百千克的概率小于0.5652，而需求量大于等于3百千克的概率大于0.5652。從而進(jìn)貨量應(yīng)為3百千克為好。第28頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡單統(tǒng)計模型大學(xué)生的日常生活水平隨著整個時代的變遷發(fā)生著巨大的變化。我們想了解一下，目前在校大學(xué)生的日常生活費支出與來源狀況。問題1：大學(xué)生平均月生活費的測算模型根據(jù)隨機抽樣的理論，2002年對北京某高校本科生的月生活費支出狀況進(jìn)行了抽樣調(diào)查。本次問卷調(diào)查對在校男女本科生共發(fā)放問卷300份，回收問卷291份，其中有效問卷共265份。調(diào)查數(shù)據(jù)經(jīng)整理后，得到全部265名學(xué)生和按性別劃分的男女學(xué)生的生活費支出數(shù)據(jù)。第29頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡單統(tǒng)計模型問題1：大學(xué)生平均月生活費的測算模型模型假設(shè)（1）抽樣是相互獨立的，所抽到的樣本都是簡單隨機樣本。（2）總體即大學(xué)生日常生活費支出服從正態(tài)分布。用表示第i個樣本，即生活費支出額；表示樣本均值，即所抽到學(xué)生的日常生活費支出的平均值；表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即樣本值與樣本均值的偏離程度的度量；是樣本容量，即共抽到的有效問卷數(shù)。第30頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡單統(tǒng)計模型

根據(jù)抽樣結(jié)果，使用95%的置信水平，相應(yīng)置信區(qū)間：問題1：大學(xué)生平均月生活費的測算模型結(jié)論：全校本科生的月生活費平均水平在520.70～554.40元之間；男生的月生活費平均水平在505.15～552.43元之間；女生的月生活費平均水平在545.83～596.65元之間。模型建立與求解第31頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡單統(tǒng)計模型

問題1：大學(xué)生平均月生活費的測算模型模型評價與應(yīng)用

模型用到了估計精度為95%的參數(shù)的區(qū)間估計，并且按性別不同，給出了不同的區(qū)間估計。模型也可應(yīng)用到很多實際問題的估計上，比如：一個普通家庭日常收入與支出狀況、一個城市人均住房情況等問題統(tǒng)計分析。第32頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡單統(tǒng)計模型

“吸煙有害健康”，請你建立一個數(shù)學(xué)模型，分析說明吸煙對人體有害的影響，這里可以只就吸煙對高血壓病的影響作用。問題2：吸煙對血壓的影響模型（1）問題分析為了研究吸煙對人體血壓的影響，對吸煙的66人和不吸煙的62人兩類人群進(jìn)行24小時動態(tài)監(jiān)測，分別測量24小時的收縮壓(24hSBP)和舒張壓(24hDBP)，白天(6:00~22:00)收縮壓(dSBP)和舒張壓(dDBP)，夜間(22:00~次日6:00)收縮壓(nSBP）和舒張壓(nDBP)。第33頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡單統(tǒng)計模型問題2：吸煙對血壓的影響模型第34頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡單統(tǒng)計模型問題2：吸煙對血壓的影響模型

（3）模型建立：吸煙對人體血壓是否有影響？從這些數(shù)據(jù)中能得到什么樣的推斷？吸煙者和不吸煙者兩類樣本分別來自兩個非常大的總體，這個問題需要從兩個樣本的參數(shù)（均值與標(biāo)準(zhǔn)差）來推斷總體參數(shù)的性質(zhì)。分別對6項血壓指標(biāo)作假設(shè)檢驗，針對每組數(shù)據(jù)指標(biāo)提出假設(shè)：；．；．其中分別是吸煙者和不吸煙者群體（總體）的血壓指標(biāo)均值。第35頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡單統(tǒng)計模型問題2：吸煙對血壓的影響模型

（3）模型建立與求解：根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，作檢驗統(tǒng)計量經(jīng)計算，第五項指標(biāo)即夜間收縮壓（nSBP）沒有拒絕原假設(shè)，其余五項的指標(biāo)即24小時的收縮壓（24hSBP）和舒張壓（24hDBP）、白天收縮壓（dSBP）和舒張壓（dDBP）、夜間舒張壓（nDBP）都拒絕了原假設(shè)。第36頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡單統(tǒng)計模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（1）問題提出；．現(xiàn)在考慮我國在校大學(xué)生中男性的身高分布問題，根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計資料表明，在校男大學(xué)生群體的平均身高約為170cm，且該群體中約有99.7%的人身高在150cm至190cm之間。試問該群體身高的分布情況是怎樣的呢？進(jìn)一步地將[150，190]等分成20個區(qū)間，在每一高度區(qū)間上，研究相應(yīng)人數(shù)的分布情況。特別是中等身高（165cm至175cm之間）的人占該群體的百分比能超過60%嗎？第37頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡單統(tǒng)計模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（2）問題分析：第38頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡單統(tǒng)計模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（3）模型建立：；將[150，190]等分成20個區(qū)間，得到高度區(qū)間：對應(yīng)的分布：身高在165㎝至175㎝之間的人占該群體的百分比為第39頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡單統(tǒng)計模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（4）模型求解：；．雖然，通過變換再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值表，可以計算上面積分。但是，要得到各個身高區(qū)間上人數(shù)的分布情況，顯然都用這種方法是很繁雜的。而采用計算機卻是輕而易舉的事，通過數(shù)值積分的基本方法來解決這個問題。選用數(shù)值積分中的復(fù)合梯形公式求積方法，可以計算出誤差小于0.0001的定積分值，從而可得出相應(yīng)分布。第40頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡單統(tǒng)計模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（4）模型求解：；用數(shù)值積分命令：結(jié)論：身高中等（165cm至175cm之間）的大學(xué)生約占54.67%，不足60%。如果放寬些，如164cm至176cm之間，則大約有63.2%以上。第41頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題1：一元線性回歸方法和第42頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題1：一元線性回歸方法第43頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題1：一元線性回歸方法第44頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題2：確定身高與體重關(guān)系模型問題提出：身體肥胖現(xiàn)已成為人們關(guān)注的一個社會問題，過于肥胖一是影響美觀，二是可能導(dǎo)致很多影響健康的疾病。肥胖的主要特征是體重過重，那么體重與什么有關(guān)呢？當(dāng)然這與每個人的身高有關(guān)。第45頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題2：確定身高與體重關(guān)系模型問題分析與假設(shè)：

人的身高與體重之間存在著關(guān)系，這種關(guān)系是非確定性的關(guān)系，即所謂相關(guān)關(guān)系，因為涉及的變量體重是隨機變量，回歸分析是研究這種相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法。第46頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題2：確定身高與體重關(guān)系模型第47頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題1：參數(shù)估計方法所謂參數(shù)估計就是利用樣本的信息來估計總體中的參數(shù)。參數(shù)估計法包括點估計法和區(qū)間估計法兩種。1.點估計法點估計就是構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，用它的觀察值來估計未知參數(shù)。常用的點估計法有兩種：矩估計法和極大似然估計法。矩估計法:用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的估計量，而以樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計量。極大似然估計法:固定樣本觀察值，在取值的可能范圍內(nèi)挑選使概率達(dá)到最大的參數(shù)值作為參數(shù)的估計值。即構(gòu)造似然函數(shù)，求使似然函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)值，從而得到參數(shù)的估計值。第48頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題1：參數(shù)估計方法第49頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題2：魚群的數(shù)量估計模型第50頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題2：魚群的數(shù)量估計模型第51頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題2：魚群的數(shù)量估計模型第52頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題2：魚群的數(shù)量估計模型第53頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題2：魚群的數(shù)量估計模型第54頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題2：魚群的數(shù)量估計模型第55頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題3：糖果重量的估計模型第56頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題3：糖果重量的估計模型第57頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題3：糖果重量的估計模型第58頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題3：糖果重量的估計模型第59頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計模型問題3：糖果重量的估計模型第60頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法主成份分析法是一種數(shù)學(xué)變換的方法,它把給定的一組相關(guān)變量通過線性變換轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變，使第一個變量具有最大的方差，稱之為第一主成份；第二個變量的方差次大，并且與第一個變量不相關(guān)，稱之為第二主成份；依次類推。主成份分析法就是對實際中的多元數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的簡化，把原有的多因素（變量）的問題，通過分析篩選出少數(shù)幾個主要有代表性的少數(shù)因素（變量）的一種統(tǒng)計分析方法，也就是在保證數(shù)據(jù)信息損失最小的原則下，對高維變量和空間進(jìn)行有效的降維處理方法。第61頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第62頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第63頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第64頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第65頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第66頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第67頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第68頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第69頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第70頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第71頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題2：投資項目的風(fēng)險評估模型在社會的經(jīng)濟(jì)生活中，綜合投資項目總是追求高利潤，但往往高利潤不可避免地伴隨著高風(fēng)險。針對實際中的綜合投資項目有必要對其可能存在的風(fēng)險進(jìn)行評估。對于任何一個項目與風(fēng)險相關(guān)的不確定因素都會有很多，但對于一個具體項目還是應(yīng)該抓住主要的因素進(jìn)行評估分析，投資決策應(yīng)基于主要風(fēng)險在可控的范圍之內(nèi)，同時通過避險措