2023年高考新教材數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測 第7章

課時過關(guān)檢測（三十八）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積

A級----基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.（2022?天沐模擬）已知一個圓錐的母線長為4,且其側(cè)面積是其軸截面面積的4倍，

則該圓錐的高為（）

A.兀B.當(dāng)

2兀、兀

C.至D.2

解析：A不妨設(shè)圓錐的底面半徑為八母線長為/,高為兒根據(jù)題意，則4x3x2”?

=兀4所以力=?=〃X4=TI.

2.如圖所示，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45。，腰和上底長均為1

的等腰梯形，則該平面圖形的面積為（）

A.異乎B.1+坐

C.l+V?D.2+^2

解析：D由題意，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得該平面圖形是上斗

底長為I,下底長為1+6，高為2的直角梯形OABC,如圖所示，所以

計算得面積為S=,l+1+*\/^）X2=2+，^.故選D.（）|14^

3.一個球的表面枳是16工，那么這個球的體積為（）

A.爭B.基

64n256

C.-nD.-yn

解析：B設(shè)這個球的半徑為/?,則4冗/?2=16兀，得R=2,所以這個球的體積V=%R3

32

=yn.故選B.

4.（2022.卉鳥版檜）如圖，一個直三棱柱形狀的容器中盛有水，側(cè)棱AAt=4,若側(cè)面

用水平放置時，水面恰好過AC,BC,4G，81G的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌鍭8C水平放置時，

則水面的高為（）

7

C.3D.2

解析：C當(dāng)側(cè)面448由水平放置時，水的形狀為四棱柱，底面是梯形，面積為S,此

時水的體積U=S.44=4S,當(dāng)?shù)酌鍭AC水平放置時，水的形狀為三棱柱，設(shè)水面高為九

34s

此時水的體積V=S八A8C"〃，又S=1SAABC,.\h=~^=3,故選C.

TOAABC

5.（多選）下列說法正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱柱的兩個互相平行的面?定是棱柱的底面

C.棱臺的側(cè)面是等腰梯形

D.用一個平面敲一個球，得到的截面是一個圓面

解析：ADA正確；B不正蛹，例如六棱柱的相對側(cè)面也互相平行；C不正確，極臺

的側(cè)棱長可能不相等；D正確，用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面.故選A、D.

6.（多選）如圖所示的圓錐的底面半徑為3,高為4,則（）

H

A.該圓錐的母線長為5

B.該圓錐的體積為12兀

C.該圓錐的表面枳為15冗

D.三棱錐S-ABC體積的最大值為12

解析：ABD該圓錐的母線長為4否不=5,A正確；該圓錐的體積為;XnX3?X4=

12兀，B正確；該圓錐的表面積為兀X3X（3+5）=24u，C錯誤；當(dāng)08_LAC時，ZkABC的面

積最大，此時SM8C=4X6X3=9,三棱錐S-ABC體積的最大值為（X9X4=12,D正確.故

選A、B、D.

7.（2022?珠海模擬）一個六棱錐的體積為2小，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長

都相等，則該六極錐的側(cè)面積為.

解析：設(shè)六棱錐的高為力，則V=；S〃，所以;X^X4X6力=2小，解得力=1.設(shè)六棱

JW**

錐的斜高為h',則加+（#產(chǎn)=/?，2,故h'=2.所以該六棱錐的側(cè)面積為^X2X2X6=

12.

答案：12

8.（2022?武漢月考）已知圓臺的上、下底面半徑分別是r,R,且側(cè)面積等于兩底面積之

和，則圓臺的母線長為.

解析：設(shè)圓臺的母線長為/,則圓臺的側(cè)面積為5例=兀（「+寵）/,圓臺的兩底面積之和為

r2+R2

5=兀（戶+足），由已知得兀所以/=———,

r~vK

/+7?2

答案:

r+R

9.（2020?江蘇商考）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓

柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑

為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

解析：正六棱柱的體積為6X^X22X2=12V3（cm3）,圓柱的體積為九X0.52X2=^

（cm3）,則該六角螺帽毛坯的體積為（125一^cn?.

答案：12小一5

B級——綜合應(yīng)用

10.若正三樓臺上、下底面邊長分別是〃和2”，棱臺的高為沼，則此正三極臺的側(cè)

面積為（）

A.B.ya2

D.

解析：c如圖，設(shè)a,。分別為上、下底面的中心，D,。分

別是AC,A1G的中點(diǎn)，過D1作D|E_L0。于點(diǎn)E.在直角梯形ODDiOi

中，OO=《X^X2a=噂a,O\D\=^X^-Xa=^at.\DE=OD—

3235ZO

OiDi=*a.在RtADfDi中，。|￡=?！保瑒tDyD=

I9

a..'.SW=3X^(?+2CZ)(/=2?2.

11.如圖，四邊形ABC。為梯形，AD//BC,N48C=90。，圖中陰影部分繞48所在直

線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為.

解析：由題意知，所求旋轉(zhuǎn)體是一個圓臺，從上面挖去一個半球，圓臺的上底面面積

$=4兀，下底面面積S2=16兀，.?.圓臺的體積為必=孑X（48+小九X16兀+16兀）X3=28n,又

3I

半球的體積為V2=1x^X7tX2=-y,故旋轉(zhuǎn)體的體積為％—3=2阮一號=等.

答案：竽

12.沙漏是一種古代的計時裝置.，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄

的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下

部容器所需要的時間稱為該沙漏的?個沙時，如圖，某沙漏由上、下兩個相同的

圓錐組成，圓錐的高為I,若上面的圓錐中裝有高度溫的液體，且液體能流入下

面的圓錐，則液體流下去后的液面高度為.

解析：由題意可得，念=修〉吾，所以，/二"=1一界音,又上下兩圓錐是對頂

的相同圓錐，所以液體流下去后的液面與下圓錐底面形成一個圓臺，其體積等于液體未流前

小圓錐體積，所以未流下前上圓錐中的空圓臺與流下后下圓錐液體上方的空圓錐體積相等，

所以液體流下后下圓錐中看-=3所以入的高為-^1=胡，即液面的高度為I一彎.

答案；1-攀

課時過關(guān)檢測（三十九）空間幾何體的截面、球的切（接）問題

A級—基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面匕則該球的表面積為（）

32

A.12nB.-yn

C.8nD.47t

解析：A設(shè)正方體的棱長為a,則〃3=g,解得。=2.設(shè)球的半徑為R則27?=2小，

即/?=小.所以球的表面積5=47求2=12九

2.一個圓柱的內(nèi)切球的表面積為36小則這個圓柱的表面積為（）

A.45%B.27兀

C.54幾D.36幾

解析：C設(shè)圓柱的內(nèi)切球的半徑為小則4兀,=36〃可得r=3,所以該圓柱的底面圓

半徑為R=3,圓柱的高為力=2r=6,因此該圓柱的表面積為S=2n股+2冰2=2兀X3X6+

27tx3?=54心故選C.

3.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的樺符

卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全I(xiàn)

對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90。樺卯起來.若正四棱柱的

高為8,底面正方形的邊長為2,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則

該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留n）（）

A.96nB.84兀

C.42nD.167t

解析：B若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正

四棱柱的體對角線長，即2R=符短T薩晏=25，所以/?=4,球形容器的表面積

S=47r/?2=84n.故選B.

4.如圖，在正四棱柱A8CD-AIiCQ中，AB=\,d】=小，點(diǎn)七為彳_7f

A8上的動點(diǎn)，則UE+CE的最小值為（）4，|?r

A.2小B.VK）J

C.小+1D.2+也

解析：B如圖，連接G8并分別延長至￡G,使得"=4O,BG=BC,

連接EG,/G,二?四棱柱48CD-Ai8iG/）i為正四棱柱，，平面4。小4,48，平

面BCGBi,：.ABLAF,AB1BG,XAB=AD=AF,四邊形ABG尸為正方形，：.EG=

、“爐+AG?=鄧0+BC?=CE,...OiE+CE的最小值為。iG,又。6=麗產(chǎn)再五=胸7

=幣".'OiE+CE的最小值為也.

5.（2022?淮北一模）已知正方體A8CD-八1iGA的邊長為2,邊AB的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)

M且垂直BD\的平面被正方體所截的截面面積為（）

A.2B,小

C.2小D.3小

解析：A如圖，連接AC,CBi,AB},BCi,易知C%_L8G,C?1±DiCi,又BCCQiG

=CHBCi,QiGU平面8D1G,所以CBi_L平面8GOi.因為BO|U平面BDCi,故CBi

同理可證C4J?平面B。。，則8QU平面8/犯，則CA_L8。，又CAGCB|=C,

CA,C&U平面C人以，故8?！蛊矫嫒薈BI.取8C的中點(diǎn)￡68的中點(diǎn)F,連接ME,EF,

MF,易知平面ME/〃平面ACBi,所以8D]_L平面ME"，即△"￡：”為所求的截面.易知△

ME廠為正三角形，邊長ME=\]BM2+BE2=木,故S.MEF=9S■義小乂呼=呼.故選A.

6.（多選）用一個平面截一個正方體，截面圖形可以是（）

A.三角形B.等腰梯形

C.五邊形D,正六邊形

解析：ABCD如圖所示,用一個平面去截正方體，截面可能是三角形、等腰梯形、五

邊形、正六邊形，故選A、B、C、D.

A.球。的表面枳為6兀

B.球。的內(nèi)接正方體的校長為1

C.球O的外切正方體的楂長為之

D.球。的內(nèi)接正四面體的棱長為2

解析：AD球的表面積為47rxG^}=47rX號=6江.ATF確-正

方體的體對角線長為2X乎=#,棱長為虎=巾，B錯誤.球的外

切正方體的棱長為2乂乎=水，C錯誤.將正四面體補(bǔ)形為正方體

如圖所示A-BCQi,正方體的體對角線長為2X^=加，棱長為意=也，所以正四面體的

棱長為表乂6=2,D正確.故選A、D.

8.（2022?北京海淀質(zhì)檢）在個棱K為3+20的正方體內(nèi)部有個大球和小球，大球與

正方體的六個面都相切，小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑動，則小球的表面積最

大值是________

解析：如圖所示，為組合體的中截面，易知當(dāng)小球的表面積最大時大

球半徑R和小球半徑r滿足隹R=R+r+小,，2/?=3+26，解得「=白，故小球表面積的最

大值為n.

答案：兀

9.已知正三棱錐S-/1BC1勺側(cè)棱長為4小，底面邊長為6,則該正三棱錐外接球的表面

積是.

解析：如圖，過點(diǎn)S作SE_L平面48c于點(diǎn)E,記球心為。.\?在

正三棱錐SABC中，底面邊長為6,側(cè)校長為4小，當(dāng)X6

3

1____總超才為

=25，:.SE=7SB?—BF=a?.?球心。到四個頂點(diǎn)的距離相等，均等

于該正三棱錐外接球的半徑R,...OBnR,OE=6~R.在R〔Z\BOE中，

。序=8爐+。爐，即穴2=12+(6—投尸，解得R=4,...外接球的表面積為S=47tR2=647t.

答案：64幾

10.如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角

形ABC的中心為O.D,E,尸為圓。上的點(diǎn)，ADBC,AECA,△MB分

別是以RC,CA,AR為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以RC,

CA,AB為折痕折起△O8CAEC4,△FAB,使得D,E,F重合，得到三

棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，求所得三棱錐體積(單位：cm')的最大值.

解：如圖，連接。。，交8c于點(diǎn)G,由題意，知ODA.BC,OG=^BC.設(shè)

OG=x,則3c=2小％,DG=5-x,

三棱錐的高力=>QG2—OG2=^25—lOx+f—6=425—10x,

S△八Bc=gx2，5%X3x=3，5f,則三棱錐的體積V=1s△4BC-A=V5x2-^25—IOx=

4725./—10A5.

令兒目=25/-10金，x￡(0,I),則，。)=100.1—50?.

令/(x)=()得x=2.當(dāng)i￡(0,2)時，/(x)>0,段)單調(diào)遞增，當(dāng)x￡(2,號時，，(x)<0,

凡目單調(diào)遞減，故當(dāng)x=2時，_")取得最大值80,則巫.

所以三棱錠體積的最大值為44記cm\

B級——綜合應(yīng)用

11.(2020?全國I卷)已知八，B,C為球0的球面上的三個點(diǎn)，0Oi為AABC的外接圓.若

OOi的面積為4兀，AB=BC=AC=OOi，則球0的表面積為()

A.64nB.48兀

C.367rD.32n

解析：A如圖所示，設(shè)球。的半徑為R,OOi的半徑為r,因為。

。1的面積為4兀，所以4兀=兀/，解得「=2,又AB=8C=AC=00i,所以(0、

~^=2r,解得AB=2逐故00尸2小，所以肥=0/+J=(2小產(chǎn)

sinou

+22=16,所以球。的表面積S=4TTR2=64兀.故選A.

12.在四面體A8CD中，若AB=CD=小，AC=BD=2,AD=BC=&則四面體ABC。

的外接球的表面積為()

A.2兀B.4兀

C.67rD.8兀

解析：C由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABC。的四個面為./

全等的三角形，所以可在其每個面補(bǔ)上一個以小，2,小為三邊的三角2VVJ

形作為底面，分別以x,y,z為側(cè)棱長的三棱錐，如圖所示，從而可得/TvJ

到一個長、寬、高分別為x,y.z的長方體，并且『+產(chǎn)=3,/+/=5,憶一一一必

Iy

)J24-Z2=4,則有(2R)2=/+,2—Z2=6(R為球的半徑)，得2H2=3,所以球的表面積為5=471/??

13.(2022?海南模擬)在半徑是13cm的球面上有A,B,C三點(diǎn)，且AB=BC=CA=\2cm,

則球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離為.

解析：由題意知問題實際上是在一個底面是邊長為12的正三角形，三條S

側(cè)棱長度都是13的正三棱錐S-A3C中，求頂點(diǎn)S到底面A8C的距離，如圖，/1\

ORQ----<+"："74

過頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是O,連接40,根據(jù)三角形的重心性質(zhì)，AO=Jx^r/

X12sin60°=4，5,根據(jù)在直角三角形中已知的斜邊長是SA=13,一條直角邊

長是AO=4、G，則要求的直角邊長是5求=，%2-402=3|32—(4#)2=11.即球心到經(jīng)過

這三個點(diǎn)的截面的距離是11cm.

答案：11cm

14.已知正四棱錐R48CO的底面正方形的邊長是3,。是P在底面上的射影，PO=6,

。是AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q目.與PA.3。都平行的截面為五邊形EFGHL,求該截面面積的最

大值.

解：如圖，連接AC,BD,設(shè)截面與正四棱錐P-A8CO的底P

面相交于EL,AC與EL相交于點(diǎn)Q,由8?！ń孛鍱FGHL,得/iVV

LE//BD,由AP〃截面EFGHL,得AP//QG,則EL必定分別與:氯\

AB,A。相交于E,心否則，截面將是三角形，貝”AP〃瓦;AP//慳\

LH.在正四棱錐P-4BCQ中，BDA.AP,由:〃8。,4/3QG,知足/二吵

ZGQE是異面直線30與陰所成的角，則QG1EL,所以平面b一十:卜必

GFEQ和平面是兩個全等的直角梯形.

設(shè)AE=M0〈E3）,則人P=正勢+6』宅.

FF3-A-3

由AP//EF,得丁=丁，故￡尸=娛（3—#,由AP〃QG,得號=［產(chǎn)，

￡揖］闈+也3-）笈=_++%=

故QG=從而S五〃用EFGHA=2X

2升9,

所以當(dāng)x=2時，截面的面積取得最大值9.

C級——遷移創(chuàng)新

15.（多選）在南方不少地區(qū)，經(jīng)常看到一種用木片、竹蔑或葦蒿等

材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，其中有一種外形為圓錐形的斗笠，

稱為“燈罩斗笠”，不同型號的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底

寬（底面圓直徑長）兩個指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”，帽坡長

20厘米，帽底寬2（八萬厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法正確的是（）

A.斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為120。

B.過斗笠頂點(diǎn)和斗笠惻面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為10即平方厘米

C.若此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個球匕則該球的表面積為1600允平方厘

米

D.此斗笠放在平面上，可以蓋住的球（保持斗笠不變形）的最大半徑為2即一30理:米

。

解析：ACD2一=60°,所以頂角為夕

=120°,A正確;

對B選項，因為頂角為e=120°,則截面三角形的最大面積為;X2（）2sin90°=200平方

厘米，B錯誤；

對C選項，因為頂角為6=120。，則孝=60。，所以外接球半徑等于圓錐母線長，即/?=

20,則該球的表面積為4兀尸=1600兀平方厘米，C正確；

對D選項，如圖，設(shè)球的最大半徑為r,因為頂角為120c,則/OCQ=15°,所以r=

lan45"-lan30”

CD-tan15°=10；=2（＞V3-30,D正確.故選A、C、D.

I+tan45°tan30

A

BDC

16.多面體歐拉定理是指對于簡單多面體，其各維對象數(shù)總滿足一定笈尸「

的數(shù)量關(guān)系，在三維空間中，多面體歐拉定理可表示為：v（頂點(diǎn)數(shù)）+"表宅笈

面數(shù)）一雙棱長數(shù)）=2.在數(shù)學(xué)上，富勒烯的結(jié)構(gòu)都是以正五邊形和正六邊矍

形面組成的凸多面體，例如富勒烯CM結(jié)構(gòu)圖如圖）是單純用碳原子組成的甕

穩(wěn)定分子.具有60個頂點(diǎn)和32個面,其中12個而為F無邊形.20個面為F六邊形.除

CbO外具有封閉籠狀結(jié)構(gòu)的富勒烯還可能有C?8，Cj2>C50，C70?Cg4，C240，C540等，則C84

結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個數(shù)為（）

A.12B.24

C.30D.32

解析：D在富勒烯多面體C84中，連結(jié)每一個頂點(diǎn)的棱都是3,并且每條棱都連結(jié)2

3X84

個頂點(diǎn)，因此可由頂點(diǎn)數(shù)V=84求得棱數(shù)石=七一=126.設(shè)分子中形狀為正五邊形和正六

邊形的面的個數(shù)分別為x,y,由歐拉公式V+F-E=2,可杼84+x+y—126=2,即x+y

=44.又由多邊形的邊數(shù)可表示C&4的棱數(shù)，即（5x+6.y）+2=3X84+2,即5x+6y=252,由

x+y?=44x^~12

u1:c解得故C也結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個數(shù)為32.

5x+6y=252,[>'=32.

課時過關(guān)檢測（四十）空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

A級----基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.（2022E慶一中月考）如圖，aC\Q=l,A,BGa,CSfi,且OU直線人80/=〃，過

A,B,C三點(diǎn)的平面記作y,則7與4的交線必通過（）

A.點(diǎn)A

C.點(diǎn)。但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)M

解析：DVABCy,MEAB,又aCp=I,M0,:.MSp.根據(jù)基本事實3

可知，M在y與￡的交線上.同理可知，點(diǎn)C也在7與0的交線上.

2.若?！╝,h///i,a//[i,則a,〃的位置關(guān)系是（）

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

解析：D如圖①②?所示，a,〃的關(guān)系分別是平行、異面、相交.

//4///

----a----a——

----b/b4

//////

圖①圖②圖③

3.（2022?勝州模擬）已知”，〃，c是三條不同的直線，。，少是兩個不同的平面，aCf）=

c,"（="，bu（i,貝IJ“小人相交”是“小。相交”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：C若a,b相交，aU〃，bu｝則其交點(diǎn)在交線c上，故a,c相交；若a,c

相交，可能a,〃為相交直線或異面直線.綜上所述：m〃相交是a,c相交的充分不必要

條件.故選C.

4.過長方體的一個頂點(diǎn)的平面與這個長方體的十二條極所在的直線成的角都相等，這

樣的平面?zhèn)€數(shù)為（）

A.4B.1

C.0D.無數(shù)多個

解析：A由題意，題目中的長方體與止方體，所作的平面?zhèn)€數(shù)相同，所以用止方體代

替長方體來求解.

法一：在正方體48CD-AB】GG中，三棱錐A/田。是正三棱錐，直線A3,AD,A4

與平面八山。所成角都相等，過頂點(diǎn)人作平面Q〃平面ABD,則直線AB,AD,人4與平面

?所成角都相等，同理，過頂點(diǎn)A分別作平面a與平面C\BD.平面B\AC,平面。力。平行,

直線4氏AD.44與平面a形成的角都相等，因此符合條件的平面可作4個，故選A.

法二：只要與體對角線垂直的平面都和正方體的所有棱所成的角相等，因為有四條體對

角線.所以.可以鍬4個平而.故選A.

5.（多選）下列四個命題中是真命題的為（）

A.兩兩相交且不過同?點(diǎn)的三條直線必在同?平面內(nèi)

B.過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面

C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行

D.若直線/U平面a,直線〃j_L平面a,則〃j_L/

解析：AD對于A,可談人與八相交，這兩條直線確定的平面

為a；若人與人相交，則交點(diǎn)A在平面a內(nèi)，同理，h與12的交點(diǎn)、B

也在平面a內(nèi)，所以，A3U“，即〃ua,A為真命題;

對于B,若三點(diǎn)共線，則過這三個點(diǎn)的平面有無數(shù)個，故B為假命題；

對于C,兩條直線有可能平行也有可能異面，故C為假命題；

對于D,若直線〃1_L平面a,則機(jī)垂直于平面a內(nèi)所有直線，因為直線/U平面處所

以直線川J?直線/,D為真命題.

6.(多選)如圖，點(diǎn)E,F.G,”分別是正方體A8CD-A出GA中棱

Mi，AB,BC,GDi的中點(diǎn),則()

A.GH=2EF

B.GH豐2EF

C.直線EHGH是異面直線

D.直線ERG”是相交直線

解析：BD如圖，取棱CG的中點(diǎn)M4"的中點(diǎn)AK迂接EM,

MH,HN,NG,FG,AC,4)C),在正方體ABCD-A\B\C\D\中，'：MH

//AiC}//AC//FG,：,M,H,F,G四點(diǎn)共面，同理可得E,同，G,N

四點(diǎn)共面，E,F,H,N四點(diǎn)共面，，E,M,H,N,G,尸六點(diǎn)共面，

均在平面EFGN〃M內(nèi)，F(xiàn)EF//HN,HNCHG=H,HN,HG,EFGNHM,：.EF

與G〃是相交直線.由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得E/="N=NG=FG=￡M=M”,

:.木EF=GH,即GHW2EF.故選B、D.

7.(2022?武漢質(zhì)檢)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB//

CD,則直線七尸與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為.

解析：因為AB〃C。，由圖可以看出EE平行于正方體左右兩個側(cè)面，與另外四個側(cè)面

相交.

答案：4

8.如圖，已知圓柱的軸截面ASGiAi是正方形，C是圓柱下底面弧A6的中點(diǎn)，Ci是圓

柱上底面弧4叢的中點(diǎn)，那么異面直線AG與所成角的正切值為.

解析：如圖，取圓柱下底面弧A8的另一中點(diǎn)。，連接G。，AD,因為。是圓柱下底

面弧AB的中點(diǎn)，所以AO〃5C,

r

所以直線4G與4。所成角等于異面直線4G與8C所成角.因為G是圓柱上底面瓠

的中點(diǎn)，所以GZ）J_圓柱下底面，所以GO_LA。，因為圓柱的軸截面A8囪4是正方形,

所以6。=地A。，所以直線AG與A。所成角的正切值為地，所以異面直線AG與8C所

成角的正切值為5.

答案：巾

9.在棱長為4的正方體A8CQ-4SG。中，E,尸分別是8c和的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)

A,E,”的平面把正方體ABCD-ASGd截成兩部分，求截面與3CG囪的交線段長.

解：如圖，連接AE并延長交。C的延長線于M,連接交CG于G,連接EG并延

長交由G的延長線于N,連接N尸并延長交4G于，，連接A，，則五邊形AEGF”為經(jīng)過

點(diǎn)A,E,尸的正方體的截面，

因為E為8。的中點(diǎn)，所以。￡=^8。=2,

因為CE〃4。，所以△MC￡s2\MD4,

rMCFI

所以加=4方=￡,所以CM=CO=4.

因為。M〃GOi,所以△MCGs△/GG,

28

CGCM--

所以C^=GF=233

所以EG=7CE：2+CG2=

所以截面與BCC內(nèi)的交戰(zhàn)段長為坐

B級——綜合應(yīng)用

10.已知正方體ABCQ-ABiGd的棱長為36，E,”分別為AC,。。的中點(diǎn)，尸是線

段48上的動點(diǎn)，GP與平面產(chǎn)的交點(diǎn)0的軌跡長為（）

A.3B.

C.4D.3^2

解析：B如圖所示，連續(xù)￡尸，A由，連接4G,田。|交于點(diǎn)M,

連接BiE,BC交于點(diǎn)N,連接MN,由EF〃BiD\,得E,F,叢，D\

共面，由P是線段48上的動點(diǎn)，當(dāng)P重合于4或8時，GAi,GB

與平面。尸的交點(diǎn)分別為M,N,即Q的軌跡為MN,由棱長為3也，

得GM=，4iG=3,則BG=6,又L則NCi=？9G=4,由AiB=8G=AiG,

16-2X3X4x1=

得/4G5=60°,貝1MN=

vn.

11.（多選）如圖所示，在上方體ABCD-A/CQi中，。是明。的中點(diǎn)，直線4c交平

面4片。于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是（）

A.4M,。三點(diǎn)共線B.A,M,O,Ai共面

C.人，M,C,。共面D.B,&,O,M共而

解析：ABC?.?M￡AiC,ACU平面A】ACG,平面ANCG,又平面ABxD\,

...M在平面A8|Q|與平面ANCG的交線AO上，即4,M,。三點(diǎn)共線，...A,M,O,4

共面且A,M,C,。共面，?：平面BSnOA平面A8iDi=SZ）i,在平面8區(qū)。力外，

即從&，。，M不共面，故選A、B、C.

12.（2022?福州模擬）空間三條直線a,b,c兩兩異面，則與三條直線都相交的直線有

________條.

解析：取“，仇c為一正方體三條兩兩異面的棱人。，CC）,A\B\,在A。上任取一點(diǎn)M,

在8C上取點(diǎn)N,使得BiN〃4M,設(shè)直線8iN與CG交于點(diǎn)P,PM即與“，b,c都相交,

由于M是任取的，故滿足條件的直線有無數(shù)條.

答案：無數(shù)

13.如圖，A從CD是圓錐面的正截面（垂直于軸的截面）上互相垂

直的兩條直徑，過C。和母線的中點(diǎn)E作一截面.已知圓維側(cè)面展

開圖扇形的中心角為吸n，求截面與圓錐的軸線所夾的角的大小，并說

明截線是什么曲線.

解：如圖，設(shè)。。的半徑為七母線VB=I,則圓錐側(cè)面展開圖的中

心角為平=也兀，.吟=察

?，乙

/.sinZZ?VO=：y,

...圓錐的母皴與軸的夾角a=NBVO/

連接OE,〈O,E分別是A&V8的中點(diǎn)，

二.OE//VA.

：.ZVOE=ZAVO=Z?VO=J,

：.ZVEO=^f即VEJ_OE.

又二人爪。。，VO±CD,ABQVO=O,

...CO,平面VAB.

TVEU平面VAB,

J.VELCD.

又?：OEC\CD=O,OE,COU平面COE,

.?.VE_L平面CDE.

，NVO￡是截面與軸線的夾角，

二.截面的軸線夾角大小為去

由圓錐的半頂角與截面與軸線的夾角相等，知截面COE與圓錐面的截線為一拋物級.

C級——it移創(chuàng)新

14.《九章算術(shù)?商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹培，方解塹堵，其一為陽馬，其一

為鱉嚅.”如圖①所示的長方體用平面44山山斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三極柱,

該三棱柱就叫塹堵.如圖②所示的塹堵中，AC=3,BC=4,AB=5,A4]=2,M為8c的

中點(diǎn)，則異而直線4c與AM所成角的余弦值為（）

9

_

13

AC.逅

9

解析：A如圖，取的中點(diǎn)E,連接4E,EC,則ZEAyC、------fi

即為異面直線AiC與AM所成的角或其補(bǔ)角，在RtAAiGE中，\正/

=<H,在RiZ\EGC中，"=422+22=26在RiAA^iC中，4。=回，

在△4EC中，由余弦定理得，器麻三步

=看，故異面直線AC與AM所成角的余弦值為卷，故選A.

15.設(shè)小。是異面直線，點(diǎn)內(nèi)小N〃.問：過點(diǎn)尸是否可作直線/與小〃都相交？

如果可作，能作多少條？如果不可作，請說明理由.

解：因為&a,P^b,所以點(diǎn)P與直線出方分別可確定一個平面a,從又平面a,夕有

一個公共點(diǎn)P,所以它們有且只有一條經(jīng)過點(diǎn)〃的直線/.

(1)當(dāng)/〃％,且/〃W時，/就是合乎要求的直線，且唯一：

(2)當(dāng)/〃a,或/〃力時，這樣的直線不存在.

課時過關(guān)檢測(四十一)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

A級—基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.如果AB,BC,CO是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過它們中點(diǎn)的平面和直線

AC的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交

C.AC在此平面內(nèi)D.平行或相交

解析：A把這三條線段放在正方體內(nèi)如圖，顯然AC〃月八403平面EFG,TE產(chǎn)U平

面EFG,故人?！ㄆ矫妗?七，故選A.

2.(2022?浙江模擬)設(shè)川，〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平而，且〃1U&,〃

Ua,則“a〃6”是“小〃夕且〃〃尸”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：Am,〃是兩條不同的直線，a,/?是兩個不同的平面，且〃jUa,〃Ua,則“a

得“小〃夕且〃〃/r,根據(jù)面面平行的判定定理得“加〃少且"〃夕'不能得"a〃夕’，

所以r是“相〃/?且,“7?”的充分不必要條件.故選A.

3.（2022?本溪模擬）對于平面a和不重合的兩條直線〃?，〃，下列選項中止確的是（）

A.如果mUa,〃】，〃共而，那么〃?〃〃

B.如果mUa,”與a相交，那么/〃，〃是異面直線

C.如果"Ua,Ma,m,“是異面直線,那么〃〃a

D.如果m±?,nA.ni,那么n//a

解析：A由線面平行的性質(zhì)定理，可知A正確，B選項d,〃可以與小相交，C選項

中，直線”可以與平面a相交，D選項中，〃可以在平面a內(nèi).故選A.

4.（2022天滓模擬）若平面a截三極錐所得截面為平行四邊形，則該三極錐中與平面a

平行的棱有（)

A.0條B.1條

C.2條D.1條或2條

解析：C如圖所示，平面a即平面EFG”,則四邊形為

平行四邊形,則E尸〃GH.平面8c。，GHU平面BCD,；.EF

〃平面BCD.又?.?￡："（=平面AC。，平面3COn平面ACO=CD,

EF//CD.又EFU平面EFGH,CZX平面...C?！ㄆ矫鍱FGH,

同理，A8〃平面EFG”,所以與平面a（平面EFG"）平行的棱有2條.

5.（2022?珠海一模）已知E方體A8CQ-A1iGd的體積為64,若點(diǎn)平而4B。，點(diǎn)

N￡平面8C。，則MN的最小值為（）

A.摯4小

B.3

4

D.

C.3

解析：B由正方體特征知BD〃B\Di,又跳耳平面BCDi,

U平面8CQ1,，鳥。〃平面目C