北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊特殊平行四邊形《正方形的性質(zhì)與判定》示范公開課教學(xué)課件

第3節(jié)

正方形的性質(zhì)與判定(二)九年級數(shù)學(xué)上冊?北師大版第一章

特殊平行四邊形1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2．會運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計算.3.探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.（重點(diǎn)）4.會運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計算.（難點(diǎn)）情境&導(dǎo)入正方形的定義正方形的性質(zhì)正方形的對角線相等并且互相垂直平分.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，叫做正方形.正方形的四個角都是直角，四條邊相等.情境&導(dǎo)入探究一

準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形一組鄰邊相等對角線互相垂直正方形定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.已知：如圖,在矩形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,

AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.定理：對角線互相垂直的矩形是正方形.探究二

把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？菱形一個角是直角對角線相等正方形定理：有一個角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.已知：如圖,在菱形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.定理：對角線互相垂直的菱形是正方形.例1.如圖1-3-3，點(diǎn)A′，B′，C′，D′分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=CD=DA=AB，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又∵AA′=BB′=CC′=DD′，∴D′A=A′B=B′C=C′D.∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′(SAS).∴D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠2=∠3.∴四邊形A′B′C′D′為菱形.∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.∴∠D′A′B′=180°－(∠1+∠3)=90°.∴四邊形A′B′C′D′為正方形.例2.已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF是正方形.45°45°證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°，∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中

∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．如圖，在△ABC中，EF為△ABC的中位線，①若∠BEF=30°，則∠A=______.②若EF=8cm,則AC=______.你還記得三角形的中位線定理嗎？30°16cm1.中點(diǎn)四邊形概念順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形.如圖1-3-4，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH就是中點(diǎn)四邊形.如圖，任意畫一個四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個新四邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？正方形的中點(diǎn)四邊形會是什么形狀？任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為正方形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形PFQO為平行四邊形.菱形的中點(diǎn)四邊形會是什么形狀？矩形的中點(diǎn)四邊形會是什么形狀？菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.你能試著證明嗎？矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為菱形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的對角線相等），∴EF=EH∴四邊形EFGH是菱形（菱形的定義）

決定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對角線的長度和位置關(guān)系。原四邊形對角線關(guān)系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中點(diǎn)四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形例3.如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.練習(xí)&鞏固1.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB=BC時，四邊形ABCD是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形D．當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD是正方形練習(xí)&鞏固2.已知：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF.求證：四邊形AECF是菱形.練習(xí)&鞏固3.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC,對角線BD