2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-對點練62 拋物線【含答案】

對點練62拋物線【A級基礎(chǔ)鞏固】1.拋物線x2＝eq\f(1,4)y的準線方程為()A.y＝－eq\f(1,16) B.x＝－eq\f(1,16)C.y＝eq\f(1,16) D.x＝eq\f(1,16)2.過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A.9 B.8C.7 D.63.(2024·合肥質(zhì)檢)已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝8x的焦點，M為C上一點，若|MF|＝8，則△MOF的面積為()A.4eq\r(3) B.3eq\r(2)C.8 D.3eq\r(3)4.已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且與y軸相交于點P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，則p＝()A.1 B.2C.3 D.45.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過x軸負半軸上的動點A作C的一條切線，切點B在第一象限，若M為線段AB的中點，則eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FM,\s\up6(→))的取值范圍是()A.(1，2] B.(1，2)C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)6.(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4，直線l過點F且與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是()A.p＝4 B.拋物線方程為y2＝16xC.直線l的方程為y＝2x－4 D.|AB|＝107.(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標原點，直線y＝－eq\r(3)(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則()A.p＝2 B.|MN|＝eq\f(8,3)C.以MN為直徑的圓與l相切 D.△OMN為等腰三角形8.(2023·全國乙卷)已知點A(1，eq\r(5))在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準線的距離為________________.9.(2023·天津卷)過原點O的一條直線與圓C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲線y2＝2px(p>0)于點P，若|OP|＝8，則p的值為________.10.(2024·南京、鹽城模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，點P是其準線上一點，過點P作PF的垂線，交y軸于點A，線段AF交拋物線于點B.若PB平行于x軸，則AF的長度為________.11.分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.(1)準線方程為2y＋4＝0；(2)過點(3，－4)；(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上.12.已知拋物線C：x2＝my(m>0)的焦點F到其準線的距離為1.(1)求拋物線C的方程；(2)過F的直線與拋物線C相交于A，B兩點，在A，B處分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點為P，證明：AB⊥FP.【B級能力提升】13.(2024·福州調(diào)研)已知點P在拋物線y2＝8x上，點F為該拋物線的焦點，點A的坐標為(6，3)，則△PAF周長的最小值為________.14.已知F為拋物線T：x2＝4y的焦點，直線l：y＝kx＋2與T相交于A，B兩點.(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；(2)點C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直線l的方程.對點練62拋物線答案1．A[由拋物線的標準方程可得，拋物線的焦點位于y軸正半軸上，焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，準線方程為y＝－eq\f(1,16).]2．B[拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]3．A[拋物線C：y2＝8x的準線方程為x＝－2.設(shè)M(x0，y0)，由拋物線的定義可知，點M到焦點F(2，0)的距離等于其到準線x＝－2的距離，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.因為點M(x0，y0)在拋物線C：y2＝8x上，所以yeq\o\al(2,0)＝8×6＝48，則|y0|＝4eq\r(3)，所以S△MOF＝eq\f(1,2)|OF|·|y0|＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(3)＝4eq\r(3).]4．D[過點A，B分別作拋物線準線的垂線AD，BM，垂足分別為D，M，且AD，BM與y軸分別相交于E，N，則△PAE∽△PBN，得eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(|AE|,|BN|).由拋物線的定義知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BM|，則eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(|AE|,|BN|)＝eq\f(|AD|－\f(p,2),|BM|－\f(p,2))＝eq\f(|AF|－\f(p,2),|BF|－\f(p,2))＝eq\f(8－\f(p,2),4－\f(p,2))＝3，解得p＝4.]5．D[由題意可設(shè)切線AB的方程為x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，則A(m，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝ty＋m，))得y2－4ty－4m＝0，由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t)．結(jié)合F(1，0)，得eq\o(FB,\s\up6(→))＝(t2－1，2t)，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(－1，t)，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FM,\s\up6(→))＝－(t2－1)＋2t2＝t2＋1＞1.]6．ACD[由焦點F到準線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p＝4，故A正確；則拋物線的方程為y2＝8x，故B錯誤；則yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，若M(m，2)是線段AB的中點，則y1＋y2＝4，∴yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8x1－8x2，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(8,4)＝2，∴直線l的方程為y＝2x－4，故C正確；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正確．]7．AC[對于A，因為直線y＝－eq\r(3)(x－1)經(jīng)過拋物線C的焦點，且直線與x軸的交點為(1，0)，所以拋物線C的焦點坐標為(1，0)，所以eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以A正確；對于B，不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)（x－1），,y2＝4x，))消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝eq\f(1,3)，x2＝3.由拋物線的定義得，|MN|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3)，故B錯誤；對于C，法一由以上分析易知，l的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(2\r(3),3)))，半徑r＝eq\f(1,2)|MN|＝eq\f(8,3)＝eq\f(5,3)＋1，所以以MN為直徑的圓與l相切，故C正確；法二由二級結(jié)論——以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切，易知C正確；對于D，由B知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，N(3，－2eq\r(3))，所以由兩點間距離公式可得|OM|＝eq\f(\r(13),3)，|ON|＝eq\r(21)，又|MN|＝eq\f(16,3)，故D錯誤．]8.eq\f(9,4)[將點A的坐標代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，則拋物線的準線方程為x＝－eq\f(5,4)，所以A到準線的距離為1－(－eq\f(5,4))＝eq\f(9,4).]9．6[由題意得直線OP的斜率存在．設(shè)直線OP的方程為y＝kx，因為該直線與圓C相切，所以eq\f(|－2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k2＝3.將直線方程y＝kx與曲線方程y2＝2px(p>0)聯(lián)立，得k2x2－2px＝0，因為k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或eq\f(2p,3)，設(shè)P(x1，y1)，則x1＝eq\f(2p,3)，又O(0，0)，所以|OP|＝eq\r(1＋k2)|x1－0|＝2×eq\f(2p,3)＝8，解得p＝6.]10．3[易得F(1，0)，設(shè)P(－1，t)，則kPF＝eq\f(t－0,－1－1)＝－eq\f(t,2)，所以kPA＝eq\f(2,t)，直線PA的方程為y－t＝eq\f(2,t)(x＋1)，即y＝eq\f(2,t)x＋eq\f(2,t)＋t，易得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,t)＋t))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，t))，A，B，F(xiàn)共線，所以eq\f(\f(2,t)＋t－0,0－1)＝eq\f(t－0,\f(t2,4)－1)，得t2＝2，所以|AF|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,t)＋t))\s\up12(2))＝eq\r(1＋\f(4,t2)＋t2＋4)＝3.]11．解(1)準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0)．又eq\f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求拋物線的標準方程為x2＝8y.(2)∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，則2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).∴所求拋物線的標準方程為y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15，0)，∴所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x.12．(1)解拋物線C的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(m,4)))，準線方程為y＝－eq\f(m,4)，所以焦點F到其準線的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))))＝1，因為m>0，所以m＝2.所以拋物線C的方程為x2＝2y.(2)證明由題意，直線AB的斜率一定存在，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋eq\f(1,2)，代入拋物線方程x2＝2y，整理得x2－2kx－1＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2的導(dǎo)函數(shù)為y′＝x，故拋物線在點A處的切線方程為y－y1＝x1(x－x1)，化簡得y＝x1x－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)，同理，拋物線在點B處的切線方程為y＝x2x－eq\f(xeq\o\al(2,2),2)，聯(lián)立上述兩切線方程，解得x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝k，y0＝eq\f(x1x2,2)＝－eq\f(1,2).因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，k)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0－\f(1,2)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0＋k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(1,2)))))＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k＋k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)))))＝0，所以AB⊥FP.13．13[由題意可知，點A在拋物線的內(nèi)部，拋物線的焦點F(2，0)，拋物線的準線方程為x＝－2，△PAF的周長為|PA|＋|PF|＋|AF|，|AF|＝eq\r(（6－2）2＋（3－0）2)＝5.如圖，過點P作準線的垂線，交準線于點D，由拋物線的定義可知，|PF|＝|PD|，∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小，則當(dāng)D，P，A三點共線時，|PA|＋|PD|取得最小值，即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8，∴△PAF周長的最小值為8＋5＝13.]14．解由已知可得F(0，1)，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(xeq\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(xeq\o\al(2,2),4)))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＝4y，))得x2－4kx－8＝0，所以x1＋x2＝4k，①x1x2＝－8.②(1)|FA|＋|FB|＝eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋1＋eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋1＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,4)＋2.當(dāng)k＝1時，由①②得|FA|＋|FB|＝10.(2)由題意可知eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(xeq\o\al(2,1),4)－1))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(xeq\o\al(2,2),4)－1))，eq