2025高考數學一輪復習-對點練70 分類加法計數原理與分步乘法計數原理【含答案】

對點練70分類加法計數原理與分步乘法計數原理【A級基礎鞏固】1.每天從甲地到乙地的飛機有5班，高鐵有10趟，動車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有()A.22種 B.33種C.300種 D.3600種2.將3張不同的冬奧會門票分給10名同學中的3人，每人1張，不同的分法種數為()A.720 B.240C.120 D.603.某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目.已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有()A.4種 B.6種C.8種 D.12種4.從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數，使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為()A.3 B.4C.6 D.85.中國古代將物質屬性分為“金、木、土、水、火”五種，其相互關系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”.將五種不同屬性的物質任意排成一列，則屬性相克的兩種物質不相鄰的排法種數為()A.8 B.10C.15 D.206.如圖所示，某景觀湖內有四個人工小島，為方便游客登島觀賞美景，現計劃設計三座景觀橋連通四個小島，每座橋只能連通兩個小島，且每個小島最多有兩座橋連接，則設計方案的種數最多是()A.8 B.12C.16 D.247.現有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數是()A.120 B.140C.240 D.2608.(多選)現有4個數學課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是()A.選1人為負責人的選法種數為34B.每組選1名組長的選法種數為5400C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數為420D.若另有3名學生加入這4個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種9.從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，其中虛數的個數是________.10.乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后的項數為________.11.4張卡片的正、反面分別寫有0與1，2與3，4與5，6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成________個不同的三位數.12.(2024·青島調研)甲與其他四位同事各有一輛私家車，車牌尾數分別是9，0，2，1，5，為遵守當地某月5日至9日5天的限行規(guī)定(奇數日車牌尾數為奇數的車通行，偶數日車牌尾數為偶數的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數為________.【B級能力提升】13.如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為()A.5 B.8C.10 D.1514.(2023·湖北名校聯(lián)考)設集合A＝{1，2，…，2023}，S＝{(A1，A2，…，A100)|A1?A2?…?A100?A}，則集合S的元素個數為()A.Ceq\o\al(100,2023) B.Ceq\o\al(101,2023)C.1002023 D.101202315.(2024·衡水調研)用黑白兩種顏色隨機地染如圖所示表格中5個格子，每個格子染一種顏色，并且從左到右數，不管數到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法種數為________種.設a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長可以構成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有______對點練70分類加法計數原理與分步乘法計數原理答案1．B[從甲地到乙地不同的方案數為5＋10＋6＋12＝33.]2．A[可分三步：第一步，第1張門票有10種不同的分法；第二步，第2張門票有9種不同的分法；第三步，第3張門票有8種不同的分法，由分步乘法計數原理得，共有10×9×8＝720種不同分法．]3．B[根據題意得，分兩步進行分析：①小明必選化學，則必須在思想政治、地理、生物中再選出1個科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個，選法有2種．由分步乘法計數原理知，小明可選擇的方案共有3×2＝6(種)．]4．D[以1為首項的等比數列為1，2，4；1，3，9；以2為首項的等比數列為2，4，8；以4為首項的等比數列為4，6，9；把這4個數列的順序顛倒，又得到另外的4個數列，∴所求的數列共有2×(2＋1＋1)＝8(個)．]5．B[由題意知，可看作五個位置排列五個元素，第一個位置有5種排列方法，不妨假設是金，則第二個位置只能從土與水兩者中選一種排放，有2種選擇，不妨假設排的是水，則第三個位置只能排木，第四個位置只能排火，第五個位置只能排土，因此，總的排列方法種數為5×2×1×1×1＝10.]6．B[四個人工小島分別記為A，B，C，D，對A分有一座橋相連和兩座橋相連兩種情況，用“—”表示橋．①當A只有一座橋相連時，有A—B—C—D，A—B—D—C，A—C—B—D，A—C—D—B，A—D—B—C，A—D—C—B，共6種方法；②當A有兩座橋相連時，有C—A—B—D，C—A—D—B，D—A—B—C，D—A—C—B，B—A—C—D，B—A—D—C，共6種方法．故設計方案最多有6＋6＝12(種)．]7．D[由題意，先涂A處，有5種涂法；再涂B處4種涂法；第三步涂C，若C與A同色，則D有4種涂法；若C與A不同色，則D有3種涂法，由此得不同的著色方案有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)．]8．AD[對于A，4個數學課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負責人的選法共有34種，A正確；對于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，B錯誤；對于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法；從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，C錯誤；對于D，若不考慮限制條件，每個人都有4種選法，共有43＝64(種)選法，其中第一組沒有人選，每個人都有3種選法，共有33＝27(種)選法，所以不同的選法有64－27＝37(種)，D正確．]9．36[因為a＋bi為虛數，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數原理知可以組成6×6＝36個虛數．]10．60[從第一個括號中選一個字母有3種方法，從第二個括號中選一個字母有4種方法，從第三個括號中選一個字母有5種方法，故根據分步乘法計數原理可知共有N＝3×4×5＝60(項)．]11．168[要組成三位數，根據百位、十位、個位應分三步：第一步：百位可放8－1＝7個數；第二步：十位可放6個數；第三步：個位可放4個數．故由分步乘法計數原理，得共可組成7×6×4＝168(個)不同的三位數．]12．80[5日至9日，日期尾數分別為5，6，7，8，9，有3天是奇數日，2天是偶數日．第一步，安排偶數日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)用車方案；第二步，安排奇數日出行，分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3×2×2＝12(種)用車方案，第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)用車方案，共計12＋8＝20(種)用車方案．根據分步乘法計數原理可知，不同的用車方案種數為4×20＝80.]13．C[滿足條件1≤i<j<k≤12，k－j＝3且j－i＝4的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5個；滿足條件1≤i<j<k≤12，k－j＝4且j－i＝3的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5個．所以一共有10個．]14．D[對任意i∈[1，2023]，在A1，A2，…，A100中的從屬關系有以下101種：(1)i∈A1，i∈A2，i∈A3，…，i∈A100；(2)i?A1，i∈A2，i∈A3，…，i∈A100；(3)i?A1，i?A2，i∈A3，…，i∈A100；…；(101)i?A1，i?A2，i?A3，…，i?A100.由分步乘法計數原理知，集合S中共有1012023個元素．故選D.]15．10[依題意，第1個格子必須為黑色，則出現從左至右數，不管數到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子包含的情況有：①全染黑色，有1種方法；②第1個格子染黑色，另外4個格子中有1個格子染白色，剩余的都染黑色，有Ceq\o\al(1,4)＝4種方法；③第1個格子染黑色，另外4個格子中有2個格子染白色，2個格子染黑色，具體分為若第3個格子染白色，則第2個格子染黑色，剩余的格子1白1黑，有Ceq\o\al(1,2)種方法；若第3個格子染黑色，則另外3個格子中有2個格子染白色，剩余的染黑色，有Ceq\o\al(2,3)種方法，故有Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝5種方法．所以出現從左至右數，不管數到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法有1＋4＋5＝10種．]16．27[先考慮等邊