2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-對點(diǎn)練74 古典概型、概率的基本性質(zhì)【含答案】

對點(diǎn)練74古典概型、概率的基本性質(zhì)【A級基礎(chǔ)鞏固】1.(多選)下列試驗(yàn)是古典概型的是()A.在區(qū)間[－1，5]上任取一個(gè)數(shù)x，使x2－3x＋2＞0B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球?yàn)榘浊虻母怕蔆.向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率2.(2023·全國甲卷)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)3.(2024·杭州調(diào)研)杭州亞運(yùn)會的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖.現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9) D.eq\f(1,9)4.(2024·張家口質(zhì)檢)已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的第75百分位數(shù)，在1，3，3，5，7，8，10，11中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)都小于a的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(5,14)C.eq\f(15,28) D.eq\f(13,28)5.(2024·深圳模擬)從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)6.(2023·南京模擬)有5個(gè)形狀大小相同的球，其中3個(gè)紅色、2個(gè)藍(lán)色，從中一次性隨機(jī)取2個(gè)球，則下列說法正確的是()A.“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件B.“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件C.“至少取到1個(gè)紅球”的概率大于“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率D.“至多取到1個(gè)紅球”的概率大于“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率7.(2024·廈門模擬)某中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組(每組4個(gè)人)，則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為()A.eq\f(3,55) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)8.(2024·海南四校大聯(lián)考)從不包含大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A＝“抽到紅心”，事件B＝“抽到方片”，且P(A)＝P(B)＝eq\f(1,4)，記事件C＝“抽到黑花色”，則P(C)＝________.9.(2024·重慶診斷)餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現(xiàn)鍋中煮有白菜餡餃子4個(gè)，韭菜餡餃子3個(gè)，這兩種餃子的外形完全相同.從中任意舀取3個(gè)餃子，則每種口味的餃子都至少舀取到1個(gè)的概率為________.10.(2024·聊城模擬)若互不相等的實(shí)數(shù)m，n，s，t滿足mn＝st，則稱m，n，s，t具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì).現(xiàn)從2，4，8，16，32，64，128這7個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取4個(gè)不同的數(shù)，則這4個(gè)數(shù)具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的概率為___________.11.2021年，我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.12.某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測試，學(xué)校從測試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖.注：分組區(qū)間為[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率.【B級能力提升】13.(2024·北京通州區(qū)質(zhì)檢)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹，分三組各進(jìn)行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝.若雙方均不知對方馬的出場順序，則田忌獲勝的概率為________；若已知田忌的上等馬與齊王的中等馬分在一組，則田忌獲勝的概率為________.14.為了了解某種新型藥物對治療某種疾病的療效，某機(jī)構(gòu)日前聯(lián)合醫(yī)院，進(jìn)行了小規(guī)模的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當(dāng)多的受訪者擔(dān)心使用新藥后會有副作用.為了了解使用該種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了某地患有這種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：新藥疲乏癥狀合計(jì)無疲乏癥狀有疲乏癥狀未使用新藥15025t使用新藥xy100合計(jì)225m275(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷有疲乏癥狀與是否使用該新藥有關(guān)？(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出4人，再從這4人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率.附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828對點(diǎn)練74古典概型、概率的基本性質(zhì)答案1．BD[A中，在區(qū)間[－1，5]上任取一個(gè)數(shù)x，使x2－3x＋2＞0，該事件個(gè)數(shù)是無限的；B中，從中任取一球的事件有限，且任取一球?yàn)榘浊蚧蚝谇虻母怕适堑瓤赡艿?；C中，向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率不符合有限性；D中，老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙被選中的概率是等可能的．]2．D[記高一年級2名學(xué)生分別為a1，a2，高二年級2名學(xué)生分別為b1，b2，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6個(gè)，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4個(gè)，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率p＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]3．C[記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為A，B，C，則樣本點(diǎn)有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個(gè)，其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的樣本點(diǎn)有(A，B)，(B，A)，共2個(gè)，所以所求的概率p＝eq\f(2,9).]4．C[因?yàn)?×75%＝6，所以a＝eq\f(8＋10,2)＝9.8個(gè)數(shù)中有6個(gè)數(shù)小于9，所以隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)都小于a的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28).]5．D[從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9個(gè)，它們之和大于8的樣本點(diǎn)有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5個(gè)，故所求概率p＝eq\f(5,9).]6．C[對于A、B，兩事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A、B錯(cuò)誤；對于C，“至少取到1個(gè)紅球”的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.9，“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.7，故C正確；對于D，“至多取到1個(gè)紅球”的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.7，“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.9，故D錯(cuò)誤．]7．A[由已知條件得，將12人任意分成3組(每組4個(gè)人)，不同的分組方法有eq\f(Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(3,3))種，3個(gè)種子選手分在同一組的方法有eq\f(Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(2,2))種，故3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為eq\f(\f(Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(2,2)),\f(Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(3,3)))＝eq\f(3,55).]8.eq\f(1,2)[記事件D＝“抽到紅花色”，因?yàn)镈＝A∪B，且A，B不會同時(shí)發(fā)生，所以A，B是互斥事件，則P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2).又因?yàn)镃，D互斥，且C∪D是必然事件，所以C，D互為對立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝eq\f(1,2).]9.eq\f(6,7)[分為兩類，舀取到的餃子有1個(gè)白菜餡，2個(gè)韭菜餡，或是2個(gè)白菜餡，1個(gè)韭菜餡，所以所求概率p＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(6,7).]10.eq\f(13,35)[從7個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取4個(gè)不同的數(shù)共有Ceq\o\al(4,7)＝35種不同的選法．因?yàn)?＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，64＝26，128＝27，所以具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的4個(gè)數(shù)有{2，16，4，8}，{2，32，4，16}，{2，64，8，16}，{2，64，4，32}，{2，128，4，64}，{2，128，8，32}，{8，16，4，32}，{4，64，8，32}，{4，128，16，32}，{4，128，8，64}，{16，32，8，64}，{16，64，8，128}，{32，64，16，128}，共13種．所以這4個(gè)數(shù)具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的概率為eq\f(13,35).]11．解(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人．(2)①從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個(gè)樣本點(diǎn)．②由表格知，符合題意的樣本空間為{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共11個(gè)樣本點(diǎn)，所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).12．解(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以樣本中包含的男生人數(shù)為30×eq\f(1,15)＝2，女生人數(shù)為45×eq\f(1,15)＝3.則從5人中任意選取2人共有Ceq\o\al(2,5)＝10種，抽取的2人中沒有一名男生有Ceq\o\al(2,3)＝3種，則至少有一名男生有Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3)＝7種．故至少有一名男生的概率為p＝eq\f(7,10).13.eq\f(1,6)eq\f(1,2)[齊王的上、中、下等馬分別記為a1，a2，a3，田忌的上、中、下等馬分別記為b1，b2，b3，齊王與田忌賽馬，雙方每組對陣情況有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，田忌獲勝；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，齊王獲勝；(a3，b1)，(a2，b