專題01 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（解析版）

專題01三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.2、（2023年新高考天津卷）已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項(xiàng)中，B選項(xiàng)中，C選項(xiàng)中，D選項(xiàng)中，排除選項(xiàng)CD，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項(xiàng)A，對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.3、（新2023年課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點(diǎn)，若，則______．

【答案】【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)椋?，．故答案為：?、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.5、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））．已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個數(shù)為.故選：C.6、【2022年全國甲卷】將函數(shù)f(x)=sinωx+π3(ω>0)的圖像向左平移π2個單位長度后得到曲線C，若A．16 B．14 C．13【答案】C【解析】由題意知：曲線C為y=sinωx+π2+π解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故當(dāng)k=0時，故選：C.

7、【2022年全國甲卷】設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+π3在區(qū)間A．53,136 B．53,【答案】C【解析】：依題意可得ω>0，因?yàn)閤∈0,π，所以ωx+要使函數(shù)在區(qū)間0,π恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，又y=sinx，則5π2<ωπ+π3≤3π故選：C．

8、【2022年全國乙卷】函數(shù)fx=cosA．?π2，π2 B．?3π【答案】D【解析】f'所以fx在區(qū)間0,π2和3π2,2在區(qū)間π2,3π2上又f0=f2π=2所以fx在區(qū)間0,2π上的最小值為?3π故選：D

9、【2022年新高考1卷】記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期為T．若2π3<T<πA．1 B．32 C．52【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足2π3<T<π，得2π3又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(3π2,2)對稱，所以3π所以ω=?16+23所以f(π故選：A題組一、三角函數(shù)圖像的變換1-1、（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）將函數(shù)圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向左平移個單位得到曲線C．若曲線C的圖像關(guān)于軸對稱，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圖像變化得到曲線C為：，由圖像關(guān)于軸對稱得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】由題意得變化后的曲線C為：，曲線C的圖像關(guān)于軸對稱，故，又，即當(dāng)，故選：B.1-2、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．若為偶函數(shù)．的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列．將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則（

）A．0 B．－2 C．1 D．－1【答案】A【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的周期和對稱軸，然后再利用三角函數(shù)圖像的變換即可求解.【詳解】由的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，可以得到函數(shù)的周期，；由為偶函數(shù)，可得的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，因?yàn)?，所以，，則，將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，再向左平移個單位得到函數(shù)，所以.故選：A．1-3、（2022·山東萊西·高三期末）要得到的圖象，只需將的圖象（）A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向右平行移動個單位長度 D．向左平行移動個單位長度【答案】C【解析】：因?yàn)楹瘮?shù)，所以要得到的圖象，只需將的圖象向右平行移動個單位長度，故選：C.1-4、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）（多選）為了得到函數(shù)的圖象，只需把余弦曲線上所有的點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移C．向右平移，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變D．向右平移，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變【答案】BC【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個長度單位，得，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得；函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得，再向右平移個長度單位，得，即.故選：BC題組二、三角函數(shù)的解析式及性質(zhì)2-1、（2022·江蘇海安·高三期末）函數(shù)的部分圖象如圖，則下列選項(xiàng)中是其一條對稱軸的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意，點(diǎn)是函數(shù)的圖象對稱中心，且在函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，則，即，，令函數(shù)周期為，由圖象知，即有，而，則有，因此，，解得，而，則，，，由得函數(shù)圖象的對稱軸：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即選項(xiàng)A，B，D不滿足，選項(xiàng)C滿足.故選：C2-2、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象得到，再根據(jù)平移變換求解即可.【詳解】由圖知：，則，，所以，則，即.因?yàn)椋?，，即?因?yàn)椋?，所?所以.故選：C.2-3、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模）函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)（其中，的圖象，可得，，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，，．故把圖象向右平移個單位長度，可得到的圖象，故選：D．2-4、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）（多選）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，先求得，然后求得，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性確定正確答案.【詳解】，，由于，所以，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤.，當(dāng)時，得，所以關(guān)于對稱，C選項(xiàng)正確，，當(dāng)時，得在上遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD.2-5、（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）（多選）已知函數(shù)（），若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為D．的圖象可由的圖象向左平移個單位得到【答案】ABC【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可得：，∴，，又，故，所以.A：由，得的一條對稱軸為，故A正確；B：當(dāng)時，，∴函數(shù)圖象關(guān)于對稱，故B正確；C：由，得，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；D：由，得，故D錯誤．故選：ABC.題組三、三角函數(shù)的性質(zhì)3-1、（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）將函數(shù)圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向左平移個單位得到曲線C．若曲線C的圖像關(guān)于軸對稱，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圖像變化得到曲線C為：，由圖像關(guān)于軸對稱得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】由題意得變化后的曲線C為：，曲線C的圖像關(guān)于軸對稱，故，又，即當(dāng)，故選：B.3-2、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知奇函數(shù)圖像的相鄰兩個對稱中心間的距離為2π，將的圖像向右平移個單位得函數(shù)的圖像，則的圖像（

）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】B【分析】先根據(jù)條件求出，，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的對稱中心及對稱軸辨析即可.【詳解】相鄰兩對稱中心的距離為，則，．已知為奇函數(shù)，根據(jù)可知，則，．令，，故A錯誤，B正確；令，，故C、D錯誤．故選：B．3-3、（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．若，則的最小值為【答案】BC【詳解】對于A，由函數(shù)，則，故A錯誤；對于B，由，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，由，則，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為直線，故C正確；對于D，由，則，令，解得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故D錯誤.故選：BC.3-4、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選題）已知函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．在上單調(diào)遞增B．若，則C．函數(shù)的圖象可以由向右平移個單位得到D．若函數(shù)在上恰有兩個極大值點(diǎn)，則【答案】BD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可判斷求解.【詳解】令，則，即的單調(diào)增區(qū)間為，則在不單調(diào)，故選項(xiàng)錯誤；令，則或，即或，由，則或，，即或，故選項(xiàng)正確；向右平移個單位變?yōu)楣蔬x項(xiàng)錯誤；對于，，在上恰有兩個極大值點(diǎn)，即，即，故選項(xiàng)正確.故選：.題組四、三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用4-1、（2022·江蘇如東·高三期末）正弦信號是頻率成分最為單一的一種信號，因?yàn)檫@種信號的波形是數(shù)學(xué)上的正弦函數(shù)而得名，很多復(fù)雜的信號都可以通過多個正弦信號疊加得到，因而正弦信號在實(shí)際中作為典型信號或測試信號獲得廣泛應(yīng)用.已知某個信號的波形可以表示為f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x.則（）A．f(x)的最大值為3 B．π是f(x)的一個周期C．f(x)的圖像關(guān)于(π，0)對稱 D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】C【解析】取最大值1時，，，取最大值1時，，取最大值1時，，三者不可能同時取得，因此，A錯；與不可能恒相等，不可能是周期，B錯；，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確；函數(shù)圖象是連續(xù)的，而，，因此在上不可能遞增，D錯誤．故選：C．4-2、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）（多選題）已知函數(shù)在上恰有三個零點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．在上只有一個極小值點(diǎn)C．在上恰有兩個極大值點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【詳解】A項(xiàng)，當(dāng)時，，由函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，可得，解得，所以無最大值，因此A錯誤；B選項(xiàng)：由A選項(xiàng)知，，則當(dāng)，即時，函數(shù)取得極小值，即在上只有一個極小值點(diǎn)，因此B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)，即時，此時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)，即時，函數(shù)取得極大值，但是不一定在內(nèi)，因此C錯誤；D選項(xiàng)：當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，即，而在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，因此D正確，故選：BD．4-3、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）（多選題）已知函數(shù)(ω>0)，下列說法中正確的有（）A．若ω=1，則f(x)在上是單調(diào)增函數(shù)B．若，則正整數(shù)ω的最小值為2C．若ω=2，則把函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個單位長度，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱D．若f(x)在上有且僅有3個零點(diǎn)，則【答案】BD【解析】依題意，，對于A，，，當(dāng)時，有，因在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，A不正確；對于B，因，則是函數(shù)圖象的一條對稱軸，，整理得，而，即有，，B正確；對于C，，，依題意，函數(shù)，這個函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)不對稱，C不正確；對于D，當(dāng)時，，依題意，，解得，D正確.故選：BD4-4、（2022·天津五十七中模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)不正確的是（

）．A．最小正周期為 B．C．是偶函數(shù) D．當(dāng)時取得最大值【答案】CD【解析】正確,錯誤的最小正周期正確當(dāng)時,,解得所以當(dāng)時,取得最大值,錯誤故選：CD1、（2022·湖北江岸·高三期末）下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，其在上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】的最小正周期為，在上單調(diào)遞減，符合題意，故A正確；不是周期函數(shù)，故B錯誤；中，，則，故中在時不是單調(diào)函數(shù)，故C錯誤；，則，故中在時不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤，故選：A.2、（2022·湖南常德·高三期末）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A．若，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)锽．點(diǎn)是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心C．函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)D．函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到【答案】A【解析】由題圖及五點(diǎn)作圖法得，，，則，，故.由，得，故，函數(shù)f(x)在區(qū)間上不是增函數(shù)，故A正確，C錯誤；∵當(dāng)時，，所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心，故B錯誤；由，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，故D錯誤.故選：A．3、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知奇函數(shù)圖像的相鄰兩個對稱中心間的距離為2π，將的圖像向右平移個單位得函數(shù)的圖像，則的圖像（

）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】B【分析】先根據(jù)條件求出，，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的對稱中心及對稱軸辨析即可.【詳解】相鄰兩對稱中心的距離為，則，．已知為奇函數(shù)，根據(jù)可知，則，．令，，故A錯誤，B正確；令，，故C、D錯誤．故選：B．4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到或，計(jì)算得到答案.【詳解】，則函數(shù)有最小值也有最大值則或故選：.5、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┯浐瘮?shù)的最小正周期為T．若，且點(diǎn)和直線分別是圖像的對稱中心和對稱軸，則T＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出對稱中心和對稱軸之間的距離關(guān)系，根據(jù)周期的取值范圍即可確定周期的值【詳解】解：由題意在中，設(shè)對稱點(diǎn)和與對稱軸在軸上的交點(diǎn)間的距離為對稱中心：對稱軸：由幾何知識得，解得：（為屬于的參數(shù)）∵，且點(diǎn)和直線分別是圖像的對稱中心和對稱軸∴解得：∵∴,故選：A.6、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎瘮?shù)，圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等