2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2講-兩條直線的位置關(guān)系

第2講兩條直線的位置關(guān)系考向預(yù)測核心素養(yǎng)一是利用直線方程判定兩條直線的位置關(guān)系；二是利用兩條直線間的位置關(guān)系求直線方程；三是綜合運(yùn)用直線的知識(shí)解決諸如中心對稱、軸對稱等常見的題目，大部分都是客觀題.直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算[學(xué)生用書P210]一、知識(shí)梳理1．兩條直線的平行與垂直(1)兩條直線平行若l1∥l2，則l1與l2的傾斜角α1與α2相等，由α1＝α2，可得tanα1＝tanα2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，則k1＝k2．(2)兩條直線垂直設(shè)兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0?1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.也就是說，l1⊥l2?k1k2＝－1．2．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三種距離點(diǎn)點(diǎn)距點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)點(diǎn)線距點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))線線距兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))常用結(jié)論1．兩個(gè)充要條件(1)兩條直線平行或重合的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.(2)兩條直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.2．三種直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．四種常用對稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點(diǎn)為(x，2b－y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．二、教材衍化1．(人A選擇性必修第一冊P67習(xí)題2.2T8(3)改編)已知直線l過點(diǎn)(0，3)，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是()A．x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0解析：選D.依題意得直線l的斜率為1，又直線l過點(diǎn)(0，3)，所以直線l的方程為y－3＝1×(x－0)，即x－y＋3＝0.2．(人A選擇性必修第一冊P79習(xí)題2.3T9改編)若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以點(diǎn)(1，2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.答案：－93．(人A選擇性必修第一冊P79習(xí)題2.3T7改編)兩條平行直線l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之間的距離為________．解析：因?yàn)閘1∥l2，所以由兩條平行直線間的距離公式得d＝eq\f(|－8－（－10）|,\r(22＋32))＝eq\f(2\r(13),13).答案：eq\f(2\r(13),13)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)若兩直線的解析式組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．()(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√二、易錯(cuò)糾偏1．(忽略兩直線平行的充要條件致誤)直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m＝()A．2 B.－3C．2或－3 D.－2或－3解析：選C.直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2)，故m＝2或m＝－3.故選C.2．(距離公式使用不當(dāng)致誤)兩條平行直線3x＋4y－12＝0與ax＋8y＋11＝0之間的距離為()A.eq\f(23,5) B.eq\f(23,10)C．7 D.eq\f(7,2)解析：選D.由題意知a＝6，直線3x＋4y－12＝0可化為6x＋8y－24＝0，所以兩平行直線之間的距離為eq\f(|11＋24|,\r(36＋64))＝eq\f(7,2).3．(忽略兩直線垂直的充要條件致誤)已知直線l1：ax＋y－4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0，若l1⊥l2，則a＝________．解析：因?yàn)閘1⊥l2，則2a＋a＝0，所以a＝0.答案：04．(位置關(guān)系考慮不周全致誤)已知點(diǎn)A(3，2)和B(－1，4)到直線ax＋y＋1＝0的距離相等，則a的值為________．解析：由點(diǎn)到直線的距離公式可得eq\f(|3a＋2＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|－a＋4＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝eq\f(1,2)或a＝－4.答案：eq\f(1,2)或－4[學(xué)生用書P212]考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：能根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系．1．(多選)(鏈接常用結(jié)論1)(2022·重慶調(diào)研)已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，則下列說法正確的是()A．若l1∥l2，則m＝－1或m＝3B．若l1∥l2，則m＝3C．若l1⊥l2，則m＝－eq\f(1,2)D．若l1⊥l2，則m＝eq\f(1,2)解析：選BD.若直線l1∥l2，則3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但m＝－1時(shí)，兩直線方程分別為x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0即x－y－1＝0，兩直線重合，只有m＝3時(shí)兩直線平行，A錯(cuò)誤，B正確；若l1⊥l2，則m－2＋3m＝0，解得m＝eq\f(1,2)，C錯(cuò)誤，D正確．2．經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是()A．6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0解析：選A.因?yàn)閽佄锞€y2＝2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，直線3x－2y＋5＝0的斜率為eq\f(3,2)，所以所求直線l的方程為y＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化為一般式，得6x－4y－3＝0.3．已知三條直線2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))解析：選D.由題意得直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點(diǎn)．當(dāng)直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行時(shí)，m＝eq\f(2,3)或m＝－eq\f(4,3)；當(dāng)直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點(diǎn)時(shí)，m＝－eq\f(2,3).所以實(shí)數(shù)m的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).4．(多選)(2022·葫蘆島協(xié)作校高二考試)已知A(1，2)，B(－3，4)，C(－2，0)，則()A．直線x－y＝0與線段AB有公共點(diǎn)B．直線AB的傾斜角大于135°C．△ABC的邊BC上的中線所在直線的方程為y＝2D．△ABC的邊BC上的高所在直線的方程為x－4y＋7＝0解析：選BCD.如圖，因?yàn)閗OA＝2>1，kOB<0，所以直線x－y＝0與線段AB無公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤；因?yàn)閗AB＝eq\f(4－2,－3－1)＝－eq\f(1,2)>－1，所以直線AB的傾斜角大于135°，B正確；因?yàn)榫€段BC的中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2))，所以BC邊上的中線所在直線的方程為y＝2，C正確；因?yàn)閗BC＝eq\f(4,－3＋2)＝－4，所以BC上的高所在直線的方程為y－2＝eq\f(1,4)(x－1)，即x－4y＋7＝0，D正確．(1)兩條直線平行、垂直的判斷方法若已知兩條直線的斜率存在．①兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等．②兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1.[提醒]判斷兩條直線位置關(guān)系應(yīng)注意：〈1〉注意斜率不存在的特殊情況．〈2〉注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)由兩條直線平行與垂直求參數(shù)的值的解題策略在解這類問題時(shí)，一定要“前思后想”．“前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后，檢驗(yàn)答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解．考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)與距離問題(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．角度1兩條直線的交點(diǎn)(1)對于任給的實(shí)數(shù)m，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(9，－4) B.(－9，－4)C．(9，4) D.(－9，4)(2)經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線的方程為__________________．【解析】(1)(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即為m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，故此直線過直線x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交點(diǎn)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,－x－y＋5＝0))得定點(diǎn)的坐標(biāo)為(9，－4)．(2)由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9))).因?yàn)樗笾本€與直線3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直線的斜率為k＝eq\f(4,3).由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.【答案】(1)A(2)4x－3y＋9＝0角度2距離問題已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)P.(1)點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離的最大值．【解】(1)因?yàn)榻?jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以eq\f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝eq\f(1,2)或λ＝2.所以直線l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交點(diǎn)P(2，1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到直線l的距離，則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)．所以dmax＝|PA|＝eq\r(10).若將本例變?yōu)椋褐本€l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)且到點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，4)的距離相等，求直線l的方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)．當(dāng)AB∥l時(shí)，又kAB＝2，所以直線l的方程為y－1＝2(x－2)即2x－y－3＝0，當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，又AB的中點(diǎn)為(2，2)．所以直線l的方程為x＝2.利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要先把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等再利用距離公式求解．|跟蹤訓(xùn)練|1．(多選)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為()A．2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0解析：選BD.設(shè)直線l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題知：d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，因?yàn)閑q\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直線l為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.2．(多選)(2022·北京昌平區(qū)一中上學(xué)期期中)點(diǎn)(0，1)到直線y＝k(x＋1)的距離可能為()A．0 B.1C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：選ABC.直線y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))到直線y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))的距離的最大值為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－1))\s\up12(2))＝eq\r(2).3．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為________．解析：因?yàn)閑q\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以兩條直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10).答案：eq\f(29,10)考點(diǎn)三對稱問題(思維發(fā)散)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：對稱問題的核心是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，要把握兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對稱，則線段MN的中點(diǎn)在直線l上，且直線l與直線MN垂直．(鏈接常用結(jié)論3)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程．【解】(1)設(shè)A′(x，y)，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))所以A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′必在直線m′上．設(shè)M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))所以M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝3，))所以N(4，3)．又因?yàn)閙′經(jīng)過點(diǎn)N(4，3)，所以由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.在本例條件下，求直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．解：設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，因?yàn)镻′在直線l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．(2)中心對稱可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)軸對稱問題利用垂直和中點(diǎn)兩個(gè)條件列方程解題．|跟蹤訓(xùn)練|如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是()A．3eq\r(3) B.6C.2eq\r(10) D.2eq\r(5)解析：選C.直線AB的方程為x＋y＝4，點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4，2)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(－2，0)，則光線經(jīng)過的路程為|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).[學(xué)生用書P430(單獨(dú)成冊)][A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2022·哈師大附中模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0,l2：x＋ay＋2＝0,其中a∈R,則“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件C．充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：選A.直線l1⊥l2的充要條件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3.故選A.2．(2022·廣州期末)若直線y＝－2x＋3k＋14與直線x－4y＝－3k－2的交點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．－6＜k＜－2 B.－5＜k＜－3C．k＜－6 D.k＞－2解析：選A.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋3k＋14，,x－4y＝－3k－2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝k＋6，,y＝k＋2.))因?yàn)橹本€y＝－2x＋3k＋14與直線x－4y＝－3k－2的交點(diǎn)位于第四象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋6＞0，,k＋2＜0，))解得－6＜k＜－2.3．已知直線l：ax＋by＋c＝0與直線l′關(guān)于直線x＋y＝0對稱，則l′的方程為()A．bx＋ay－c＝0 B.ay－bx－c＝0C．a(chǎn)y＋bx＋c＝0 D.ay－bx＋c＝0解析：選A.在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程．直線ax＋by＋c＝0關(guān)于直線x＋y＝0對稱的直線l′的方程是a(－y)＋b(－x)＋c＝0，即bx＋ay－c＝0.4．(2022·亳州市質(zhì)量檢測)若動(dòng)點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))分別在直線x＋y＋7＝0與直線x＋y＋5＝0上移動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為()A．2eq\r(3) B.3eq\r(3)C.3eq\r(2) D.2eq\r(2)解析：選C.由題意知，MN的中點(diǎn)P的軌跡為平行于兩直線且到兩直線距離相等的直線，故其方程為x＋y＋6＝0，所以P到原點(diǎn)的距離的最小值為d＝eq\f(6,\r(12＋12))＝3eq\r(2).5．(多選)(2022·宜昌市夷陵中學(xué)檢測)已知直線l的一個(gè)方向向量為u＝(－eq\f(\r(3),6)，eq\f(1,2))，且l經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2))，則下列結(jié)論中正確的是()A．l的傾斜角等于150°B．l在x軸上的截距等于eq\f(2\r(3),3)C．l與直線eq\r(3)x－3y＋2＝0垂直D．l與直線eq\r(3)x＋y＋2＝0平行解析：選CD.因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為u＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(1,2)))，所以直線l的斜率為k＝eq\f(\f(1,2),－\f(\r(3),6))＝－eq\r(3)，設(shè)直線的傾斜角為α(α∈[0°，180°))，則tanα＝－eq\r(3)，所以α＝120°，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)閘經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2))，所以直線l的方程為y＋2＝－eq\r(3)(x－1)，令y＝0，則x＝－eq\f(2\r(3),3)＋1，所以l在x軸上的截距為－eq\f(2\r(3),3)＋1，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€eq\r(3)x－3y＋2＝0的斜率為eq\f(\r(3),3)，直線l的斜率為－eq\r(3)，所以－eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝－1，所以l與直線eq\r(3)x－3y＋2＝0垂直，所以C正確；因?yàn)橹本€eq\r(3)x＋y＋2＝0的斜率為－eq\r(3)，直線l的斜率也為－eq\r(3)，且兩直線截距不相等，故兩直線平行，所以D正確．6．過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為________．解析：過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得λ＝－eq\f(4,5)，故所求直線方程為x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝07．已知點(diǎn)P(m，n)是直線2x＋y＋5＝0上的任意一點(diǎn)，則eq\r(（m－1）2＋（n＋2）2)的最小值為________．解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(m，n)是直線2x＋y＋5＝0上的任意一點(diǎn)，所以eq\r(（m－1）2＋（n＋2）2)的最小值為點(diǎn)(1，－2)到直線2x＋y＋5＝0的距離，即最小值為d＝eq\f(|2－2＋5|,\r(22＋12))＝eq\r(5).所以eq\r(（m－1）2＋（n＋2）2)的最小值為eq\r(5).答案：eq\r(5)8．已知直線l1：ax＋y＋3a－4＝0和l2：2x＋(a－1)y＋a＝0，則原點(diǎn)到l1的距離的最大值是________；若l1∥l2，則a＝________．解析：直線l1：ax＋y＋3a－4＝0等價(jià)于a(x＋3)＋y－4＝0，則直線過定點(diǎn)A(－3，4)，當(dāng)原點(diǎn)到l1的距離最大時(shí)，滿足OA⊥l1，此時(shí)原點(diǎn)到l1的距離的最大值為|OA|＝eq\r(（－3）2＋42)＝5.若a＝0，則兩直線方程為y－4＝0和2x－y＝0，不滿足直線平行；若a＝1，則兩直線方程為x＋y－1＝0和2x＋1＝0，不滿足直線平行；當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，若兩直線平行，則eq\f(a,2)＝eq\f(1,a－1)≠eq\f(3a－4,a)，由eq\f(a,2)＝eq\f(1,a－1)得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，eq\f(a,2)＝eq\f(3a－4,a)，舍去，當(dāng)a＝－1時(shí)，eq\f(a,2)≠eq\f(3a－4,a)，成立，即a＝－1.答案：5－19．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直線l1過點(diǎn)(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等．解：(1)因?yàn)閘1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.又因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)因?yàn)橹本€l2的斜率存在，l1∥l2，所以直線l1的斜率存在．所以eq\f(a,b)＝1－a.①又因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，所以l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即eq\f(4,b)＝b.②聯(lián)立①②可得a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.10．已知四邊形ABCD為平行四邊形，A(0，3)，B(4，1)，D為邊AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)一條光線從點(diǎn)D射出，經(jīng)直線AB反射，反射光線經(jīng)過CD的中點(diǎn)E，求反射光線所在直線的方程．解：(1)如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M，則M(2，2)，由AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)D，可知kMD·kAB＝－1，因?yàn)閗AB＝eq\f(1－3,4－0)＝－eq\f(1,2)，所以kMD＝2，所以直線MD的方程為y－2＝2(x－2)，即y＝2x－2.令y＝0，則x＝1，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)．又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，設(shè)C(a，b)，因?yàn)椋?，?a－1，b)＝(4，－2)，所以a＝5，b＝－2，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－2)．(2)由(1)知，直線AB的方程為x＋2y－6＝0，如圖，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D′(m，n)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，,\f(m＋1,2)＋2·\f(n,2)－6＝0，))整理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－n－2＝0，,m＋2n－11＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝4，))所以D′(3，4)，又因?yàn)镃D的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(3，－1)，因此，反射光線所在直線D′E的方程為x＝3.[B綜合應(yīng)用]11．(多選)(2022·重慶市永川景圣中學(xué)月考)下列說法正確的是()A．過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))且在x，y軸截距相等的直線方程為x＋y－3＝0B．直線y＝3x－2在y軸上的截距為－2C．直線eq\r(3)x＋y＋1＝0的傾斜角為60°D．過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為2x＋y＝0解析：選BD.過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))且在x，y軸截距相等的直線方程為x＋y－3＝0和y＝2x，A錯(cuò)誤；取x＝0，y＝－2，則直線y＝3x－2在y軸上的截距為－2，B正確；直線eq\r(3)x＋y＋1＝0的斜率為k＝－eq\r(3)，傾斜角為120°，C錯(cuò)誤；垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程斜率為k＝－2，過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))的直線方程為y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))＋2＝－2x，即2x＋y＝0，D正確．12．(2022·山東省精英對抗賽)直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點(diǎn)N，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)N對稱的直線方程為()A．2x＋3y－12＝0 B.2x＋3y＋12＝0C．2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0解析：選B.由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1)．設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)N對稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠－6)．則eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)．所以所求直線方程為2x＋3y＋12＝0，故選B.13．(2022·寶雞模擬)光線沿著直線y＝－3x＋b射到直線x＋y＝0上，經(jīng)反射后沿著直線y＝ax＋2射出，則有()A．a(chǎn)＝eq\f(1,3)，b＝6 B.a＝－3，b＝eq\f(1,6)C．a(chǎn)＝3，b＝－eq\f(1,6) D.a＝－eq\f(1,3)，b＝－6解析：選D.由題意，直線y＝－3x＋b與直線y＝ax＋2關(guān)于直線y＝－x對稱，所以直線y＝ax＋2上的點(diǎn)(0，2)關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)(－2，0)在直線y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直線y＝－3x－6上的點(diǎn)(0，－6)關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)(6，0)在直線y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－eq\f(1,3).14．(2022·乳山市第一中學(xué)月考)從點(diǎn)A(2，3)射出的光線沿與向量a＝(8，4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在直線的方程為________．解析：點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3))，由于入射光線與a＝(8，4)平行，所以反射光線的斜率是－eq\f(4,8)＝－eq\