中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題03二次函數(shù)圖象與性質(zhì)大題專練（七大類型）（解析版）

壓軸題03二次函數(shù)圖象與性質(zhì)大題專練（七大類型）類型一、二次函數(shù)解析式例1．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A1,2，B2,3，C2,1，直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，拋物線y=ax2+bx+1恰好經(jīng)過(guò)(1)判斷點(diǎn)B是否在直線y=x+m上，并說(shuō)明理由；(2)求a，b的值；(3)平移拋物線y=ax2+bx+1，若所得新拋物線的頂點(diǎn)仍在直線y=x+m【答案】(1)點(diǎn)B是在直線y=x+m上，理由見(jiàn)詳解(2)a=?1，b=2(3)y=?【分析】（1）把點(diǎn)A1,2代入直線y=x+m，求出直線的解析式，再判斷點(diǎn)B是否在直線y=x+m（2）根據(jù)點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)相同，判斷拋物線不會(huì)同時(shí)經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，再根據(jù)直線A，B和0,1，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,1的拋物線不會(huì)同時(shí)經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，即可判定拋物線經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可求出a，b的值；（3）設(shè)平移后的拋物線為y=?x2+px+q，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為p2,p2【詳解】（1）點(diǎn)B是在直線y=x+m上，理由如下：∵直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,2∴1+m=2，∴m=1，∴y=x+1，當(dāng)x=2時(shí)，y=3，∴點(diǎn)B2,3在直線y=x+m（2）∵點(diǎn)B2,3，C∴拋物線y=ax2+bx+1只能經(jīng)過(guò)B又∵直線y=x+1和拋物線y=ax2+bx+1都經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,1，直線y=x+1還經(jīng)過(guò)A∴拋物線y=ax2+bx+1只能經(jīng)過(guò)A∴拋物線y=ax2+bx+1只能經(jīng)過(guò)A把A1,2，C2,1代入a+b+1=24a+2b+1=1解得，a=?1b=2∴a=?1，b=2；（3）由（2）知，拋物線的解析式為y=?x設(shè)平移后的拋物線為y=?x2+px+q∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，∴p2∵拋物線為y=?x2+px+q∴q=1，∴p2解得，p=2（舍去），或p=0，∴平移后的拋物線為y=?x【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，題目有一定難度，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型二、二次函數(shù)的對(duì)稱性例2．（2023·北京西城·北京市第十三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2?a+2x+2(1)若t=0，①求此拋物線的對(duì)稱軸；②當(dāng)p<t時(shí)，直接寫出m的取值范圍；(2)若t<0，點(diǎn)Cn,q在該拋物線上，m<n且3m+3n≤?4，請(qǐng)比較p，q【答案】(1)①x=?12；②x<?2(2)p<q，理由見(jiàn)解析【分析】（1）①把點(diǎn)A?2,0代入y=ax2?a+2x+2，求出（2）把點(diǎn)A?2,t代入y=ax2?a+2x+2可得t=6a+6，再由t<0，可得a<?1，?1<1a<0，從而得到拋物線開(kāi)口向下，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??a+2【詳解】（1）解：①當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)A?2,0把點(diǎn)A?2,0代入y=a0=4a+2a+2解得：a=?1，∴該函數(shù)解析式為y=?x∵y=?x∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1②令y=0，則0=?x解得：x1∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為1,0，∵?1<0，∴拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)p<0時(shí)，m的取值范圍為x<?2或x>1；（2）解：p<q，理由如下：把點(diǎn)A?2,t代入y=at=4a+2a+2∵t<0，∴6a+6<0，∴a<?1，∴?1<1∴拋物線開(kāi)口向下，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??∴3m+3n≤?4，∴m+n≤?4∴m+n2∵m<n，∴Bm,p到對(duì)稱軸的距離大于C∴p<q．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、二次函數(shù)的最值問(wèn)題例3．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x(1)若拋物線經(jīng)過(guò)A?1,0，B(2)若點(diǎn)M2,yM，N3,y(3)當(dāng)?1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6，直接寫出m的值．【答案】(1)拋物線的解析式為y=(2)m(3)m的值為5+33或【分析】（1）將點(diǎn)A?1,0代入y=x2（2）將M2,yM，N3,y（3）先把拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分三種情況：①當(dāng)2m≥2，即m≥1時(shí)；②當(dāng)?1<2m<2，即?12<m<1時(shí)；③當(dāng)2m≤?1【詳解】（1）把A?1,0代入y=1+4m+m解得m=?1，∴拋物線的解析式為y=x（2）∵點(diǎn)M2,yM，N∴yM=m∵yM∴m2解得m>（3）∵y=x∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2m，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2m,?3m①當(dāng)2m≥2，即m≥1時(shí)，函數(shù)在x=2時(shí)取最小值6，∴4?8m+m解得m=5+33或m=5?3∴m=5+33②當(dāng)?1<2m<2，即?12<m<1時(shí)，函數(shù)在x=2m∴?3m方程無(wú)解，這種情況不存在；③當(dāng)2m≤?1，即m≤?12時(shí)，函數(shù)在∴1+4m+m解得m=?1+6（舍去）或m=?1?∴m=?1?6綜上所述，m的值為5+33或?1?【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四、二次函數(shù)與方程不等式的推理計(jì)算例4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c(1)當(dāng)a=?1時(shí)，①若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2，且過(guò)點(diǎn)1，②若該函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求證：b+4c≤1(2)已知該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)m，m，n，nm≠n．若b<0【答案】(1)①y=?x(2)a>【分析】（1）①根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式即可求出b的值，再將1，4代入該二次函數(shù)的解析式即可求出c的值，即得出該函數(shù)的表達(dá)式；②根據(jù)該函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即說(shuō)明其相關(guān)一元二次方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，再利用其根的判別式即得出Δ=b2（2）將m，m，n，n代入該二次函數(shù)解析式，得m=am2+bm+c，n=an2+bn+c，兩式相減并整理得m?n=am?nm+n+b【詳解】（1）解：①∵a=?1，∴該函數(shù)解析式為y=?x∵該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2，∴?b解得：b=4．∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)1，∴4=?1解得：c=1，∴該函數(shù)解析式為y=?x②∵該函數(shù)解析式為y=?x2+bx+c∴方程?x∴Δ=整理，得：b2+4c=0，即∴b+4c=b?b∵?b?∴b+4c≤1（2）解：∵該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)m，m，∴m=am2+bm+c∴m?n=a整理，得：m?n=am∴m?n=am?n∵m+n=3，∴m?n=3am?n又∵m≠n，∴3a+b=1，即b=1?3a．∵b<0，∴1?3a<0，解得：a>1【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，整式的加減，分解因式等知識(shí)．掌握二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足其解析式是解題關(guān)鍵．類型五、二次函數(shù)與公共點(diǎn)交點(diǎn)問(wèn)題例5．（2023·吉林長(zhǎng)春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)函數(shù)y=x2?2mx+m2(1)設(shè)m>0，當(dāng)G經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)，求此函數(shù)的表達(dá)式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)判斷圖象G與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．并說(shuō)明理由．(3)當(dāng)2m≤x≤m+3時(shí)，圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)之差為9，求m的取值范圍．(4)線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,2)、B(7,4)，當(dāng)圖象G與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)其分別為點(diǎn)C、點(diǎn)D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），直接寫出四邊形ACDB周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)m的值．【答案】(1)y=x2(2)兩個(gè)，理由見(jiàn)解析(3)?3≤m≤0(4)最小值為4+35+53【分析】（1）利用待定系數(shù)法和配方法解答即可；（2）令y=0，則x2（3）利用分類討論的思想方法分三種情形，利用函數(shù)的圖象的性質(zhì)分別求得二次函數(shù)的最大與最小值，依據(jù)題意列出等式解答即可；（4）利用勾股定理求得線段AB的長(zhǎng)，利用C，D的坐標(biāo)得到CD的長(zhǎng)，則當(dāng)AC+BD取得最小值時(shí)，四邊形ACDB的周長(zhǎng)最小，將點(diǎn)B向左平移四個(gè)單位得到B'(3,4)，作點(diǎn)B'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″(3,?4)，連接B″C，利用將軍飲馬模型即可求得AC+BD的最小值A(chǔ)B″；利用勾股定理計(jì)算得到AB″，則四邊形【詳解】（1）解：∵G經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)∴4?4m+m解得：m=0或4．∵m>0，∴m=4．∴此函數(shù)的表達(dá)式為y=x∵y=x∴此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,?4)；（2）圖象G與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為兩個(gè)，理由：令y=0，則x2∴Δ=4=16>0，∴方程x2即拋物線圖象G與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；（3）∵y=x∴拋物線的頂點(diǎn)為(m,?4)．①當(dāng)m<?3時(shí)，由于2m<m<m+3，則m?2m>m+3?m，∴當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)y取最小值?4，當(dāng)x=2m時(shí)，函數(shù)y取最大值為m2由題意得：m2解得：m=±3，均不符合題意，舍去；②當(dāng)?3≤m≤0時(shí)，則2m≤m≤m+3，且m?2m≤m+3?m，∴當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)y取最小值?4，當(dāng)x=m+3時(shí)，函數(shù)y取最大值為5，由題意得：5?(?4)=9，符合題意，∴當(dāng)?3≤m≤0時(shí)符合題意；③0<m<3時(shí)，m<2m<m+3，∴當(dāng)x=2m時(shí)，函數(shù)y取最小值m2?4，當(dāng)x=m+3時(shí)，函數(shù)由題意得：5?(m解得：m=0，不合題意，舍去，綜上，m的取值范圍為：?3≤m≤0；（4）令y=0，則x2解得：x=m+2或m?2，∵點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)，∴C(m?2,0)，D(m+2,0)．∴CD=(m+2)?(m?2)=4．如圖，AB=7當(dāng)四邊形ACDB的周長(zhǎng)最小時(shí)，即AC+BD最?。畬Ⅻc(diǎn)B向左平移四個(gè)單位得到B'則BB'=4∴CD=BB∴四邊形B'∴B∴BD+AC=AC+B作點(diǎn)B'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″(3,?4)，連接B由將軍飲馬模型可知：此時(shí)BD+AC=AC+B'C=AC+B″∴AB∴四邊形ACDB的周長(zhǎng)的最小值為：AB+CB+AB設(shè)直線AB″的解析式為∴n=23k+n=?4解得：k=?2n=2∴直線AB″的解析式為令y=0，則?2x+2=0，∴x=1，此時(shí)C(1,0)，∴m?2=1，∴m=3．∴四邊形ACDB周長(zhǎng)的最小值為4+35+53【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，一元二次方程的判別式，拋物線與x軸的交點(diǎn)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，函數(shù)的最值，勾股定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．類型六、二次函數(shù)的圖象問(wèn)題例6．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法．小愛(ài)同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)y=?x(1)觀察探究：①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：________；②方程?x③若方程?x?12(2)延伸思考．①將函數(shù)y=?x?12②觀察平移后的圖像，當(dāng)2≤y1≤3【答案】(1)①關(guān)于y軸對(duì)稱；②x1=?2(2)①見(jiàn)解析；②0≤x≤4【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)圖象可直接進(jìn)行作答；②由函數(shù)圖象及方程可得當(dāng)y=?1時(shí)，自變量x的值，則可看作直線y=?1與函數(shù)y=?x③由題意可看作直線y=a與函數(shù)y=?x（2）①由函數(shù)圖象平移可直接進(jìn)行求解；②結(jié)合函數(shù)圖象可求解x的范圍問(wèn)題．【詳解】（1）解：①由圖象可得：該函數(shù)的一條性質(zhì)為關(guān)于y軸對(duì)稱，（答案不唯一）；故答案為：關(guān)于y軸對(duì)稱；②由題意及圖象可看作直線y=?1與函數(shù)y=?x∴方程?x?12故答案為：x1③由題意可看作直線y=a與函數(shù)y=?x∴由圖象可得若方程?x?12=a有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則故答案為：?1<a<0；（2）解：①由題意得：將函數(shù)y=?x?12；②由圖象可得：當(dāng)2≤y1≤3時(shí)，自變量x故答案為：0≤x≤4．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．類型七、二次函數(shù)與新定義材料問(wèn)題例7．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖像的“等值點(diǎn)”，例如：點(diǎn)1,1是函數(shù)y=1(1)分別判斷函數(shù)y=x+1，y=x(2)設(shè)函數(shù)y=3xx>0，y=?x+b的圖像的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為3(3)若函數(shù)y=x2?2x≥m的圖像記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖像記為W2，當(dāng)W1【答案】(1)y=x+1不存在“等值點(diǎn)”，y=x2?x存在“等值點(diǎn)”，有兩個(gè)“等值點(diǎn)”(2)?23或(3)m<?98【分析】（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義進(jìn)行計(jì)算，即可；（2）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義可算出點(diǎn)A的坐標(biāo)，用含b的式子表示點(diǎn)B,C的坐標(biāo)，根據(jù)△ABC的面積為3即可求出b的值；（3）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義算出y=x2?2x≥m的等值點(diǎn)，再根據(jù)沿直線x=m翻折，進(jìn)行分類討論，①當(dāng)m<?1時(shí)；②當(dāng)m=?1時(shí)；③當(dāng)?1<m<2時(shí)；④當(dāng)【詳解】（1）解：在y=x+1中，令x=x+1，得0=1不成立，∴函數(shù)y=x+1的圖像上不存在“等值點(diǎn)”；在y=x2?x解得：x1=0，∴函數(shù)y=x2?x的圖像上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”0,0綜上所述，y=x+1不存在“等值點(diǎn)”，y=x2?x存在“等值點(diǎn)”，有兩個(gè)“等值點(diǎn)”0,0（2）解：在函數(shù)y=3xx>0中，令x=∴A3在函數(shù)y=?x+b中，令x=?x+b，解得：x=1∴B1∵BC⊥x軸，∴C1∴BC=1∵△ABC的面積為3，∴12當(dāng)<0時(shí)，b2?23當(dāng)0≤b<23時(shí)，b∵Δ=∴方程b2當(dāng)b≥23時(shí)，b2?2綜上所述，b的值為?23或4（3）解：令x=x2?2，解得：x∴函數(shù)y=x2?2的圖像上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”?1,?1①當(dāng)m<?1時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖像上必有2個(gè)“等值點(diǎn)”?1,?1或W1：y=x2?2x≥m令x=x?2m2?2∵W2∴Δ<0∴4m+12∴m<?9②當(dāng)m=?1時(shí)，有3個(gè)“等值點(diǎn)”?2,?2、?1,?1、2,2，③當(dāng)?1<m<2時(shí)，W1，W④當(dāng)m=2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖像上恰有1個(gè)“等值點(diǎn)”⑤當(dāng)m>2時(shí)，W1，W綜上所述，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖像上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，m<?9【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的綜合，理解定義新運(yùn)算的規(guī)則，掌握計(jì)算方法，結(jié)合一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．一．解答題（共24小題）1．（2023?鼓樓區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2+（a﹣2）x+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍為2≤y＜6；（3）已知點(diǎn)P（m﹣1，y1），點(diǎn)Q（m，y2）在該二次函數(shù)的圖象上若y1＞y2，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣2x+3；（2）2≤y＜6；（3）m的取值范圍為m＜3【分析】（1）把（2，3）代入解析式求出a即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)已知條件結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+（a﹣2）x+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），∴4+2（a﹣2）+3＝3，解得a＝0，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y的最小值為2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝（3﹣1）2+2＝6，∴0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍為2≤y＜6，故答案為：2≤y＜6；（3）∵點(diǎn)P（m﹣1，y1），點(diǎn)Q（m，y2）且y1＞y2，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴m?1+m2解得m＜3∴m的取值范圍為m＜3【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．2．（2023?西湖區(qū)模擬）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝2，求該函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時(shí)．y1＞y2，求a的取值范圍．【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；（2）拋物線的關(guān)系式為y＝﹣2（x+1）2；（3）a的取值范圍為a＜?【分析】（1）當(dāng)a＝2時(shí)，二次函數(shù)y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先判斷拋物線過(guò)點(diǎn)（0，﹣2），代入解析式即可求得a＝﹣2，從而求得拋物線的解析式；（3）分a＞0和a＜0兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的增減性和已知條件列出a的不等式便可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，二次函數(shù)y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6＝2（x+2）2﹣2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；（2）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0≠1，因此不過(guò)（﹣1，1）點(diǎn)，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不過(guò)（﹣2，3）點(diǎn)，故拋物線過(guò)點(diǎn)（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，解得a＝﹣2，∴拋物線的關(guān)系式為y＝﹣2（x+1）2；（3）∵二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），﹣2?2∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=?當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，∵當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時(shí)，y1＞y2，x2+3a+22a＜?∴2+3a+2解得a＜?當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，∵x1＜x2時(shí)，y1＞y2，∴x1≥?∵x1+x2＝2，x1＜x2，∴x1＜1，∴?3a+2∴a＜?【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法，關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出a的不等式．3．（2023?溫州一模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）．（1）求該函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出該函數(shù)的大致圖象．（2）P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．當(dāng)PD≤1時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣2，見(jiàn)解析；（2）2≤x【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象即可；（2）由（1）得，對(duì)稱軸為直線x＝1由P是該函數(shù)圖象一點(diǎn)，且在對(duì)稱軸右側(cè)，可知xP＞1，求出臨界情況，PD＝1，即當(dāng)y＝1時(shí)，當(dāng)y＝﹣1時(shí)，求出x的值，再結(jié)合圖象即可求得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍，【詳解】解：（1）把（3，2）代入y＝a（x﹣1）2﹣2，得2＝a（3﹣1）2﹣2，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣2，大致圖象如圖：（2）由（1）得，對(duì)稱軸為直線x＝1∵P是該函數(shù)圖象一點(diǎn)，且在對(duì)稱軸右側(cè)，∴xP＞1，當(dāng)y＝1時(shí)，（x﹣1）2﹣2＝1，解得x=1±3∴x=1+3當(dāng)y＝﹣1時(shí)，（x﹣1）2﹣2＝﹣1，解得x1＝0，x1＝2，∴x＝2，∴2≤x【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，能根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023?佳木斯一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，D是拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若S△BCD=3【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，C（1，4）；（2）D（1+132，1+132）或（【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)T（1，1），連接BC，BT．可得S△BCT=12×3×1=32，過(guò)點(diǎn)T作DT∥BC交拋物線于點(diǎn)D，D′，連接BD，CD，BD′CD′，則△BDC，△【詳解】解：（1）把A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得?1解得：b=2c=3∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，4）；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)T（1，1），連接BC，BT．∵B（0，3），C（1，4），T（1，1），∴CT＝3，∴S△BCT=12×3×過(guò)點(diǎn)T作DT∥BC交拋物線于點(diǎn)D，D′，連接BD，CD，BD′CD′，則△BDC，△BCD′滿足條件．∵直線BC的解析式為y＝x+3，∴可以計(jì)算直線DT的解析式為y＝x+b，把T（1，1）的坐標(biāo)代入y＝x+b中，可得b＝0，∴直線DT的解析式為y＝x，由y=xy=?x2+2x+3，解得∴D（1+132，1+132）或（【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．5．（2023?澗西區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，5），（2，﹣4）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且0＜x1＜1，2＜x2＜3．比較y1與y2的大小，并說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n+3，﹣3），若線段PQ與該函數(shù)圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，直接寫出n的取值范圍．【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）y1＞y2；（3）當(dāng)﹣2≤n＜0或1＜n≤3時(shí)，線段PQ與拋物線恰有一個(gè)交點(diǎn)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得；（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得結(jié)論；（3）由P（n，﹣3），Q（n+3，﹣3）可得PQ＝3，PQ∥x軸，再求出直線y＝﹣3與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離，結(jié)合圖象得出答案．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，5），（2，﹣4），∴a?b=54a+2b=?4∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x；（2）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，且a＝1＞0，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，∴1＜2﹣x1＜2，0＜x2﹣2＜1，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，值越大，∴y1＞y2；（3）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n+3，﹣3），∴PQ∥x軸，當(dāng)y＝﹣3時(shí)，即x2﹣4x＝﹣3，解得x1＝1，x2＝3，∴直線y＝﹣3與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（1，﹣3），（3，﹣3），∴這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為3﹣1＝2，∵PQ＝n+3﹣n＝3，由直線y＝﹣3與拋物線y＝x2﹣4x+3圖象可知，當(dāng)﹣2≤n＜0或1＜n≤3時(shí)，線段PQ與拋物線恰有一個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式的方法以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．6．（2023?青龍縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝kx+3與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的拋物線y＝ax2+bx交直線AB于點(diǎn)C（2，2）．（1）求該拋物線的解析式；（2）在直線AB上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S△PAO＝S△PBO，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=?14x2（2）存在；（4，2）．【分析】（1）先把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx+3求出的值，從而得到直線AB的解析式，再確定B坐標(biāo)為（6，0），然后利用待定系數(shù)法拋物線解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，?14t2+32t）（2＜t＜6），利用三角形面積公式得到12×3×t=12×6×（?【詳解】解：（1）把C（2，2）代入y＝kx+3得2k+3＝2，解得k=?∴直線AB的解析式為y=?1當(dāng)y＝0時(shí)，?12x+3＝0，解得∴B（6，0），把B（6，0），C（2，2）分別代入y＝ax2+bx得36a+6b=04a+2b=2解得a=?∴拋物線解析式為y=?14x2（2）存在．設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，?14t2+32當(dāng)x＝0時(shí)，y＝kx+3＝3，∴A（0，3），∵S△PAO＝S△PBO，∴12×3×t=12×6×（?整理得t2﹣4t＝0，解得t1＝0（舍棄），t2＝4，∴P（4，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．7．（2023?秦淮區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax．（1）二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1；（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值與最小值的差為8，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）若a＜0，對(duì)于二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)t≤x1≤t+1，x2≥3時(shí)，均滿足y1≥y2，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）1；（2）y＝2x2﹣4x或y＝﹣2x2+4x；（3）﹣1≤t≤2．【分析】（1）由對(duì)稱軸是直線x=?（2）分a＞0或a＜0兩種情況討論，求出y的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函數(shù)圖象的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）由題意可得：對(duì)稱軸是直線x=?故答案為：1；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，∵對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值為﹣a，當(dāng)x＝3時(shí)，y有最大值為3a，∴3a﹣（﹣a）＝8，∴a＝2，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝2x2﹣4x，當(dāng)a＜0時(shí)，同理可得y有最大值為﹣a，y有最小值為3a，∴﹣a﹣3a＝8，∴a＝﹣2，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣2x2+4x，綜上所述，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2﹣4x或y＝﹣2x2+4x；（3）∵a＜0，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，x＝﹣1和x＝3時(shí)的函數(shù)值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3時(shí)，均滿足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，利用分類思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．8．（2023?甌海區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式和圖象頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）若M（m，y1），N（n，y2）是該二次函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)．當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，m﹣n＝5，求點(diǎn)P到直線MN的距離．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，點(diǎn)P（1，﹣4）；（2）點(diǎn)P到直線MN的距離為254【分析】（1）應(yīng)用待定系數(shù)法，把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c中，解二元一次方程組，即可求出b，c的值，即可得出答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由y1＝y(tǒng)2時(shí)，可得點(diǎn)M，N關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱．由MN＝m﹣n＝5，可得M的橫坐標(biāo)為1+52，即可算出N的縱坐標(biāo)為y=(72)【詳解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c中，得1?解得b=?即y＝x2﹣2x﹣3，由a＝1，b＝﹣2．c＝﹣3，則p（?b2a，4ac?b24a點(diǎn)P（1，﹣4）．（2）當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，點(diǎn)M，N關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱．由MN＝m﹣n＝5，得M的橫坐標(biāo)為1+5∴N的縱坐標(biāo)為y=(∴點(diǎn)P到直線MN的距離為94【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023?泗洪縣一模）已知拋物線y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．（1）求這條拋物線的對(duì)稱軸；（2）若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求其函數(shù)的表達(dá)式；（3）設(shè)該拋物線上有兩點(diǎn)A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范圍．【答案】（1）直線x＝﹣1；（2）y=2x2+22x+2或y=?2x2﹣2（3）當(dāng)a＞0時(shí)，﹣5＜m＜3；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，m＜﹣5或m＞3．【分析】（1）先把一般式化為頂點(diǎn)式得到y(tǒng)＝a（x+1）2+2a2﹣4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；（2）由（1）得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2a2﹣4），則2a2﹣4＝0，然后解關(guān)于a的方程即可；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，由于y1＜y2，則點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離，即|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）；當(dāng)a＜0時(shí)，由于y1＜y2，則點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離，即|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），然后分別解不等式即可．【詳解】解：（1）∵y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝y(tǒng)＝ax2+2ax+a2+2a2﹣4＝a（x+1）2+2a2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1；（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2a2﹣4），∵該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，∴2a2﹣4＝0，解得a1=2，x2=即a的值為2或?2∴拋物線解析式為y=2x2+22x+2或y=?2x2﹣2（3）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，∵y1＜y2，∴|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1），解得﹣5＜m＜3；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，∵y1＜y2，∴|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），解得m＜﹣5或m＞3，綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，﹣5＜m＜3；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，m＜﹣5或m＞3．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．10．（2023?安徽模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，m）、（﹣1，n）．（1）小明判斷m，n滿足關(guān)系式：m﹣n＝2b，請(qǐng)判斷他的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由；（2）若m＝2，n＝0，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）當(dāng)a＜0，且滿足a+b＝0時(shí)，若該函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）滿足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范圍．【答案】（1）小明的說(shuō)法正確，理由見(jiàn)解析；（2）y＝﹣x2+x+2；（3）x2＜﹣2或x2＞3．【分析】（1）直接將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求解即可；（2）將值代入（1）中結(jié)論求解，然后將已知點(diǎn)代入函數(shù)即可；（3）求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷即可．【詳解】解：（1）小明的說(shuō)法正確，理由如下：將點(diǎn)（1，m）、（﹣1，n）分別代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+2得，a+b+2=m①①﹣②得m﹣n＝2b，所以小明的說(shuō)法正確；（2）由（1）得，b＝1，∴a＝﹣1，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2；（3）由a+b＝0得，b＝﹣a，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的對(duì)稱軸為直線x=?∵a＜0，∴當(dāng)x＜12時(shí)，y隨∵x1＝﹣2，y1＞y2，∴x2＜﹣2；當(dāng)x＞12時(shí)，y隨∵P（﹣2，y1）關(guān)于直線x=12的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（3，y∴x2＞3，綜上：x2＜﹣2或x2＞3．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將點(diǎn)直接代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解，而取值范圍可通過(guò)函數(shù)增減性判斷．11．（2023?平陽(yáng)縣一模）已知拋物線y＝x2+2cx+c．（1）若拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，3），求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，與x軸有交點(diǎn)．若點(diǎn)A（m，n），B（m﹣4，n）在拋物線上，求c的取值范圍及m的最大值．【答案】（1）y＝x2+6x+3，頂點(diǎn)為（﹣3，﹣6）．（2）c≥1，m的最大值為1．【分析】（1）將（0，3）代入解析式求出c的值，再將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．（2）由拋物線與x軸有交點(diǎn)及拋物線與y軸正半軸相交可得c的取值范圍，由二次函數(shù)解析式可得拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）將（0，3）代入y＝x2+2cx+c得c＝3，∴y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，∴拋物線的頂點(diǎn)為（﹣3，﹣6）．（2）將x＝0代入y＝x2+2cx+c得y＝c，∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），∴c＞0，∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，∴（2c）2﹣4c≥0，∴c≥1或c≤0（舍）．∵y＝x2+2cx+c，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=?2c∵點(diǎn)A（m，n），B（m﹣4，n）在拋物線上，∴m+m﹣4＝2m﹣4＝﹣2c，∵c≥1，∴﹣2c≤﹣2，∴2m﹣4≤﹣2，解得m≤1，∴m的最大值為1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．12．（2023?鹽田區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+a+1．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若a＝﹣2，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，求y的最大值和最小值；（3）若拋物線與直線y＝x+1始終有交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）（1，1）；（2）y的最大值是1，最小值為﹣7；（3）a≤14且a【分析】（1）化成頂點(diǎn)式，即可求解；（2）結(jié)合函數(shù)的增減性即可求得y的取值范圍；（3）根據(jù)題意令ax2﹣2ax+a+1＝x+1，即ax2﹣（2a+1）x+a＝0，則Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0，解不等式即可．【詳解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1＝a（x﹣1）2+1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；（2）若a＝﹣2，則拋物線為y＝﹣2（x﹣1）2+1，∴拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值1，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2（3﹣1）2+1＝﹣7，∴當(dāng)0≤x≤3時(shí)，求y的最大值是1，最小值為﹣7；（3）∵拋物線與直線y＝x+1始終有交點(diǎn)，∴令ax2﹣2ax+a+1＝x+1，即ax2﹣（2a+1）x+a＝0，∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0，解得a≤1故a的取值范圍為a≤14且a【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)與方程的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的根據(jù)．13．（2023?天門一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4ax﹣4（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）若a＝﹣1，當(dāng)t﹣1≤x≤t時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣4的最大值為﹣1，求t的值；（3）直線y＝x﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（m，﹣5），將點(diǎn)C向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C1，若拋物線與線段CC1只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）A（0，﹣4），B（2，0）；（2）1或4；（3）a=14或a＞13【分析】（1）根據(jù)題意即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)和對(duì)稱軸，再根據(jù)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B，即可寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)a＝﹣1，即可寫出解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)給出的最大值﹣1≠2，推出此范圍不包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后分當(dāng)t＜2和t﹣1＞2兩種情況進(jìn)行討論，即可求出t的值；（3）根據(jù)題意先寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)C、點(diǎn)C1的坐標(biāo)，當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)在線段CC1上時(shí)，符合只有一個(gè)交點(diǎn)的情況，此時(shí)可求出a=14，接著是當(dāng)頂點(diǎn)不在線段CC1上時(shí)，這是可分當(dāng)a＞0和a＜0兩種情況進(jìn)行討論，分別求出【詳解】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣4），由題意可得：對(duì)稱軸x=??4a2a=2，且對(duì)稱軸與∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）；（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，拋物線解析式為y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對(duì)稱軸x＝2∵2≠﹣1，∴此范圍不包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，①當(dāng)t＜2時(shí)，∵a＝﹣1＜0，圖象開(kāi)口向下，∴當(dāng)t﹣1≤x≤t時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝t時(shí)，y有最大值﹣1，即﹣（t﹣2）2＝﹣1，解得：t1＝1，t2＝3（舍）；②當(dāng)t﹣1＞2時(shí)，即t＞3時(shí)，∵a＝﹣1＜0，圖象開(kāi)口向下，∴當(dāng)t﹣1≤x≤t時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝t﹣1時(shí)，y有最大值﹣1，即﹣（t﹣1﹣2）2＝﹣1，解得：t3＝4，t4＝2（舍），綜上所述：t的值為1或4；（3）把點(diǎn)C（m，﹣5）代入y＝x﹣2可得：x＝﹣3，∴C（﹣3，﹣5），∵點(diǎn)C向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C1，∴C1（3，﹣5），則線段CC1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，﹣5），由（1）中可得，對(duì)稱軸x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a﹣8a﹣4＝﹣4a﹣4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣4a﹣4），①當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)在線段CC1上時(shí)，此時(shí)拋物線與線段CC1只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴﹣4a﹣4＝﹣5，解得：a=1②當(dāng)頂點(diǎn)不在線段CC1上時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，圖象且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4＞﹣5恒成立，∴拋物線圖象與線段MC沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)值y＝9a﹣12a﹣4＝﹣3a﹣4，∵拋物線與線段CC1只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴﹣3a﹣4＜﹣5，解得：a＞1當(dāng)a＜0時(shí)，且當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)值y＝﹣4＞﹣5恒成立，∴拋物線圖象與線段MC1沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，函數(shù)值y＝9a+12a﹣4＝21a﹣4，∵拋物線與線段CC1只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴21a﹣4≤﹣5，解得：a≤?綜上所述：a的取值范圍為a=14或a＞13【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵：一是確定頂點(diǎn)坐標(biāo)在不在所給的范圍內(nèi)，二是根據(jù)題意進(jìn)行分類討論．14．（2023?越秀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1＝﹣（x+4）（x﹣n）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（n，0）（n≥﹣4），頂點(diǎn)坐標(biāo)記為（h1，k1）．拋物線y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)記為（h2，k2）．（1）直接寫出k1，k2的值；（用含n的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)﹣4≤n≤4時(shí)，探究k1與k2的大小關(guān)系；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2n+9，﹣5n2）和點(diǎn)N（2n，9﹣5n2）的直線與拋物線y1＝﹣（x+4）（x﹣n）y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共點(diǎn)恰好為3個(gè)不同點(diǎn)時(shí)，求n的值．【答案】（1）k1=14n2+2n+4，k2＝﹣n2+2（2）當(dāng)﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4時(shí)，k1＞k2；當(dāng)﹣2＜n＜2時(shí)，k1＜k2；當(dāng)n＝2或n＝﹣2時(shí)，k1＝k2；（3）n的值為?1+465或【分析】（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（2）討論k1﹣k2=54n2﹣5與0比較大小得n的取值范圍，即在不同的取值范圍內(nèi)得k1、k（3）利用待定系數(shù)法求得直線MN的解析式．分三種情況討論，列出關(guān)于n的方程，結(jié)合根的判別式即可求得n的值．【詳解】解：（1）y1＝﹣（x+4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，∴k1=14n2+2∵y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9，∴k2＝﹣n2+2n+9；（2）k1﹣k2=54n2①當(dāng)54n2﹣5＞0時(shí)，可得n＞2或n＜﹣即當(dāng)﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4時(shí)，k1＞k2；②當(dāng)54n2﹣5＜0時(shí)，可得﹣2＜n即當(dāng)﹣2＜n＜2時(shí)，k1＜k2；③當(dāng)54n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣即當(dāng)n＝2或n＝﹣2時(shí)，k1＝k2；（3）設(shè)直線MN的解析式為：y＝kx+b，則(2n+9)k+b=?由①﹣②得，k＝﹣1，∴b＝﹣5n2+2n+9，直線MN的解析式為：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①如圖：當(dāng)直線MN經(jīng)過(guò)拋物線y1，y2的交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立拋物線y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n與y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，聯(lián)立直線y＝﹣x﹣5n2+2n+9與拋物線y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：x2+（4n﹣1）x＝0，則x1＝0，x2＝1﹣4n②，當(dāng)x1＝0時(shí)，把x1＝0代入y1得：y＝4n，把x1＝0，y＝4n代入直線的解析式得：4n＝﹣5n2+2n+9，∴5n2+2n﹣9＝0，∴n=?1±此時(shí)直線MN與拋物線y1，y2的公共點(diǎn)恰好為三個(gè)不同點(diǎn)，當(dāng)x2＝1﹣4n時(shí)，把x2＝1﹣4n代入①得：（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，該方程判別式Δ＜0，所以該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；②如圖：當(dāng)直線MN與拋物線y1或者與拋物線y2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線MN與拋物線y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立直線y＝﹣x﹣5n2+2n+9與拋物線y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，此時(shí)Δ＝0，即（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝0，∴21n2+2n﹣27＝0，∴n=?1±2由①而知直線MN與拋物線y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝0，x2＝1﹣4n，當(dāng)n=?1±214221時(shí)，1﹣4∴x1≠x2，所以此時(shí)直線MN與拋物線y1，y2的公共點(diǎn)恰好為三個(gè)不同點(diǎn)，③如圖：當(dāng)直線MN與拋物線y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵x1＝0，x2＝1﹣4n，∴n=1聯(lián)立直線y＝﹣x﹣5n2+2n+9與拋物線y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，Δ＝（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝21n2+2n﹣27，當(dāng)n=14時(shí)，此時(shí)直線MN與拋物線y1，y2的公共點(diǎn)只有一個(gè)，∴n≠1綜上所述：n的值為?1+465或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解本題的關(guān)鍵掌握二次函數(shù)的性質(zhì)頂點(diǎn)坐標(biāo)和一元二次方程的解．15．（2023?溫江區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）和直線y＝﹣x+4．（1）拋物線的對(duì)稱軸是x＝1；拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，3）；（2）設(shè)該拋物線與直線y＝﹣x+4的一個(gè)交點(diǎn)為A，其橫坐標(biāo)為m，若0≤m＜12，求（3）我們規(guī)定若函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)P（s，t），滿足s+t＝1，則稱點(diǎn)P為函數(shù)圖象上“圓滿點(diǎn)”．例如：直線y＝2x﹣1上存在的“圓滿點(diǎn)”P(23，13)，若拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）上存在唯一的“圓滿點(diǎn)【答案】（1）x＝1；（1，3）；（2）1≤a＜2；（3）△OPM的面積為212【分析】（1）用配方法把解析式化為頂點(diǎn)式，可以得出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出a的取值范圍；（3）根據(jù)點(diǎn)P（s，t），滿足s+t＝1得出點(diǎn)P是拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3與直線y＝﹣x+1的交點(diǎn)，先根據(jù)Δ＝0求出a的值，再求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線PM的解析式，再求出E的坐標(biāo)，然后求出△OPM的面積．【詳解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+3＝a（x2﹣2x+1）+3＝a（x﹣1）2+3，∴對(duì)稱軸為直線x＝1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），故答案為：x＝1；（1，3）；（2）對(duì)于拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3，當(dāng)x=12時(shí)，y=14a﹣a+a當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a+3；對(duì)于直線y＝﹣x+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，當(dāng)x=12時(shí)，y=?∵0≤m＜1∴14解得1≤a＜2；（3）∵P（s，t），滿足s+t＝1，即t＝﹣s+1，∴P滿足y＝﹣x+1的關(guān)系式，則ax2﹣2ax+a+3＝﹣x+1，即ax2+（1﹣2a）x+a+2＝0，∵Δ＝（1﹣2a）2﹣4a（a+2）＝0，解得a=1∴112x2+56解得x1＝x2＝﹣5，則P坐標(biāo)為（﹣5，6），設(shè)直線PM的解析式為y＝kx+b，則k+b=3?5k+b=6解得k=?∴直線PM的解析式為y=?12如圖所示：令x＝0，y=7則E（0，72∴S△OMP＝S△OEP+S△OEM=12?OE?|xP|+12?OE?=12×=21【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線與拋物線的交點(diǎn)，三角形面積有關(guān)的問(wèn)題．16．（2023?來(lái)安縣一模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b為常數(shù)）．（1）若a＝1，該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，3），求b；（2）若a＝b﹣2．①若（﹣1，m）和（3，n）是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，比較m和n的大?。虎谠O(shè)一次函數(shù)y2＝﹣x+2b，當(dāng)函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（c，0）時(shí)，探索b與c之間的數(shù)量關(guān)系，并加以推理．【答案】（1）b＝﹣2；（2）①m＞n；②c+2b﹣5＝0或c﹣2b＝0，見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2b+4，0），（2b，0），從而求出該拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先求出y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），然后把（c，0）代入，得出關(guān)于b，c等式即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，y1＝（x+2）（x﹣2b），代入點(diǎn)（﹣1，3），得3＝（﹣1+2）（﹣1﹣2b），解得b＝﹣2；（2）①當(dāng)a＝b﹣2時(shí)，則y1＝（x+2b﹣4）（x﹣2b），∴該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2b+4，0），（2b，0），∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1又∵該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴m＞n；②由題意可知y＝y(tǒng)1+y2＝（x+2a）（x﹣2b）﹣x+2b＝（x+2a﹣1）（x﹣2b），又a＝b﹣2，∴y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（c，0），∴（c+2b﹣5）（c﹣2b）＝0，∴c+2b﹣5＝0或c﹣2b＝0．（也可以寫成2b+c＝5或2b﹣c＝0．也可以寫成c＝5﹣2b或c＝2b）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵．17．（2023?秦皇島一模）已知y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x＝1，關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（1）求拋物線的解析式；（2）若B點(diǎn)在直線x＝1的左側(cè)，C點(diǎn)在直線x＝1的右側(cè)，且y1＞y2，求n的取值范圍；（3）若n＜﹣5，試比較y1與y2的大?。敬鸢浮浚?）y=?12x2（2）0＜n＜5（3）y1＞y2．【分析】（1）由題意可得0＝4a+2b+c①，?b2a=1②，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，聯(lián)立方程組可求a，b（2）根據(jù)題意列出不等式組可求解；（3）由n＜﹣5，可得點(diǎn)B，點(diǎn)C在對(duì)稱軸直線x＝1的左側(cè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（2，0），∴0＝4a+2b+c①，∵對(duì)稱軸是直線x＝1，∴?b2a=∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，由①②③可得：a=?∴拋物線的解析式為y=?12x2（2）若點(diǎn)B在對(duì)稱軸直線x＝1的左側(cè)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸直線x＝1的右側(cè)時(shí)，由題意可得3n?∴0＜n＜5（3）∵n＜﹣5，∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19，∴點(diǎn)B，點(diǎn)C在對(duì)稱軸直線x＝1的左側(cè)，∵拋物線y=?12x2∴?1即y隨x的增大而增大，∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，∴3n﹣4＞5n+6，∴y1＞y2．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023?南山區(qū)一模）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，以下是我們研究函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中m及表格中a，b的值；m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集為x＜0或x＞4．．【答案】（1）﹣2，3，4；（2）見(jiàn)解析；（3）x＜0或x＞4．【分析】（1）將表格中的已知數(shù)據(jù)任意選擇一組代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；（2）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)描點(diǎn)、連線即可；（3）結(jié)合函數(shù)圖象與不等式之間的聯(lián)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【詳解】解：（1）由表格可知，點(diǎn)（3，1）在該函數(shù)圖象上，∴將點(diǎn)（3，1）代入函數(shù)解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函數(shù)的解析式為：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案為：﹣2，3，4；（2）通過(guò)列表—描點(diǎn)—連線的方法作圖，如圖所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，實(shí)際上求出函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m的圖象位于函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8圖象上方的自變量的范圍，∴由圖象可知，當(dāng)x＜0或x＞4時(shí)，滿足條件，故答案為：x＜0或x＞4．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象探究問(wèn)題，掌握研究函數(shù)的基本方法與思路，熟悉函數(shù)與不等式或者方程之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．19．（2023?南山區(qū)模擬）已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與二次函數(shù)y=12(x+2)2?2的圖象相交于點(diǎn)A（1，m）、（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式kx+b＜1（3）方程12(x+2)2?2?n=0在﹣3≤（4）把二次函數(shù)y=12(x+2)2?2的圖象左右平移得到拋物線G：y=1【答案】（1）一次函數(shù)的表達(dá)式為y=32（2）x＜﹣2或x＞1；（3）n的取值范圍是?32＜n≤52（4）m=?3312或﹣2＜【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的表達(dá)式即可；（2）根據(jù)圖象直接得出不等式的解集即可；（3）求得x＝﹣3時(shí)的函數(shù)值，結(jié)合A、B的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得n的取值；（4）分三種情況求出m的值，再結(jié)合圖象求m的取值范圍．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y=12（x+2）2﹣2的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，m），B（﹣2，∴m=12×（1+2）2﹣2=52，n=12×∴A（1，52），B（﹣2，﹣∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)，∴k+b=5解得k=∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=32描點(diǎn)作圖如下：（2）由（1）中的圖象可得，不等式kx+b＜12（x+2）2﹣2的解集為：x＜﹣2或（3）把x＝﹣3代入y=12（x+2）2﹣2得y∵A（1，52），B（﹣2，﹣由圖象可知，當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)，直線y=12（x+2）2﹣2與直線y＝n只有一個(gè)交點(diǎn)，則n的取值范圍是?32＜n≤（4）①當(dāng)y=12(x?m即12（1﹣m）2﹣2=解得m＝4或m＝﹣2，當(dāng)m＝﹣2時(shí)，拋物線與元二次函數(shù)重合，與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，故舍去，∴m＝4；②當(dāng)y=12(x?m即12（﹣2﹣m）2﹣2＝﹣解得m1＝m2＝﹣2（舍去）；③當(dāng)y=12(x?m令y=12整理得：x2﹣（2m+3）x+m2﹣6＝0，則Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2﹣6）＝4m2+12m+9﹣4m2+24＝12m+33＝0，解得：m=?綜上，m=?3312或﹣2＜【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式（組），待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．20．（2023?深圳一模）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，以下是我們研究函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中m及表格中a，b的值；m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）已知函數(shù)y=16x的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞16x的解集為x【答案】（1）﹣2，3，4；（2）見(jiàn)解析；（3）x＜0或x＞4．【分析】（1）將表格中的已知數(shù)據(jù)任意選擇一組代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；（2）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)描點(diǎn)、連線即可；（3）結(jié)合函數(shù)圖象與不等式之間的聯(lián)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【詳解】解：（1）由表格可知，點(diǎn)（3，1）在該函數(shù)圖象上，∴將點(diǎn)（3，1）代入函數(shù)解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函數(shù)的解析式為：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案為：﹣2，3，4；（2）通過(guò)列表—描點(diǎn)—連線的方法作圖，如圖所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞16實(shí)際上求出函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m的圖象位于函數(shù)y=16∴由圖象可知，當(dāng)x＜0或x＞4時(shí)，滿足條件，故答案為：x＜0或x＞4．【點(diǎn)睛】本題考查新函數(shù)圖象探究問(wèn)題，掌握研究函數(shù)的基本方法與思路，熟悉函數(shù)與不等式或者方程之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．21．（2023?信陽(yáng)模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x＝m，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于m的部分關(guān)于直線x＝m的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為y=x+1(x≥0)?x+1(x＜0)，也可以寫成y＝|（1）在圖③中畫出函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，求m的值．（3）已知拋物線y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4時(shí)，均滿足y1≥y2，直接寫出t的取值范圍﹣3≤t≤3．【答案】（1）見(jiàn)解答圖形；（2）m的值為4或74（3）﹣3≤t≤3．【分析】（1）根據(jù)“鏡面函數(shù)”的定義畫出函數(shù)y＝﹣2x+1的“鏡面函數(shù)”的圖象即可；（2）分直線y＝﹣x+m過(guò)“鏡面函數(shù)”圖象與直線x＝﹣1的交點(diǎn)和與原拋物線相切兩種情況求解即可；（3）根據(jù)題意可作出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于t的不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，即為函數(shù)函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象，（2）如圖，對(duì)于y＝x2﹣2x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴函數(shù)y＝x2﹣2x+2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），當(dāng)直線y＝﹣x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，5）時(shí)，m＝4；此時(shí)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線y＝﹣x+m與原拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，此時(shí)，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，解得，m=7y＝0時(shí)，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＞0，綜上，m的值為4或74（3）根據(jù)題意可知，該拋物線的“鏡面函數(shù)”為：y=a(x?2函數(shù)圖象如圖所示：當(dāng)x2＝4時(shí)，如圖，點(diǎn)Q關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)為Q′（0，y2），關(guān)于x＝0的對(duì)稱點(diǎn)為Q′′（﹣4，y2），若當(dāng)t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4時(shí)，均滿足y1≥y2，則需滿足t?解得﹣3≤t≤3．故答案為：﹣3≤t≤3．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義“鏡面函數(shù)”，能夠?qū)D象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．22．（2023?義烏市校級(jí)模擬）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（13，13）是函數(shù)y＝x圖象的“12階方點(diǎn)”；點(diǎn)（2，1）是函數(shù)y=2x（1）在①（﹣2，?12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)y=1x圖象的“1階方點(diǎn)”的有（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；（3）若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．【答案】（1）②③；（2）3或﹣1；（3）14≤n【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，結(jié)合圖象求a的值即可；（3）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【詳解】解：（1）①（﹣2，?12）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是2，∵2＞1，12∴（﹣2，?12）不是反比例函數(shù)y=1x圖象的②（﹣1，﹣1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1，1，∵≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函數(shù)y=1x圖象的“1階方點(diǎn)③（1，1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1，1∵1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函數(shù)y=1x圖象的“1階方點(diǎn)故答案為：②③；（2）∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，∴函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），如圖1，在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，a＝﹣1，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，a＝3，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，綜上所述：a的值為3或﹣1；（3）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，如圖2，當(dāng)n＞0時(shí)，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，n＝1；當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，n＝﹣1（舍）或n=1∴14≤n≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象有“n階方點(diǎn)綜上所述：當(dāng)14≤n≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義問(wèn)題，主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．23．（2022?婺城區(qū)模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸的