中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題（解析版）

壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題解決函數(shù)與圓的綜合問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)函數(shù)與圓的結(jié)合點(diǎn)，弄清題目的本質(zhì)，利用圓的基本性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程思想、全等與相似，以便找到對應(yīng)的解題途徑.常見的考法有：直線與圓的位置關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中的直線與圓的位置關(guān)系問題關(guān)鍵是圓心到直線的距離等于半徑的大小，常用的方法有：利用圓心到直線的距離等于半徑的大小這一數(shù)量關(guān)系列出關(guān)系式解決問題利用勾股定理解決問題利用相似列出比例式解決問題2.函數(shù)與圓的新定義題目：利用已掌握的知識和方法理解新定義，化生為熟3.函數(shù)與圓的性質(zhì)綜合類問題：利用幾何性質(zhì)，結(jié)合圖形，找到問題中的“不變”關(guān)鍵因素和“臨界位置”.考向一、二次函數(shù)與圓的胡不歸最值問題例1．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（2，﹣3），且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．如果不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)P為⊙O上的動點(diǎn)，且⊙O的半徑為22，求1【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出答案；（2）分三種情況：①當(dāng)AM＝BM，時，點(diǎn)P與F重合；②當(dāng)AB＝AM＝42時，M在x上方和下方兩種情況；③當(dāng)AB＝BM＝42時，由等腰三角形“三線合一”即可求出；（3）如圖2，以O(shè)為圓心，22為半徑作圓，則點(diǎn)P在圓周上，在OA上取點(diǎn)D，使OD=2，連接PD，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△APO∽△PDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到POOD=AOPO=PDAP=2，從而得：PD=12AP，當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時，PD+PB取得最小值，過點(diǎn)D作【解答】解：（1）由題意64+8b+c=04a+2b+c=?3解得：a=1∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=14x2﹣2（2）過點(diǎn)A作直線AF⊥x軸于點(diǎn)F，由（1）得y=14（x﹣4）2∴拋物線的頂點(diǎn)A（4，﹣4），①AM＝BM，∵B（8，0），∴BF＝4，∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∴M在點(diǎn)F處，△ABM是等腰直角三角形，此時M為（4，0），②AB＝AM，由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，∴AB=BF2∴M為（4，﹣4﹣42）或（4，﹣4+42），③AB＝BM，∵AB＝BM，BF⊥AM，∴MF＝AF，∴M為（4，4），綜上所述，M為（4，0），（4，﹣4﹣42）或（4，﹣4+42）或（4，4）；（3）如圖2，以O(shè)為圓心，22為半徑作圓，則點(diǎn)P在OA上取點(diǎn)D，使OD=2，連接PD則在△APO和△PDO中，滿足：POOD=AOPO=2，∠∴△APO∽△PDO，∴POOD從而得：PD=12∴12AP+PB＝PD+PB∴當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時，PD+PB取得最小值，過點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)G，由于OD=2，且△ABO則有DG＝1，∠DOG＝45°，∴12AP+PB的最小值為：12AP+PB＝DB=D【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，配方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．考向二、二次函數(shù)與圓性質(zhì)綜合問題例2．如圖1，已知圓O的圓心為原點(diǎn)，半徑為2，與坐標(biāo)軸交于A，C，D，E四點(diǎn)，B為OD中點(diǎn)．（1）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式；（2）如圖2，連接BC，AC．點(diǎn)P在第一象限且為圓O上一動點(diǎn)，連接BP，交AC于點(diǎn)M，交OC于點(diǎn)N，當(dāng)MC2＝MN?MB時，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖3，若拋物線與圓O的另外兩個交點(diǎn)分別為H，F(xiàn)，請判斷四邊形CFEH的形狀，并說明理由．【分析】（1）先根據(jù)圓的性質(zhì)得出A（2，0），C（0，2），D（﹣2，0），E（0，﹣2），設(shè)y＝a（x+1）（x﹣2），將C（0，2）代入，即可求得拋物線解析式．（2）如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥BP于H，根據(jù)MC2＝MN?MB，∠CMN＝∠BMC，可得△MCN∽△MBC，進(jìn)而可求得CH＝BH=102，再利用三角函數(shù)求得CM=524，AM=324，過點(diǎn)（3）設(shè)拋物線與⊙O的交點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t2+t+2），根據(jù)⊙O的半徑為2，可得方程（t﹣0）2+（﹣t2+t+2﹣0）2＝22，即可得出H（2，2），F(xiàn)（?2，?2），進(jìn)而得出H、F關(guān)于點(diǎn)O對稱，故FH＝CE＝4，且OC＝OE＝OF＝OH，即可判斷四邊形【解答】解：（1）如圖1，∵圓O的圓心為原點(diǎn)，半徑為2，與坐標(biāo)軸交于A，C，D，E四點(diǎn)，∴A（2，0），C（0，2），D（﹣2，0），E（0，﹣2），∵B為OD中點(diǎn)，∴B（﹣1，0），∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），∴設(shè)y＝a（x+1）（x﹣2），將C（0，2）代入，得：2＝a（0+1）（0﹣2），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2.（2）如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥BP于H，∵OB＝1，OC＝2，OA＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°，∴BC=5，AC＝22∵M(jìn)C2＝MN?MB，∴MCMN∵∠CMN＝∠BMC，∴△MCN∽△MBC，∴∠MCN＝∠MBC，∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，∴∠MCN＝45°，∴∠MBC＝45°，∵∠BHC＝90°，∴CH＝BH＝BC?cos∠MBC=5?cos45°=∵∠BCH＝∠MBC＝45°，∴∠BCO+∠HCN＝∠MCH+∠HCN，∴∠BCO＝∠MCH，∴cos∠BCO＝cos∠MCH，∴OCBC=CH∴CM=5∴AM＝AC﹣CM＝22?過點(diǎn)M作MG⊥OA于G，則∠AGM＝90°，∵∠MAG＝45°，∴AG＝MG＝AM?sin∠MAG=324×∴OG＝OA﹣AG＝2?3∴M（54，3（3）四邊形CFEH是矩形．理由如下：設(shè)拋物線與⊙O的交點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t2+t+2），∵⊙O的半徑為2，∴（t﹣0）2+（﹣t2+t+2﹣0）2＝22，化簡，得：t4﹣2t3﹣2t2+4t＝0，∵t≠0，∴t3﹣2t2﹣2t+4＝0，∴（t﹣2）（t2﹣2）＝0，解得：t1＝2（舍去），t2=2，t3=?∴H（2，2），F(xiàn)（?2，?∴H、F關(guān)于點(diǎn)O對稱，∴FH＝CE＝4，且OC＝OE＝OF＝OH，∴四邊形CFEH是矩形．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)圖象與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，矩形的判定定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等，綜合性強(qiáng)難度較大，屬于中考壓軸題．考向三、二次函數(shù)與圓的位置關(guān)系問題例3．二次函數(shù)y=34x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，﹣（1）求b，c的值；（2）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過該二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓．問：在該二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心，5610為半徑作⊙Q，使⊙Q是二次函數(shù)y=3（3）如圖所示，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP∥y軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)P，以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時，求出CMMB【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，﹣3）代入y=34x2+bx+c即可求得b，（2）先求出B的坐標(biāo)，再計(jì)算A、B、C的外接圓半徑，即可作出判斷；（3）⊙M與坐標(biāo)軸相切，有兩種情況，①當(dāng)⊙M與y軸相切時，②當(dāng)⊙M與x軸相切時，根據(jù)切線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，﹣3）代入y=34x2+bx+得：0=34?b+c∴b=?94，c＝（2）存在，理由如下：如圖所示，由（1）可知二次函數(shù)的解析式為：y=34x解得：x1＝﹣1，x2＝4，所以點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0），∵點(diǎn)C（0，﹣3），∴AB＝BC＝5，∴△ABC是等腰三角形，根據(jù)坐標(biāo)圓的定義，⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，∴圓心Q為AB的垂直平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn)．∵AB的垂直平分線即為二次函數(shù)的對稱軸x=3∵點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，﹣3），∴AC的中點(diǎn)F的坐標(biāo)為(?1∴AC垂直平分線BF的解析式為y=1∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（32，?在Rt△QNB中，QB=Q所以存在符合題意的坐標(biāo)圓，其圓心Q的坐標(biāo)為（32，?（3）設(shè)BC直線的解析式為：y＝kx+b，把B（4，0）、C（0，3）的坐標(biāo)代入y＝kx+b得：0=4k+bb=?3解得：b=3∴BC直線的解析式為：y=3⊙M與坐標(biāo)軸相切，有兩種情況，①當(dāng)⊙M與y軸相切時，如圖所示：過點(diǎn)M作MD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，則點(diǎn)D為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝DM＝x，設(shè)P(x，34x2則PM＝（34x?3）﹣（∴（34x?3）﹣（34x2?94x?3）＝當(dāng)x＝0時，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，不合題意舍去；∴⊙M的半徑為DM=8∴M（83，﹣∵M(jìn)D⊥y軸，∴MD∥x軸，∴△CDM∽△COB，∴DMOB=CM∴CM=10∴MB=5?10∴CMMB②當(dāng)⊙M與x軸相切時，如圖所示：延長PM交x軸于點(diǎn)E，由題意可知：點(diǎn)E為⊙M與x軸的切點(diǎn)，所以PM＝ME，設(shè)P(x，34x2則PM＝（34x?3）﹣（34x2∴（34x?3）﹣（34x解得：x1＝1，x2＝4，當(dāng)x＝4時，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，所以不合題意舍去，∴⊙M的半徑為：PM＝ME=?34+∴M（1，94∵PM∥y軸，∴CMCB=OE∴CM=5∴MB=5?5∴CMMB綜上所述，CMMB值是2或1【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)與圓的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識以及方程的思想，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．考向四、二次函數(shù)與圓的新定義問題例4．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”．如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．（1）求“蛋圓”拋物線部分的解析式及“蛋圓”的弦CD的長；（2）已知點(diǎn)E是“蛋圓”上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)F，若點(diǎn)F也在“蛋圓”上，求點(diǎn)E坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是“蛋圓”外一點(diǎn)，滿足∠BPC＝60°，當(dāng)BP最大時，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用交點(diǎn)式將已知點(diǎn)代入求出函數(shù)解析式即可；證明△ACO∽△CBO，得出OCOA（2）假設(shè)點(diǎn)E在x軸上方的“蛋圓”上，EF與x軸交于點(diǎn)H，連接EM．由HM2+EH2＝EM2，點(diǎn)F在二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上，可得方程組，以及對稱性求解．（3）根據(jù)∠BPC＝60°保持不變，點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動和直徑是最大的弦進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）∵半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．∴A（﹣1，0），B（3，0），設(shè)拋物線為y＝a（x+1）（x﹣3），∵拋物線過D（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），解得a＝1，y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3）；連接AC，BC，∵AB為半圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CO⊥AB，∴∠ACO+∠OCB＝∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠ACO＝∠OBC，∴△ACO∽△CBO，∴OCOA∴CO2＝AO?BO＝3，∴CO=3∴CD＝CO+OD＝3+3（2）假設(shè)點(diǎn)E在x軸上方的“蛋圓”上，設(shè)E（m，n），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣n）．EF與x軸交于點(diǎn)H，連接EM．∴HM2+EH2＝EM2，∴（m﹣1）2+n2＝4，…①；∵點(diǎn)F在二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上，∴m2﹣2m﹣3＝﹣n，…②；解由①②組成的方程組得：m=1+3n=1；m=1?3由對稱性可得：m=1+3n=?1；∴E1（1+3，1），E2（1?3，1），E3（3）如圖4，∵∠BPC＝60°保持不變，因此點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動．此圓是以K為圓心（K在BC的垂直平分線上，且∠BKC＝120°），BK為半徑．當(dāng)BP為直徑時，BP最大．在Rt△PCR中可求得PR＝1，RC=3所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，23）．【點(diǎn)評】本題考查的是圓與二次函數(shù)知識的綜合運(yùn)用，正確理解“蛋圓”的概念、掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時，注意輔助線的作法要正確．1．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖甲，連接AC，PA，PC，若S△PAC=152，求點(diǎn)（3）如圖乙，過A，B，P三點(diǎn)作⊙M，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動過程中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長．【分析】（1）由二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，可得二次函數(shù)的解析式為y=12（x（2）根據(jù)S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，構(gòu)建方程即可解決問題．（3）結(jié)論：點(diǎn)P在運(yùn)動過程中線段DE的長是定值，DE＝2．根據(jù)AM＝MP，根據(jù)方程求出t，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)即可解決問題．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），∴二次函數(shù)的解析式為y=12（x+2）（x即y=12x2﹣x（2）如圖甲中，連接OP．設(shè)P（m，12m2﹣m﹣由題意，A（﹣2，0），C（0，﹣4），∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，∴152=12×2×4+12×4×m?1整理得，m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或﹣5（舍棄），∴P（3，?5（3）結(jié)論：點(diǎn)P在運(yùn)動過程中線段DE的長是定值，DE＝2．理由：如圖乙中，連接AM，PM，EM，設(shè)M（1，t），P[m，12（m+2）（m﹣4）]，E（m，n由題意A（﹣2，0），AM＝PM，∴32+t2＝（m﹣1）2+[12（m+2）（m﹣4）﹣t]2解得t＝1+14（m+2）（m∵M(jìn)E＝PM，PE⊥AB，∴t=n+∴n＝2t?12（m+2）（m﹣4）＝2[1+14（m+2）（m﹣4）]?12∴DE＝2，另解：∵PD?DE＝AD?DB，∴DE=AD?DB∴點(diǎn)P在運(yùn)動過程中線段DE的長是定值，DE＝2．【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了三角形的面積，三角形的外接圓，三角形的外心等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．2．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（0，2），且經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓的半徑r=2，OC⊥AB于點(diǎn)C（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）求證：直線AB與⊙O相切．（3）已知P為拋物線上一動點(diǎn)，線段PO交⊙O于點(diǎn)M．當(dāng)以M，O，A，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求PM的長．【分析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+2，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可求出a的值，即可得出拋物線解析式；（2）根據(jù)切線的判定，證明OC是⊙O的半徑即可；（3）由題意知，AC是以M，O，A，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，利用平行四邊形對邊平行的性質(zhì)，可得出直線OM的解析式，直線OM與拋物線的交點(diǎn)為P，即可求出PM的長．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（0，2），∴可設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+2，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（2，0），∴4a+2＝0，解得：a=?1∴拋物線的解析式為：y=?12x（2）證明：∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，∴AB＝22，∵OC⊥AB，∴12?OA?OB=12?AB∴12×2×2=12×解得：OC=2∵⊙O的半徑r=2∴OC是⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相切；（3）∵點(diǎn)P在拋物線y=?12x∴可設(shè)P（x，?12x以M，O，A，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，可得：AC＝OM=2，CM＝OA∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴C（1，1），M（1，﹣1），設(shè)直線OM的解析式為y＝kx，將點(diǎn)M（1，﹣1）代入，得：k＝﹣1，∴直線OM的解析式為y＝﹣x，∵點(diǎn)P在OM上，∴?12x2+2＝﹣解得：x1＝1+5，x2＝1?∴y1＝﹣1?5，y2＝﹣1+∴P1（1+5，﹣1?5），P2（1?5，﹣如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于P1位置時，OP1=(1+5)2+(?1?∴P1M＝OP1﹣OM=2當(dāng)點(diǎn)P位于P2位置時，同理可得：OP2=10∴P2M＝OP2﹣OM=10?2綜上所述，PM的長是10或10?22【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積，平行四邊形性質(zhì)，圓的切線的判定，二次函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用等知識，熟練掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)等相關(guān)知識，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想是解題關(guān)鍵．3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點(diǎn)E．試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式，再運(yùn)用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，將點(diǎn)C沿y軸向下平移1個單位得C′（0，2），連接BC′交拋物線對稱軸x＝1于點(diǎn)Q′，過點(diǎn)C作CP′∥BC′，交對稱軸于點(diǎn)P′，連接AQ′，此時，C′、Q′、B三點(diǎn)共線，BQ′+C′Q′的值最小，運(yùn)用勾股定理即可求出答案；（3）如圖2，連接BE，設(shè)D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠DAF＝∠BEF，進(jìn)而證明△AFD∽△EFB，利用EFBF【解答】解：（1）根據(jù)表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴該拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4）；（2）如圖1，將點(diǎn)C沿y軸向下平移1個單位得C′（0，2），連接BC′交拋物線對稱軸x＝1于點(diǎn)Q′，過點(diǎn)C作CP′∥BC′，交對稱軸于點(diǎn)P′，連接AQ′，∵A、B關(guān)于直線x＝1對稱，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四邊形CC′Q′P′是平行四邊形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′=OC∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′=13此時，C′、Q′、B三點(diǎn)共線，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值為13+（3）線段EF的長為定值1.如圖2，連接BE，設(shè)D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x軸，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴EFBF∴EFt?3∴EF=(t+1)(t?3)∴線段EF的長為定值1．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，配方法，軸對稱的應(yīng)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，屬于中考數(shù)學(xué)壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度大；第（2）小題難度不小，解決該問時，利用軸對稱加平移找出AQ+QP+PC最小時點(diǎn)P、Q的位置是解題關(guān)鍵．第（3）小題運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得出△AFD∽△EFB是解題關(guān)鍵．4．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（2，﹣3），且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)B（8，0）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；（3）判斷△ABO的形狀，試說明理由；（4）若點(diǎn)P為⊙O上的動點(diǎn)，且⊙O的半徑為22，一動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段AP勻速運(yùn)動到點(diǎn)P，再以每秒1個單位長度的速度沿線段PB勻速運(yùn)動到點(diǎn)B后停止運(yùn)動，求點(diǎn)E的運(yùn)動時間t的最小值．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出答案；（2）運(yùn)用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（3）方法1：如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥OB于點(diǎn)F，則F（4，0），得出△AFO、△AFB均為等腰直角三角形，即可得出答案，方法2：由△ABO的三個頂點(diǎn)分別是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），運(yùn)用勾股定理及逆定理即可得出答案；（4）以O(shè)為圓心，22為半徑作圓，則點(diǎn)P在圓周上，根據(jù)t=12AP+PB＝PD+PB，可知當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時，PD+PB取得最小值，過點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)G，由t＝DB【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過C（2，﹣3），且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)B（8，0），∴c＝0，二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：y＝ax2+bx（a≠0），將C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：4a+2b=?364a+8b=0解得：a=1∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=1（2）∵y=14x2?2x=14∴拋物線的頂點(diǎn)A（4，﹣4），設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+m，將A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：4k+m=?48k+m=0解得：k=1m=?8∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥OB于點(diǎn)F，則F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB均為等腰直角三角形，∴OA＝AB＝42，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三個頂點(diǎn)分別是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA=OAB=A且滿足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如圖2，以O(shè)為圓心，22為半徑作圓，則點(diǎn)P在圓周上，依題意知：動點(diǎn)E的運(yùn)動時間為t=12AP+在OA上取點(diǎn)D，使OD=2，連接PD則在△APO和△PDO中，滿足：POOD=AOOP=2，∠∴△APO∽△PDO，∴APPD從而得：PD=12∴t=12AP+PB＝PD+∴當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時，PD+PB取得最小值，過點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)G，由于OD=2，且△ABO則有DG＝1，∠DOG＝45°∴動點(diǎn)E的運(yùn)動時間t的最小值為：t＝DB=DG2+GB【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，配方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，2為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP+12【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；（3）如圖，在CE上截取CF=22（即CF等于半徑的一半），連結(jié)BF交⊙C于點(diǎn)P，連結(jié)EP，則【解答】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），∴設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣2）2+8，∵與y軸交于點(diǎn)C（0，6），∴把點(diǎn)C（0，6）代入得：a=?1∴該拋物線的表達(dá)式為y=?12x2+2（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴令y＝0，則?12（x﹣2）解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在點(diǎn)P，使得BP+12EP的值最小且這個最小值為如圖，在CE上截取CF=22（即CF等于半徑的一半），連結(jié)BF交⊙C于點(diǎn)P，連結(jié)則BF的長即為所求．理由如下：連結(jié)CP，∵CP為半徑，∴CFCP又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴CFCP=FPPE=∴BF＝BP+12由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：BF的長即BP+12∵CF=14CE，∴由比例性質(zhì)，易得F（12，13∴BF=(6?【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．如圖1，已知拋物線y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）連接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如圖2，已知M為△ABC的外心，試判斷弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此時a的值，若沒有，請說明理由；（3）如圖3，已知動點(diǎn)P（t，t）在第一象限，t為常數(shù)．問：是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB達(dá)到最大，若存在，求出此時∠APB的正弦值，若不存在，也請說明理由．【分析】（1）令y＝0，求得拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x＝0，用a表示C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三角函數(shù)列出a的方程，便可求得a的值；（2）過M點(diǎn)作MH⊥AB于點(diǎn)H，連接MA、MC，用d表示出M的坐標(biāo)，根據(jù)MA＝MC，列出a、d的關(guān)系式，再通過關(guān)系式求得結(jié)果；（3）取AB的中點(diǎn)T，過T作MT⊥AB，以M為圓心，MA為半徑作⊙M，MT與直線y＝x交于點(diǎn)S，P′為直線y＝x上異于P的任意一點(diǎn)，連接AP′，交⊙M于點(diǎn)K，連接BK，MP，AP，BP，MB，MA，當(dāng)P為直線y＝x與⊙M的切點(diǎn)時，∠APB達(dá)到最大，利用圓圓周角性質(zhì)和解直角三角形的知識求得結(jié)果便可．【解答】解：（1）連接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC=OC解得，a=3（2）過M點(diǎn)作MH⊥AB于點(diǎn)H，連接MA、MC，如圖2，∴AH＝BH=1∴OH＝6，設(shè)M（6，d），∵M(jìn)A＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+1∴當(dāng)4a=12a即當(dāng)a=28時，有（3）∵P（t，t），∴點(diǎn)P在直線y＝x上，如圖3，取AB的中點(diǎn)T，過T作MT⊥AB，以M為圓心，MA為半徑作⊙M，MT與直線y＝x交于點(diǎn)S，P′為直線y＝x上異于P的任意一點(diǎn)，連接AP′，交⊙M于點(diǎn)K，連接BK，MP，AP，BP，MB，MA，當(dāng)⊙M與直線y＝x相切時，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此時相切點(diǎn)為P，設(shè)M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB=4+∴MS=2∵M(jìn)S+MT＝ST＝6，∴2d解得，d＝2（負(fù)根舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，d＝2是原方程的解，也符合題意，∴M（6，2），∴MB＝22，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT=12∠AMB＝∠∴sin∠APB＝sin∠BMT=BT【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理和圓與直線切線性質(zhì)，難度較大，第（3）題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助圓確定當(dāng)∠APB達(dá)到最大時的P點(diǎn)位置．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，一條拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，連接BC并延長．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M是直線BC在第一象限部分上的一個動點(diǎn)，過M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N．1°求線段MN的最大值；2°當(dāng)MN取最大值時，在線段MN右側(cè)的拋物線上有一個動點(diǎn)P，連接PM、PN，當(dāng)△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）將三個已知點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中列出方程組求得a、b、c，便可得拋物線的解析式；（2）1°用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再設(shè)M的橫坐標(biāo)為t，用t表示MN的距離，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得MN的最大值；2°分三種情況：當(dāng)∠PMN＝90°時；當(dāng)∠PNM＝90°時；當(dāng)∠MPN＝90°時．分別求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)便可．【解答】解：（1）把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得a+b+c=09a+3b+c=0解得，a=1b=?4∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）1°設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），則3m+n=0n=3解得，m=?1n=3∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，設(shè)M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），則N（t，t2﹣4t+3），∴MN＝﹣t2+3t=?(t?3∴當(dāng)t=32時，MN的值最大，其最大值為2°∵△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上，∴△PMN為直角三角形，由1°知，當(dāng)MN取最大值時，M（32，32），①當(dāng)∠PMN＝90°時，PM∥x軸，則P點(diǎn)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為32當(dāng)y=32時，y＝x2﹣4x+3解得，x=4+102，或∴P（4+10②當(dāng)∠PNM＝90°時，PN∥x軸，則P點(diǎn)與N點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?3當(dāng)y=?34時，y＝x2﹣4x+3解得，x=52，或x∴P（52，?③當(dāng)∠MPN＝90°時，則MN為△PMN的外接圓的直徑，∴△PMN的外接圓的圓心Q為MN的中點(diǎn)，∴Q（32，3過Q作QK∥x軸，與在MN右邊的拋物線圖象交于點(diǎn)K，如圖②，令y=38，得y＝x2﹣4x+3解得，x=8?224＜∴K（8+224，∴QK=2+224＞98，即K設(shè)拋物線y＝x2﹣4x+3的頂點(diǎn)為點(diǎn)L，則l（2，﹣1），連接LK，如圖②，則L到QK的距離為38LK=(設(shè)Q點(diǎn)到LK的距離為h，則12∴?=11∴直線LK下方的拋物線與⊙Q沒有公共點(diǎn)，∵拋物線中NL部分（除N點(diǎn)外）在過N點(diǎn)與x軸平行的直線下方，∴拋物線中NL部分（除N點(diǎn)外）與⊙Q沒有公共點(diǎn)，∵拋物線K點(diǎn)右邊部分，在過K點(diǎn)與y軸平行的直線的右邊，∴拋物線K點(diǎn)右邊部分與⊙Q沒有公共點(diǎn)，綜上，⊙Q與MN右邊的拋物線沒有交點(diǎn)，∴在線段MN右側(cè)的拋物線上不存在點(diǎn)P，使△PMN的外接圓圓心Q在MN邊上；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4+102，【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，直角三角形的存在性質(zhì)的探究，圓的性質(zhì)，第（2）題的1°題關(guān)鍵是把MN表示成t二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法解決問題；第（2）2°小題關(guān)鍵是分情況討論．難度較大．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2﹣bx+c交x軸于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），與y軸于交于點(diǎn)C（0，（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上取點(diǎn)D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及∠ADB的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線對稱軸l交x軸于點(diǎn)H，△ABD的外接圓圓心為M（如圖1），①求點(diǎn)M的坐標(biāo)及⊙M的半徑；②過點(diǎn)B作⊙M的切線交于點(diǎn)P（如圖2），設(shè)Q為⊙M上一動點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動過程中QHQP【分析】（1）c＝﹣2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=12×16?4b﹣2，解得：（2）S△ABD=5×32=35×BN2，則（3）①∠ADB＝45°，則∠AMB＝2∠ADB＝90°，MA＝MB，MH⊥AB，AH＝BH＝HM=52，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（32，52）⊙②PH＝HB＝5，則MHMQ=52522=22【解答】解：（1）c＝﹣2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=12×16?4b﹣2，解得：∴拋物線的解析式為y=12x2?3（2）當(dāng)x＝5時，y=12x2?32x令y＝0，則x＝4（舍去）或﹣1，故點(diǎn)A（﹣1，0），如圖①，連接BD，作BN⊥AD于N，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AD＝35，BD=10，AB∵S△ABD=5×3∴BN=5∴sin∠BDN=BN∴∠BDN＝45°；∴∠ADB＝∠BDN＝45°；（3）①如圖②，連接MA，MB，∵∠ADB＝45°，∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，∵M(jìn)A＝MB，MH⊥AB，∴AH＝BH＝HM=5∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（32，52）⊙M的半徑為②如圖③，連接MQ，MB，∵過點(diǎn)B作⊙M的切線交1于點(diǎn)P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝2.5，∵M(jìn)HMQ=5∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴QHQP∴在點(diǎn)Q運(yùn)動過程中QHQP的值不變，其值為2【點(diǎn)評】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)．圓的基本性質(zhì)．解決（3）問的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形實(shí)現(xiàn)比的轉(zhuǎn)換．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），與x軸交于A（4，0）、O兩點(diǎn)，點(diǎn)D（2，﹣2）為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心、以1為半徑作⊙E，交x軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)M為⊙E上一點(diǎn)．①射線BM交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)tan∠MBC＝2時，求m的值；②如圖2，連接OM，取OM的中點(diǎn)N，連接DN，則線段DN的長度是否存在最大值或最小值？若存在，請求出DN的最值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）用拋物線頂點(diǎn)式表達(dá)式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式，即可求解；（2）①分點(diǎn)P在x軸下方、點(diǎn)P在x軸上方兩種情況，分別求解即可；②證明BN是△OEM的中位線，故BN=12EM=12，而BD=(2?1)2+(0+2)2=【解答】解：（1）由拋物線頂點(diǎn)式表達(dá)式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a=1故拋物線的表達(dá)式為：y=12（x﹣2）2﹣2=12x2﹣（2）①點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，則點(diǎn)E（2，0），圓的半徑為1，則點(diǎn)B（1，0），當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，如圖1，∵tan∠MBC＝2，故設(shè)直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+s，將點(diǎn)B（1，0）的坐標(biāo)代入上式并解得：s＝2，故直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+2②，聯(lián)立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，同理可得：m＝4±23（舍去4﹣23）；故m＝2或4+23；②存在，理由：連接BN、BD、EM，則BN是△OEM的中位線，故BN=12EM=12在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即5?0.5≤ND≤故線段DN的長度最小值和最大值分別為5?0.5和5【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識、中位線的性質(zhì)等，綜合性強(qiáng)，難度適中．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，4），△ABO的中線AC與y軸交于點(diǎn)C，且⊙M經(jīng)過O，A，C三點(diǎn)．（1）求圓心M的坐標(biāo)；（2）若直線AD與⊙M相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，求直線AD的函數(shù)表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，在過點(diǎn)B且以圓心M為頂點(diǎn)的拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交直線AD于點(diǎn)E．若以PE為半徑的⊙P與直線AD相交于另一點(diǎn)F．當(dāng)EF＝45時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用中點(diǎn)公式即可求解；（2）設(shè)：∠CAO＝α，則∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO=OCOA=12=tanα，則sinα=15，cosα（3）利用cos∠PEH=EHPE=【解答】解：（1）點(diǎn)B（0，4），則點(diǎn)C（0，2），∵點(diǎn)A（4，0），則點(diǎn)M（2，1）；（2）應(yīng)該是圓M與直線AD相切，則∠CAD＝90°，設(shè)：∠CAO＝α，則∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO=OCOA=12=tanα，則sinAC=20，則CD=則點(diǎn)D（0，﹣8），將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n并解得：直線AD的表達(dá)式為：y＝2x﹣8；（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣2）2+1，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：a=3故拋物線的表達(dá)式為：y=34x2﹣3過點(diǎn)P作PH⊥EF，則EH=12EF＝2cos∠PEH=EH解得：PE＝5，設(shè)點(diǎn)P（x，34x2﹣3x+4），則點(diǎn)E（x，2x﹣則PE=34x2﹣3x+4﹣2解得x=14則點(diǎn)P（143，19【點(diǎn)評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．11．如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且點(diǎn)（2，1）在二次函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)F（0，1）作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于M、N兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）P為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)△PMN是等邊三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E為圓心的圓過點(diǎn)F和點(diǎn)N，且與直線y＝﹣1相切．若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求⊙E的半徑；若不存在，說明理由．【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2，將（2，1）代入上式，即可求解；（2）△PMN是等邊三角形，則點(diǎn)P在y軸上且PM＝4，故PF＝23，即可求解；（3）在Rt△FQE中，EN=(2?1)2+(1?【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在原點(diǎn)，故設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2，將（2，1）代入上式并解得：a=1故二次函數(shù)表達(dá)式為：y=14x（2）將y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（則MN＝4，∵△PMN是等邊三角形，∴點(diǎn)P在y軸上且PM＝4，∴PF＝23；∵點(diǎn)F（0，1），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1+23）或（0，1﹣23）；（3）假設(shè)二次函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)E滿足條件，設(shè)點(diǎn)Q是FN的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q（1，1），故點(diǎn)E在FN的中垂線上．∴點(diǎn)E是FN的中垂線與y=14x∴y=14×12=14EN=(2?1同理EF=(1?0點(diǎn)E到直線y＝﹣1的距離為|14?（﹣1）|故存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E為圓心半徑為54的圓過點(diǎn)F，N且與直線y＝﹣【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等，綜合性強(qiáng)，難度適中．12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)M是BC為直徑的圓上的動點(diǎn)，將點(diǎn)M繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)N，連接NA，求NA的取值范圍．【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；（2）過點(diǎn)P作PH⊥BC交于點(diǎn)H，設(shè)P（0，t），CH＝x，由已知分別可求BC＝25，BH＝25?x，HP＝BH＝25?x，在Rt△CPH中，sin∠PCH=HPCP=25?x2?t=425，cos∠PCH（3）當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)處時，N點(diǎn)在F（0，﹣4）處，當(dāng)M點(diǎn)在O點(diǎn)處時，N點(diǎn)在E（2，0）處，∠EOF＝90°，EF＝BC＝25，可以判斷N點(diǎn)在以EF為直徑的圓上運(yùn)動，連接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝22，則可求NA最大值為22+5，NA最小值為22?5，進(jìn)而求得22?【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得a?b+2=016a+4b+2=0解得a=?1∴y=?12x2+（2）過點(diǎn)P作PH⊥BC交于點(diǎn)H，設(shè)P（0，t），CH＝x，∵C（0，2），B（4，0），∴BC＝25，∴BH＝25?x∵∠OBP+∠OBC＝45°，∴∠CBP＝45°，∴HP＝BH＝25?x在Rt△CPH中，sin∠PCH=HPCP=25在Rt△BOC中，sin∠PCH=425，cos∠∴25?x2?t∴x=253，∴P（0，?4P點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為（0，43），此點(diǎn)也滿足∠OBP+∠OBC＝45°∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，?43）或（0，（3）當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)處時，N點(diǎn)在F（0，﹣4）處，當(dāng)M點(diǎn)在C點(diǎn)處時，N點(diǎn)在E（2，0）處，∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝25，可以判斷N點(diǎn)在以EF為直徑的圓上運(yùn)動，連接OO'，當(dāng)NA經(jīng)過圓心O'時，NA有最大值和最小值，∴O'（1，﹣2），∵A（﹣1，0），∴O'A＝22，∴NA最大值為22+5，NA最小值為2∴22?5≤NA≤【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)是綜合應(yīng)用，能夠通過M點(diǎn)的運(yùn)動情況判斷N點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓，將NA的范圍轉(zhuǎn)化為求圓的弦長問題是解題的關(guān)鍵．13．定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓．（1）已知點(diǎn)P（2，2），以P為圓心，5為半徑作圓．請判斷⊙P是不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)圓，并說明理由；（2）如圖1，已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)為A，坐標(biāo)圓的圓心為P，求△POA周長的最小值；（3）如圖2，已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）圖象交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，與坐標(biāo)圓的第四個交點(diǎn)為D，連結(jié)PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．【分析】（1）先求出二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，再計(jì)算這三個交點(diǎn)是否在以P（2，2）為圓心，5為半徑的圓上，即可作出判斷．（2）由題意可得，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)A（2，0），與y軸的交點(diǎn)H（0，4），所以△POA周長＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）連接CD，PA，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l與CD交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，由對稱性知，對稱軸l經(jīng)過點(diǎn)P，且l⊥CD，設(shè)PE＝m，由∠CPD＝120°，可得PA＝PC＝2m，CE=3m，PF＝4﹣m，因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l為x=2a，AB=16?16aa=41?aa，所以AF＝BF=2【解答】解：（1）對于二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，當(dāng)x＝0時，y＝3；當(dāng)y＝0時，解得x＝1或x＝3，∴二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為A（1，0），B（3，0），與y軸交點(diǎn)為C（0，3），∵點(diǎn)P（2，2），∴PA＝PB＝PC=5∴⊙P是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)圓．（2）如圖1，連接PH，∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)為A，坐標(biāo)圓的圓心為P，∴A（2，0），與y軸的交點(diǎn)H（0，4），∴△POA周長＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周長的最小值為6．（3）如圖2，連接CD，PA，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l與CD交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，由對稱性知，對稱軸l經(jīng)過點(diǎn)P，且l⊥CD，∵AB=16?16a∴AF＝BF=2∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，設(shè)PE＝m，則PA＝PC＝2m，CE=3m，PF＝4﹣m∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l為x=2∴3m=2a在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，∴4m即4m化簡，得(8+23)m=16，解得∴a=2【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)與圓的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識以及方程的思想，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖1：拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．動點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜3），過點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M．（1）求拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接BM并延長交y軸于點(diǎn)N，連接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如圖2．當(dāng)m＝1時，P是直線l上的點(diǎn)，以P為圓心，PE為半徑的圓交直線l于另一點(diǎn)F（點(diǎn)F在x軸上方），若線段AC上最多存在一個點(diǎn)Q使得∠FQE＝90°，求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，即可得C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由拋物線的解析式可得M（m，﹣m2+2m+3），利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠NAO＝∠MOE，根據(jù)等角的正切值相等即可求解；（3）由題意得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P縱坐標(biāo)最小，設(shè)點(diǎn)P（1，a），則點(diǎn)F（1，2a），根據(jù)勾股定理求出a的值，即可得點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，?1?b+c=0?9+3b+c=0解得b=2c=3故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3，當(dāng)x＝0時，y＝3，故點(diǎn)C（0，3）；（2）∵點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜3），過點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，∴M（m，﹣m2+2m+3），∵點(diǎn)B（3，0），∴直線BM的表達(dá)式為y＝（﹣m﹣1）x﹣（﹣m﹣1）,當(dāng)x＝0時，3m+3，∴點(diǎn)N（0，3m+3），∵AN∥OM，∴∠NAO＝∠MOE，∴tan∠NAO＝tan∠MOE，∴ONOA=EM解得：m1=34，m2＝∴m的值為34（3）由題意得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P縱坐標(biāo)最小，設(shè)點(diǎn)P（1，a），則點(diǎn)F（1，2a），∵點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），∴CF2+CE2＝EF2，即1+（2a﹣3）2+1+32＝(2a)2，解得：a=5∵點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），∴AC:y＝3x+3,設(shè)Q（a，3a+3）（﹣1≤a≤0），過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于G，過點(diǎn)F作FH⊥QG于H，連接QF，QE，∵∠FQE＝90°，∴∠FQH+∠EQG＝90°，∵∠FQH+∠HFQ＝90°，∴∠EQG＝∠HFQ，又∵∠H＝∠QGE，∴△HFQ∽△GQE，∴HFGQ∴1?a3a+3∴HQ=(1?a∴FE＝HQ+QG=(1?a)2令1+a＝t，（0≤t≤1），∴a＝t﹣1，∴FE=(2?t)23t+3t=當(dāng)t＝1時，F(xiàn)E=10∵103t+43t?∴103t+43∴yF最小值是410∴yP最小值是210∴當(dāng)yP＞53時，⊙P與線段當(dāng)210?23＜yP≤53yP=210?23時，⊙0＜yP＜210?23時，⊙∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍為yp＞53或0＜yP【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、面積的計(jì)算，銳角三角函數(shù)等，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式．15．如圖，拋物線y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO=2（1）求拋物線的對稱軸與拋物線的解析式；（2）設(shè)D為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，①當(dāng)△BCD的外接圓的圓心在△BCD的邊上時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點(diǎn)D縱坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）拋物線y＝mx2﹣4mx+n，根據(jù)對稱軸公式，得對稱軸為直線x=??4m2m=2，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，n），由已知條件易得∠CBO＝45°，CO＝BO，CO＝3AO＝n，得出AO=n3，BO解得，n＝3，將B（3，0）代入y＝mx2﹣4mx+3，得9m﹣12m+3＝0，即可求解；（2）①當(dāng)△BCD的外接圓的圓心在△BCD的邊上時，△DCB是直角三角形，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，a），用a的代數(shù)式表示出CD2＝（0﹣2）2+（a﹣3）2＝a2﹣6a+13；BD2＝（3﹣2）2+（a﹣0）2＝a2+1；CB2＝（0﹣3）2+（0﹣3）2＝18，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，CD2+CB2＝DB2，得a2﹣6a+13+18＝a2+1，解得a＝5，當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，BD2+CB2＝DC2，得18+a2+1＝a2﹣6a+13，解得a＝﹣1，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，CD2+CB2＝DB2，a2﹣6a+13+a2+1＝18，解得a=3±②由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)D在D1、D3之間或在D4、D2之間時，△BCD是銳角三角形，結(jié)合第①問即可求解．【解答】解：（1）拋物線y＝mx2﹣4mx+n，根據(jù)對稱軸公式，得對稱軸為直線x=??4m2m=2，點(diǎn)C∵sin∠CBO=2∴∠CBO＝45°，∴CO＝BO，在Rt△CAO中，tan∠CAO＝3，∴COAO=3，即CO＝3AO＝∴AO=n3，BO＝由拋物線對稱軸可得，n3解得，n＝3，將B（3，0）代入y＝mx2﹣4mx+3，得9m﹣12m+3＝0，∴m＝1，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）①當(dāng)△BCD的外接圓的圓心在△BCD的邊上時，△DCB是直角三角形，∵D為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，a），∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），∴CD2＝（0﹣2）2+（a﹣3）2＝a2﹣6a+13；BD2＝（3﹣2）2+（a﹣0）2＝a2+1；CB2＝（0﹣3）2+（0﹣3）2＝18，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，CD2+CB2＝DB2，∴a2﹣6a+13+18＝a2+1，解得a＝5，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，5）；當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，BD2+CB2＝DC2，∴18+a2+1＝a2﹣6a+13，解得a＝﹣1，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，﹣1）；當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，CD2+CB2＝DB2，∴a2﹣6a+13+a2+1＝18，解得a=3±∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，3+172），（2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，5）或（2，﹣1）或（2，3+172）或（2，②由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)D在D1、D3之間或在D4、D2之間時，△BCD是銳角三角形，設(shè)點(diǎn)D縱坐標(biāo)為n，則3+172＜n＜5或﹣1＜【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)解析式求法，兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)與直角三角形的綜合題型，解題關(guān)鍵是平面直角坐標(biāo)系中線段長度與坐標(biāo)之間的聯(lián)系．16．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與直線AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），與x軸交于另一點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）在y上是否存在一點(diǎn)E，使四邊形ABCE為矩形，若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）以C為圓心，1為半徑作⊙O，D為⊙O上一動點(diǎn)，求DA+55【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，列方程組求a、b的值；（2）作AE⊥AB交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)CE，作BF⊥x軸于點(diǎn)F，證明∠ABC＝90°及△BCF≌△EAO，從而證明四邊形ABCE是矩形且求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，作FL⊥BC于點(diǎn)L，證明△FCL∽△BCF及△DCL∽△BCD，得到LD=55DB，再根據(jù)DA+LD≥AL，求出【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得a?b+2=09a+3b+2=2，解得a=?∴拋物線的解析式為y=?12x2+（2）存在．如圖1，作AE⊥AB交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)CE；作BF⊥x軸于點(diǎn)F，則F（3，0）．當(dāng)y＝0時，由?12x2+32x+2＝0，得x1∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴CFBF∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四邊形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如圖2，作FL⊥BC于點(diǎn)L，連結(jié)AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB=1∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴CLCF∴CLCD∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴LDDB∴LD=55∵DA+LD≥AL，∴當(dāng)DA+LD＝AL，即點(diǎn)D落在線段AL上時，DA+55DB＝DA+LD＝∵CL=55CF∴BL=5∴BL2＝（455）2又∵AB2＝22+42＝20，∴AL=ADA+55DB的最小值為【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及求線段和的最小值、二次根式的化簡等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，解第（3）題時應(yīng)注意通過作輔助線轉(zhuǎn)化55DB17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?14x2+bx+3的對稱軸是直線x＝2，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)（Ⅰ）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）M為第一象限內(nèi)拋物線上的一個點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)D，連接CM，當(dāng)線段CM＝CD時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（Ⅲ）以原點(diǎn)O為圓心，AO長為半徑作⊙O，點(diǎn)P為⊙O上的一點(diǎn)，連接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【分析】（Ⅰ）由x＝2=?b2a=?（Ⅱ）當(dāng)線段CM＝CD時，則點(diǎn)C在MD的中垂線上，即yC=12（yM+y（Ⅲ）在OC上取點(diǎn)G，使OPOC=OGOP=23，即23=OG2，則△