中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題23以圓的新定義為背景閱讀材料壓軸題（原卷版）

壓軸題23以圓的新定義為背景閱讀材料壓軸題例1．（2023春?興化市月考）如圖，已知⊙O的半徑為1，P是平面內(nèi)一點．（1）如圖①，若OP＝2，過點P作⊙O的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，連接EF．則∠EPO＝°，EF＝．（2）若點M、N是⊙O上兩點，且存在∠MPN＝90°，則規(guī)定點P為⊙O的“直角點”．①如圖②，已知平面內(nèi)有一點D，OD=2，試說明點D是⊙O的“直角點”②如圖③，直線y=23x﹣2分別與x軸、y軸相交于點A、B，若線段AB上所有點都是半徑為r的圓的“直角點”，求例2．（2022秋?姜堰區(qū)期中）如圖1，在平面內(nèi)，過⊙T外一點P畫它的兩條切線，切點分別為M、N，若∠MPN≥90°，則稱點P為⊙T的“限角點”．（1）在平面直角坐標系xOy中，當⊙O半徑為1時，在①P1（1，0），②P2(?1，12)，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“（2）如圖2，⊙A的半徑為2，圓心為（0，2），直線l：y=?34x+b交坐標軸于點B、C，若直線l上有且只有一個⊙A的“限角點”，求（3）如圖3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半徑為2，圓心D從原點O出發(fā)，以2個單位/s的速度沿直線l：y＝x向上運動，若△EFG三邊上存在⊙D的“限角點”，請直接寫出運動的時間t（s）的取值范圍．例3．（2023?海淀區(qū)校級開學(xué)）在平面直角坐標系xOy中，對于點P和圖形M，若圖形M上存在點Q，使得直線PQ經(jīng)過第四象限，則稱點P是圖形M的“四象點”．已知點A（﹣2，4），B（2，1）．（1）在點P1（﹣4，﹣2），P2（﹣1，﹣2），P3（1，﹣2）中，是線段AB的四象點；（2）已知點C（t，0），D（t+4，0），若等邊△CDE（C，D，E順時針排列）上的點均不是線段AB的四象點，求t的取值范圍；（3）已知以T（?52，0）為圓心且半徑為2的⊙T，若線段AB上的點P是⊙T的四象點，請直接寫出點P的橫坐標x

1．（2022秋?泗陽縣期末）概念生成：定義：我們把經(jīng)過三角形的一個頂點并與其對邊所在直線相切的圓叫做三角形的“切接圓”，如圖1，△ABC，⊙O經(jīng)過點A，并與點A的對邊BC相切于點D，則該⊙O就叫做△ABC的切接圓．根據(jù)上述定義解決下列問題：理解應(yīng)用（1）已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10．①如圖2，若點D在邊BC上，CD=254，以D為圓心，BD長為半徑作圓，則⊙D是△ABC的“切接圓②在圖3中，若點D在△ABC的邊上，以D為圓心，CD長為半徑作圓，當⊙D是Rt△ABC的“切接圓”時，求⊙D的半徑（直接寫出答案）．思維拓展（2）如圖4，△ABC中，AB＝12．AC＝BC＝10，把△ABC放在平面直角坐標系中，使點C落在y軸上，邊AB落在x軸上．試說明：以拋物線y=116x2+4圖象上任意一點為圓心都可以作過點C的△ABC2．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，平面直角坐標系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定義如下：若點P關(guān)于直線l的對稱點P'在矩形ABCD的邊上，則稱點P為矩形ABCD關(guān)于直線l的“關(guān)聯(lián)點”，（1）已知點P1（﹣1，2）、點P2（﹣2，1）、點P3（﹣4，1），點P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD關(guān)于y軸的關(guān)聯(lián)點的是；（2）⊙O的圓心O（?72，1）半徑為32，若⊙O上至少存在一個點是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t（3）⊙O的圓心O（m，1）（m＜0）半徑為r，若存在t值使⊙O上恰好存在四個點是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點，寫出r的取值范圍，并寫出當r取最小值時t的取值范圍（用含m的式子表示）．3．（2022秋?西城區(qū)期末）給定圖形W和點P，Q，若圖形W上存在兩個不重合的點M，N，使得點P關(guān)于點M的對稱點與點Q關(guān)于點N的對稱點重合，則稱點P與點Q關(guān)于圖形W雙對合．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．（1）在點D（﹣4，0），E（2，2），F(xiàn)（6，0）中，與點O關(guān)于線段AB雙對合的點是；（2）點K是x軸上一動點，⊙K的直徑為1，①若點A與點T（0，t）關(guān)于⊙K雙對合，求t的取值范圍；②當點K運動時，若△ABC上存在一點與⊙K上任意一點關(guān)于⊙K雙對合，直接寫出點K的橫坐標k的取值范圍．4．（2022秋?豐臺區(qū)期末）對于平面直角坐標系xOy內(nèi)的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'，點P'落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點P是圖形M關(guān)于原點O的“伴隨點”．（1）已知點A（1，1），B（3，1），C（3，2）．①在點P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，點是線段AB關(guān)于原點O的“伴隨點”；②如果點D（m，2）是△ABC關(guān)于原點O的“伴隨點”，求m的取值范圍；（2）⊙E的圓心坐標為（1，n），半徑為1，如果直線y＝﹣x+2n上存在⊙E關(guān)于原點O的“伴隨點”，直接寫出n的取值范圍．5．（2022秋?石景山區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，圖形W上任意兩點間的距離若有最大值，將這個最大值記為d．對于點P和圖形W給出如下定義：點Q是圖形W上任意一點，若P，Q兩點間的距離有最小值，且最小值恰好為d，則稱點P為圖形W的“關(guān)聯(lián)點”．（1）如圖1，圖形W是矩形AOBC，其中點A的坐標為（0，3），點C的坐標為（4，3），則d＝．在點P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），P4(?21，?2)中，矩形AOBC的“關(guān)聯(lián)點（2）如圖2，圖形W是中心在原點的正方形DEFG，其中D點的坐標為（1，1）．若直線y＝x+b上存在點P，使點P為正方形DEFG的“關(guān)聯(lián)點”，求b的取值范圍；（3）已知點M（1，0），N(0，3)．圖形W是以T（t，0）為圓心，1為半徑的⊙T，若線段MN上存在點P，使點P為⊙T的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出6．（2022秋?東城區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，過⊙T外一點P引它的兩條切線，切點分別為M，N，若60°＜∠MPN＜180°，則稱P為⊙T的環(huán)繞點．（1）當⊙O半徑為1時，①在P1（2，2），P2（2，0），P3（2，1）中，⊙O的環(huán)繞點是；②直線y＝3x+b與x軸交于點A，y軸交于點B，若線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點，求b的取值范圍；（2）⊙T的半徑為2，圓心為（0，t），以（﹣m，33m）（m＞0）為圓心，33m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，若在圖形H上存在⊙T的環(huán)繞點，直接寫出7．（2022秋?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，對于點P和線段AB，若線段PA或PB的垂直平分線與線段AB有公共點，則稱點P為線段AB的融合點．（1）已知A（3，0），B（5，0），①在點P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，線段AB的融合點是；②若直線y＝t上存在線段AB的融合點，求t的取值范圍；（2）已知⊙O的半徑為4，A（a，0），B（a+1，0），直線l過點T（0，﹣1），記線段AB關(guān)于l的對稱線段為A'B'．若對于實數(shù)a，存在直線l，使得⊙O上有A'B'的融合點，直接寫出a的取值范圍．8．（2022秋?北京期末）對于平面直角坐標系xOy中的點M，N和圖形W，給出如下定義：若圖形W上存在一點P，使得∠PMN＝90°，且MP＝MN，則稱點M為點N關(guān)于圖形W的一個“旋垂點”．（1）已知點A（0，4），B（4，4），①在點M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2）中，是點O關(guān)于點A的“旋垂點”的是；②若點M（m，n）是點O關(guān)于線段AB的“旋垂點”，求m的取值范圍；（2）直線y＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于C，D兩點，⊙T的半徑為10，圓心為T（t，0）．若在⊙T上存在點P，線段CD上存在點Q，使得點Q是點P關(guān)于⊙T的一個“旋垂點”，且PQ=2，直接寫出t9．（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）在平面直角坐標系xOy中的⊙W上，有弦MN，取MN的中點P，將點P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點Q，稱點Q為弦MN的“中點對應(yīng)點”．設(shè)⊙W是以W（﹣3，0）為圓心，半徑為2的圓．（1）已知弦MN長度為2，點Q為弦MN的“中點對應(yīng)點”．①如圖1：當MN∥x軸時，在圖1中畫出點Q，并且直接寫出線段OQ的長度；②當MN在圓上運動時，直接寫出線段WQ的取值范圍．（2）已知點M（﹣5，0），點N為⊙W上的一動點，設(shè)直線y＝x+b與x軸、y軸分別交于點A、點B，若線段AB上存在弦MN的“中點對應(yīng)點”點Q，求出b的取值范圍．10．（2022秋?昌平區(qū)期末）已知：對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙O，⊙O的半徑為4，交x軸于點A，B，對于點P給出如下定義：過點C的直線與⊙O交于點M，N，點P為線段MN的中點，我們把這樣的點P叫做關(guān)于MN的“折弦點”．（1）若C（﹣2，0）．①點P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是關(guān)于MN的“折弦點”的是；②若直線y＝kx+3（k≠0）．上只存在一個關(guān)于MN的“折弦點”，求k（2）點C在線段AB上，直線y＝x+b上存在關(guān)于MN的“折弦點”，直接寫出b的取值范圍．11．（2022春?海淀區(qū)校級月考）△ABC中，D、E分別是△ABC兩邊AB、AC的中點，若經(jīng)過D、E的⊙M與△ABC有n個公共點（相切算一個公共點），則稱⊙M為△ABC關(guān)于D、E的“中n點圓”．例如，圖1中的圓是△ABC關(guān)于D、E的“中4點圓”．（1）①如圖1，則△ABC的“中n點圓”中n可以取的值為（寫所有可能的值）；②在所給圖1中畫出一個“中3點圓”；（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（a，6），點B（0，0），C（4，0），⊙M為△ABC的“中n點圓”．①當a＝0，n＝4時，求圓心M縱坐標的取值范圍．②若n＝3時，圓心M總在△ABC外，直接寫出a的取值范圍．12．（2022?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點K、L，作出如下定義：若點Q是點L繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點Q是點L關(guān)于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點A（4，0），在點Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是點A關(guān)于點O（2）已知點B（5，0），點C在直線y＝2x+b上，若點C是點B關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)b的取值范圍．（3）點D是x軸上的動點，D（t，0），E（t﹣3，0），點F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點F關(guān)于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出t的取值范圍．13．（2022秋?鹽都區(qū)期中）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、QN組成折線段MQN．若點P在折線段MQN上，MP＝PQ+QN，則稱點P是折線段MQN的中點．【理解應(yīng)用】（1）如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點，點B是折線段POA的中點．若∠APO＝30°，則PB＝；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線段ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是ABC的中點，從M向BC作垂線，垂足為D，求證：D是折弦ABC的中點；【變式探究】（3）如圖4，若點M是AC的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，BC是⊙O的直徑，點A為⊙O上一定點，點D為⊙O上一動點，且滿足∠DAB＝45°，若AB＝8，BC＝10，則AD＝．14．（2022秋?慈溪市期中）如圖1，C，D是半圓ACB上的兩點，若直徑AB上存在一點P，滿足∠APC＝∠BPD，則稱∠CPD是CD的“幸運角”．（1）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，D是BC上一點，連結(jié)ED交AB于點P，連結(jié)CP，∠CPD是CD的“幸運角”嗎？請說明理由；（2）設(shè)CD的度數(shù)為n，請用含n的式子表示CD的“幸運角”度數(shù)；（3）在（1）的條件下，直徑AB＝10，CD的“幸運角”為90°．①如圖3，連結(jié)CD，求弦CD的長；②當DE=72時，求CE15．（2022秋?西城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系xOy中，已知點M（a，b），N．對于點P給出如下定義：將點P繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點P'，點P'關(guān)于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應(yīng)點”．（1）如圖1，若點M在坐標原點，點N（1，1），①點P（﹣2，0）的“對應(yīng)點”Q的坐標為；②若點P的“對應(yīng)點”Q的坐標為（﹣1，3），則點P的坐標為；（2）如圖2，已知⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點，點N（0，2），若P（m，0）（m＞1）為⊙O外一點，點Q為點P的“對應(yīng)點”，連接PQ．①當點M（a，b）在第一象限時，求點Q的坐標（用含a，b，m的式子表示）；②當點M在⊙O上運動時，直接寫出PQ長的最大值與最小值的積為.（用含m的式子表示）16．（2022?長沙縣校級三模）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”．（1）如圖2，在△ABC中，BC=2AB，求證：△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”（2）如圖3，已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，點D是△ABC邊BC的中點，以BD為直徑的⊙O恰好經(jīng)過點A．①求證：直線CA與⊙O相切；②若⊙O的直徑為26，求線段AB的長；（3）已知三角形ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形