2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)3合情推理含解析新人教B版選修1-2

PAGE1-課時分層作業(yè)(三)(建議用時：40分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論肯定是正確的B．合情推理必需有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論無法判定正誤[解析]合情推理得出的結(jié)論不肯定正確，故A錯；合情推理必需有前提有結(jié)論，故B正確；合情推理中類比推理是依據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，可進(jìn)行猜想，故C錯；合情推理得出的結(jié)論可以進(jìn)行判定正誤，故D錯．[答案]B2．下面運(yùn)用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”[解析]由實(shí)數(shù)運(yùn)算的學(xué)問易得C項正確．[答案]C3．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示，依據(jù)上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[解析]從①②③可以看出，從第②個圖起先每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.[答案]C4．對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點(diǎn)，但不是中心B．一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C．一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D．中心[解析]由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個面的中心．[答案]D5．已知整數(shù)對的序列為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第57個數(shù)對是()A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)[解析]由題意，發(fā)覺所給數(shù)對有如下規(guī)律：(1,1)的和為2，共1個；(1,2)，(2,1)的和為3，共2個；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和為4，共3個；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和為5，共4個；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和為6，共5個．由此可知，當(dāng)數(shù)對中兩個數(shù)字之和為n時，有n－1個數(shù)對．易知第57個數(shù)對中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對中的第2個數(shù)對，故為(2,10)．[答案]A二、填空題6．把正數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的依次排成一列，得到一個數(shù)列{an}，若an＝2017，則n＝__________.[解析]題圖乙中第k行有k個數(shù)，第k行最終的一個數(shù)為k2，前k行共有eq\f(kk＋1,2)個數(shù)，由44×44＝1936,45×45＝2025知an＝2017出現(xiàn)在第45行，第45行第一個數(shù)為1937，第eq\f(2017－1937,2)＋1＝41個數(shù)為2017，所以n＝eq\f(4444＋1,2)＋41＝1031.[答案]10317．二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2，視察發(fā)覺S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，視察發(fā)覺V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W＝________.[解析]因為V＝8πr3，所以W＝2πr4，滿意W′＝V.[答案]2πr48．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為________．[解析]結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)，類比等比數(shù)列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，則有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.[答案]a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答題9．已知數(shù)列eq\f(8×1,12×32)，eq\f(8×2,32×52)，…，eq\f(8×n,2n－122n＋12)，…，Sn為其前n項和，計算S1，S2，S3，S4，視察計算結(jié)果，并歸納出Sn的公式．[解]S1＝eq\f(8×1,12×32)＝eq\f(8,9)＝eq\f(32－1,32)＝eq\f(2×1＋12－1,2×1＋12)，S2＝eq\f(8,9)＋eq\f(8×2,32×52)＝eq\f(24,25)＝eq\f(52－1,52)＝eq\f(2×2＋12－1,2×2＋12)，S3＝eq\f(24,25)＋eq\f(8×3,52×72)＝eq\f(48,49)＝eq\f(72－1,72)＝eq\f(2×3＋12－1,2×3＋12)，S4＝eq\f(48,49)＋eq\f(8×4,72×92)＝eq\f(80,81)＝eq\f(92－1,92)＝eq\f(2×4＋12－1,2×4＋12)，由此歸納猜想Sn＝eq\f(2n＋12－1,2n＋12).10．在平面幾何中，探討正三角形內(nèi)隨意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內(nèi)隨意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值eq\f(\r(3),2)a.類比上述命題，請你寫出關(guān)于正四面體內(nèi)隨意一點(diǎn)與四個面的關(guān)系的一個真命題，并給出簡要的證明．[解]類比所得的真命題是：棱長為a的正四面體內(nèi)隨意一點(diǎn)到四個面的距離之和是定值eq\f(\r(6),3)a.證明：設(shè)M是正四面體P-ABC內(nèi)任一點(diǎn)，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四面體四個面的面積相等，故有：VP-ABC＝VM-ABC＋VM-PAB＋VM-PAC＋VM-PBC＝eq\f(1,3)·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，VP-ABC＝eq\f(\r(2),12)a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝eq\f(\r(6),3)a(定值)．[實(shí)力提升練]1．依據(jù)給出的數(shù)塔，揣測123456×9＋7等于()1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝11111；12345×9＋6＝111111；A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[解析]由前5個等式知，右邊各位數(shù)字均為1，位數(shù)比前一個等式依次多1位，所以123456×9＋7＝1111111，故選B.[答案]B2．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG,GD)＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f(AO,OM)＝()A．1 B．2C．3 D．4[解析]如圖，設(shè)正四面體的棱長為1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此時易知點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等體積法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)?r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.[答案]C3.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于__________．[解析]如圖所示，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．又因為eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．[答案]eq\f(1＋\r(5),2)4．某同學(xué)在一次探討性學(xué)習(xí)中發(fā)覺，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)依據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．[解](1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°