2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步1.5平面直角坐標(biāo)系中的距離公式學(xué)案北師大版必修2

PAGEPAGE11.5平面直角坐標(biāo)系中的距離公式[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.駕馭兩點(diǎn)間的距離公式并會(huì)應(yīng)用．2.了解點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法．3.駕馭點(diǎn)到直線的距離公式，并能敏捷應(yīng)用于求平行線間的距離等問(wèn)題．4.初步駕馭用解析法探討幾何問(wèn)題的方法.【主干自填】1．兩點(diǎn)間的距離公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩點(diǎn)A，B的距離公式|AB|＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\r(x1－x22＋y1－y22).2．點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離記為d，則d＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行線間的距離兩平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(A、B不同時(shí)為0，C1≠C2)間的距離為eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【即時(shí)小測(cè)】1．思索下列問(wèn)題(1)當(dāng)P1，P2的連線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式是否適用？提示：適用．(2)點(diǎn)到直線的距離公式對(duì)于A＝0或B＝0或P在直線l上的特殊狀況是否還適用？提示：仍舊適用．①當(dāng)A＝0時(shí)，B≠0，直線l的方程為By＋C＝0，即y＝－eq\f(C,B)，d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(C,B)))＝eq\f(|By0＋C|,|B|)，適合公式；②當(dāng)B＝0時(shí)，A≠0，直線l的方程為Ax＋C＝0，x＝－eq\f(C,A)，d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(C,A)))＝eq\f(|Ax0＋C|,|A|)，適合公式；③當(dāng)P點(diǎn)在直線l上時(shí)，有Ax0＋By0＋C＝0，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))＝0，適合公式．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，則b等于()A．－3B．5C．－3或5D．－1或－3提示：C|AB|＝eq\r(2＋12＋1－b2)＝5，解得b＝5或b＝－3.3．已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值等于()A.eq\r(2)B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(2)＋1提示：C由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|a－2＋3|,\r(12＋－12))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))＝1?|a＋1|＝eq\r(2).因?yàn)閍>0，所以a＋1＝eq\r(2)，即a＝eq\r(2)－1.4．P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上隨意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為________．提示：3直線6x＋8y＋6＝0可變?yōu)?x＋4y＋3＝0，由此可知兩直線平行．它們的距離d＝eq\f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3，|PQ|最小值為d＝3.例1(1)求直線2x＋my＋2＝0(m≠0)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)之間的距離；(2)已知點(diǎn)A(a，－5)與B(0,10)間的距離是17，求a的值；(3)求直線l：y＝x被兩條平行直線x＋y－2＝0和x＋y－4＝0所截得的線段的長(zhǎng)度．[解](1)直線2x＋my＋2＝0與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)，與y軸的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,m)))，∴兩交點(diǎn)之間的距離為d＝eq\r(－1－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(2,m)))2)＝eq\r(1＋\f(4,m2)).(2)由兩點(diǎn)間的距離公式可得d2＝a2＋152＝172，∴a＝±8.(3)先求兩直線的交點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0))解得交點(diǎn)為(1,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0))解得交點(diǎn)為(2,2)．∴所求線段的長(zhǎng)度為d＝eq\r(2－12＋2－12)＝eq\r(2).類題通法應(yīng)用距離公式的留意事項(xiàng)(1)運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式要留意結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，公式與兩點(diǎn)的先后依次無(wú)關(guān)，運(yùn)用于隨意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但對(duì)于特殊狀況結(jié)合圖形求解會(huì)更便捷．2兩點(diǎn)間的距離公式是利用代數(shù)法探討幾何問(wèn)題的最基本的公式之一，利用代數(shù)法解決幾何中的距離問(wèn)題往往最終都要轉(zhuǎn)化為此公式解決.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])已知點(diǎn)A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，(1)試推斷△ABC的形態(tài)；(2)求AB邊上的中線CM的長(zhǎng)．解(1)|AB|＝eq\r(1－52＋4－52)＝eq\r(17)，|AC|＝eq\r(4－52＋1－52)＝eq\r(17)，|BC|＝eq\r(4－12＋1－42)＝eq\r(18)，∵|AB|＝|AC|≠|(zhì)BC|，∴△ABC為等腰三角形．(2)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(9,2)))，|CM|＝eq\r(4－32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,2)))2)＝eq\f(\r(53),2).例2求點(diǎn)P(1,2)到下列直線的距離：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y軸．[解](1)將直線方程化為一般式為x－y－3＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得d1＝eq\f(|1－2－3|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2).(2)解法一：直線方程化為一般式為y＋1＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得d2＝eq\f(|2＋1|,\r(02＋12))＝3.解法二：如圖，∵y＝－1平行于x軸，∴d2＝|－1－2|＝3.(3)解法一：y軸的方程為x＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得d3＝eq\f(|1＋0＋0|,\r(12＋02))＝1.解法二：如圖可知，d3＝|1－0|＝1.類題通法點(diǎn)到直線距離公式的留意點(diǎn)求點(diǎn)到直線的距離，要留意公式的條件，要先將直線方程化為一般式．對(duì)于特殊直線可采納數(shù)形結(jié)合的思想方法求解．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])P點(diǎn)在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x0＋y0－5＝0，,\f(|x0－y0－1|,\r(2))＝\r(2)，))解得x0＝2，y0＝－1或x0＝1，y0＝2.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－1)或(1,2).例3已知直線l1與l2的方程分別為7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直線l平行于l1，直線l與l1的距離為d1，與l2的距離為d2，且eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，求直線l的方程．[解]設(shè)P(x，y)為l上任一點(diǎn)．則d1＝eq\f(|7x＋8y＋9|,\r(72＋82))，d2＝eq\f(|7x＋8y－3|,\r(72＋82)).由eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，即d2＝2d1，得|7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|，∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9)或7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)．化簡(jiǎn)得l的方程為7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.類題通法求兩條平行直線間距離的兩種思想(1)轉(zhuǎn)化為其中一條直線上隨意一點(diǎn)到另一條直線的距離；(2)利用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))求解，但需留意兩直線方程都化為一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3])已知直線l過(guò)點(diǎn)A(2,4)，被兩平行直線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y－1＝0所截得線段的中點(diǎn)M在直線x＋y－3＝0上，求直線l的方程．解解法一：∵點(diǎn)M在直線x＋y－3＝0上，∴可設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(t,3－t)．由題意知點(diǎn)M到l1，l2的距離相等，即eq\f(|t－3－t＋1|,\r(2))＝eq\f(|t－3－t－1|,\r(2))，解得t＝eq\f(3,2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2))).又l過(guò)點(diǎn)A(2,4)，由兩點(diǎn)式得eq\f(y－\f(3,2),4－\f(3,2))＝eq\f(x－\f(3,2),2－\f(3,2))，即5x－y－6＝0，故直線l的方程為5x－y－6＝0.解法二：設(shè)與l1，l2平行且距離相等的直線l3：x－y＋C＝0，由兩平行直線間的距離公式得eq\f(|C－1|,\r(2))＝eq\f(|C＋1|,\r(2))，解得C＝0，即l3：x－y＝0.由題意得中點(diǎn)M在l3上，又點(diǎn)M在x＋y－3＝0上，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(3,2).))∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2))).又l過(guò)點(diǎn)A(2,4)，故由兩點(diǎn)式eq\f(y－\f(3,2),4－\f(3,2))＝eq\f(x－\f(3,2),2－\f(3,2))，得直線l的方程為5x－y－6＝0.易錯(cuò)點(diǎn)?對(duì)斜率是否存在考慮不全面致誤[典例]求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)且到原點(diǎn)距離為1的直線方程．[錯(cuò)解]∵所求直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)，∴可設(shè)直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.∵原點(diǎn)到此直線的距離為1，∴eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，∴所求直線方程為y－2＝eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0.[錯(cuò)因分析]本題出錯(cuò)的根本緣由在于思維不嚴(yán)密，當(dāng)用待定系數(shù)法確定直線斜率時(shí)，肯定要對(duì)斜率是否存在的狀況進(jìn)行探討，否則簡(jiǎn)單犯解析不全的錯(cuò)誤．[正解]①當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)且垂直于x軸時(shí)，直線方程為x＝1，原點(diǎn)(0,0)到直線的距離等于1，所以滿意題意．②當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)且與x軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，又由原點(diǎn)到此直線距離等于1，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，所以直線方程為y－2＝eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0.綜上所述，所求直線方程為x＝1或3x－4y＋5＝0.課堂小結(jié)1.應(yīng)用點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為零)距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))的前提是直線方程為一般式．特殊地，當(dāng)直線方程A＝0或B＝0時(shí)，上述公式也適用，且可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求解.2.兩條平行線間的距離處理方法有兩種：一是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，其體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的化歸轉(zhuǎn)化思想.二是干脆套用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，其中l(wèi)1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，(C1≠C2)需留意此時(shí)直線l1與l2的方程為一般式且x，y的系數(shù)分別相同.1．已知點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長(zhǎng)為()A．10B．5C．8D．6答案A解析設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)，所以|AB|＝eq\r(6－02＋0－82)＝eq\r(36＋64)＝10.2．若點(diǎn)(1,2)到直線x－y＋a＝0的距離為eq\f(\r(2),2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2或2 B.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0 D．－2或0答案C解析由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(|1－2＋a|,\r(12＋－12))＝eq\f(\r(2),2)，即|a－1|＝1，解得a＝2或0.3．已知兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－6或eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)或1C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)D．0或eq\f(1,2)答案A解析eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋12))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋12))