押浙江杭州卷第21題（全等、等腰及相似三角形的性質(zhì)與判定綜合問題）-備戰(zhàn)2023年中考臨考題號(hào)押題【浙江杭州專用】（解析版）

備戰(zhàn)2023年中考臨考題號(hào)押題【浙江杭州專用】押浙江杭州卷第21題（全等、等腰及相似三角形的性質(zhì)與判定）綜合近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷，解答題第21題基本都是以三角形的相關(guān)知識(shí)形式考查。三角形是初中數(shù)學(xué)幾何部分的基礎(chǔ)，解答題第21題一般會(huì)涉及三角形的分類、邊角關(guān)系及性質(zhì)、三角形中幾條重要的線段及其性質(zhì)（角平分線、中線、高線、垂直平分線、中位線）、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等。因此要解答好此類題型，對(duì)三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和題型都必須要熟練掌握和靈活運(yùn)用。1.全等三角形的判定和性質(zhì)解題技巧為：全等三角形的判定和性質(zhì)是三角形部分的重點(diǎn)內(nèi)容，一般三角形常用的有四種判定定理，直角三角形還需加上HL定理。等腰三角形解題技巧為：需要從定義、性質(zhì)和判定三方面去學(xué)習(xí)和掌握，等腰三角形的三線合一性質(zhì)是考試必考的內(nèi)容。此外，在等腰三角中一定要有分類討論意識(shí)，像在一些有關(guān)等腰三角形的幾何綜合題中，經(jīng)常需要運(yùn)用分類討論思想。相似三角形解題技巧為：相似三角形的性質(zhì)及其判定是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，在角度計(jì)算、邊長(zhǎng)計(jì)算及邊角關(guān)系的證明上有非常廣泛的用處，相對(duì)全等三角形，相似三角形的難度會(huì)略大一些，在中考會(huì)直接考查到利用相似測(cè)高或計(jì)算線段長(zhǎng)度。三角形線段解題技巧為：三角形中有角平分線、中線、高線、垂直平分線、中位線這幾個(gè)線段性質(zhì)是考察的重點(diǎn)，了解其性質(zhì)和作用對(duì)解答三角形有至關(guān)重要的作用。1．（2022?杭州）如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，于點(diǎn)，連接，．已知，．（1）求證：．（2）若，求線段的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)外角的性質(zhì)可得，，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)先求出的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，；（2）解：，，，，．2．（2021?杭州）如圖，在中，的平分線交邊于點(diǎn)，于點(diǎn)．已知，．（1）求證：；（2）若，求的面積．【分析】（1）計(jì)算出和，利用等角對(duì)等邊即可證明；（2）利用銳角三角函數(shù)求出即可計(jì)算的面積．【解答】（1）證明：平分，，，，，，，；（2）解：在中，，，，在中，，，，，．3．（2019?杭州）如圖，在中，．（1）已知線段的垂直平分線與邊交于點(diǎn)，連接，求證：．（2）以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑畫弧，與邊交于點(diǎn)，連接．若，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可證得；（2）根據(jù)題意可知，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式即可解答．【解答】解：（1）證明：線段的垂直平分線與邊交于點(diǎn)，，，，；（2）根據(jù)題意可知，，，，，，，．1．（2023?桐廬縣一模）如圖，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝∠CAE，邊DE與AC相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）如果AE∥BC，DA＝DC，連結(jié)CE．求證：四邊形ADCE是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析；【分析】（1）由等角加同角相等可得∠BAC＝∠DAE，由△ABC和△ADE的頂角相等，且都是等腰三角形，以此即可證明△ABC∽△ADE；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，進(jìn)而得到∠ADF＝∠CDF，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AF＝CF，再通過AAS證明△AEF≌△CDF，得到AE＝CD，由對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCE為平行四邊形，最后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明四邊形ADCE是菱形．【詳解】（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+CAD，即∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠ACB=12(180°?∠BAC)，∠ADE＝∠∵∠BAC＝∠DAE，∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E，∴△ABC∽△ADE；（2）證明：如圖，∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，由（1）可知，∠DCF＝∠ADF＝∠AEF，∴∠ADF＝∠CDF，∵DA＝DC，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，∠AEF=∠CDF∠EAF=∠DCF∴△AEF≌△CDF（AAS），∴AE＝CD，∵AE∥CD，AE＝CD，∴四邊形ADCE為平行四邊形，∵DA＝DC，∴平行四邊形ADCE為菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．菱形的判定：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）．②四條邊都相等的四邊形是菱形．③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．2．（2023?西湖區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且DF∥BC，EF∥AB．（1）求證：△FEC∽△ADF；（2）設(shè)CF=13①若EF＝3，求線段AB的長(zhǎng)；②若S△FEC＝1，求S△ADF的值．【答案】（1）詳見解答；（2）AB＝9，S△ADF＝4．【分析】（1）利用平行線判定相似的方法，分別說明△ADF與△ABC、△CEF與△CBA相似，得結(jié)論；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC．∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA．∴△FEC∽△ADF．（2）解：∵△CEF∽△CBA，∴CFAC∴AB＝3EF＝9．∵CF=13∴CFAF∵△FEC∽△ADF，∴S△FECS△ADF=（CF∴S△ADF＝4S△FEC＝4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023?拱墅區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．（1）求證：△DCE∽△BCA；（2）若AB＝6，AC＝8，求BDCD【答案】（1）證明見解析；（2）34【分析】（1）利用角平分線的定義，平行線的判定定理和相似三角形的判定定理解答即可；（2）利用（1）的結(jié)論，相似三角形的性質(zhì)定理，列出比例式求得AE，EC，再利用平行線分線段成比例定理解答即可．【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠EAD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB，∴△DCE∽△BCA；（2）解：∵∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，設(shè)DE＝x，則CE＝AC﹣AE＝8﹣x，∵△DCE∽△BCA，∴DEAB∴x6∴x=24∴AE=247，CE＝CA﹣AE由（1）知：DE∥AB，∴BDCD【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022?拱墅區(qū)校級(jí)二模）如圖．已知BD是∠ABC的角平分線，E是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)且AE＝AB．（1）求證：△ADE∽△CDB；（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解答過程；（2）245【分析】（1）BD是角平分線可得∠ABD＝∠CBD，AE＝AB可得∠ABD＝∠E，從而∠CDB＝∠E，再利用對(duì)頂角相等可得∠CDB＝∠ADE，根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)論；（2）由（1）中的結(jié)論，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，將已知線段代入可求BC．【詳解】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD．∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠E．∴∠E＝∠CBD．∵∠EDA＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB．（2）解：∵AE＝AB，AB＝6，∴AE＝6．∵△ADE∽△CDB，∴AEBC∵BD＝4，DE＝5，∴6BC∴BC=24【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確合理的使用相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022?下城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BD，BD＝AB．（1）設(shè)∠C＝50°時(shí)，求∠ABD的度數(shù)；（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）20°；（2）145【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠C＝50°，則可求出答案；（2）過點(diǎn)B作BM⊥BC于點(diǎn)M，BN⊥AC于點(diǎn)N，由勾股定理可得出AM＝4，由勾股定理得出25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，則可得出答案．【詳解】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵BD＝AB，∴∠BDA＝∠A＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，（2）解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，BN⊥AC于點(diǎn)N，設(shè)AN＝x，則CN＝5﹣x，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴M是BC的中點(diǎn)，∵AB＝5，BC＝6，∴AM=A∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，∴x=7∴AD＝2AN=14【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．6．（2021?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，D，E為△GCF中GF邊上兩點(diǎn)，過D作AB∥CF交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，AE＝CE．（1）求證：△ADE≌△CFE；（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過程見解析；（2）7．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠ECF，則可證明△ADE≌△CFE（ASA）；（2）證明△GBD∽△GCF，由相似三角形的性質(zhì)得出GBGC=DBFC，求出【詳解】（1）證明：∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，∠A=∠ECFAE=CF∴△ADE≌△CFE（ASA）；（2）解：∵DB∥CF，∴△GBD∽△GCF，∴GBGC∵GB＝4，BC＝6，BD＝2，∴GC＝GB+BC＝10，∴410∴CF＝5，∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝5，∴AB＝AD+BD＝5+2＝7．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?拱墅區(qū)模擬）在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師出示一個(gè)問題：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的一點(diǎn)，BE與CD交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；要求同學(xué)們從這三個(gè)等式中選出兩個(gè)作為已知條件，從而可以證明AB＝AC．請(qǐng)你先寫出你的選擇①③或②③（只需寫序號(hào)），并給出你的證明．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一組解答計(jì)分．【答案】①③或②③．【分析】證△DOB≌△EOC（AAS），得OB＝OC，則∠OBC＝∠OCB，再證∠ABC＝∠ACB，然后由等腰三角形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：選擇①③，證明如下：在△DOB和△EOC中，∠BOD=∠COE∠DBO=∠ECO∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠DBO＝∠OCB+∠ECO，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；選擇②③，證明如下：在△DOB和△EOC中，∠BOD=∠COE∠BDO=∠CEO∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠DBO＝∠OCB+∠ECO，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；故答案為：①③或②③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2022?蕭山區(qū)二模）在①角平分線；②中線；③高線．這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在△ABC中，BD，CE兩條高線分別交AC，AB于點(diǎn)D，E．若BD＝CE，求證：AB＝AC．【答案】高線，證明見解析．【分析】解根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝∠AEC＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：選擇③高線．證明如下：方法一：∵BD，CE是△ABC的兩條高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ADB和△AEC中，∠ADB=∠AEC∠A=∠A∴△ADB≌△AEC（AAS），∴AB＝AC；方法二：∵BD，CE是△ABC的兩條高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△Rt△BDC和Rt△CEB中，BD=CEBC=CB，∴△Rt△BDC≌Rt△CEB（HL），∴AB＝AC；方法三：∵BD，CE是△ABC的兩條高，∴S△ABC=12AB?CE=12AC?BD，∴AB＝AC；故答案為：高線．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的高，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022?西湖區(qū)校級(jí)二模）在圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．（1）①如圖1．當(dāng)∠ABE＝45°，c＝22時(shí)，a＝25，b＝25．②如圖2．當(dāng)∠ABE＝30°，c＝8時(shí)，a＝413，b＝47．（2）觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明．【答案】（1）①25，25，②413，47；（2）見解答過程．【分析】（1）先判斷△ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后計(jì)算即可；（2）先設(shè)AP＝m，BP＝n，表示出線段PE，PF，最后利用勾股定理即可．【詳解】解：（1）①如圖1，連接EF，則EF是△ABC的中位線，∴EF=12AB∵∠ABE＝45°，AE⊥EF，∴△ABP是等腰直角三角形，∵EF∥AB，∴△EFP也是等腰直角三角形，∴AP＝BP＝2，EP＝FP＝1，∴AE＝BF=5∴a＝BC＝2BF＝25，b＝AC＝2AE＝25；故答案為：25，25；②如圖2，連接EF，則EF是△ABC的中位線．∵∠ABE＝30°，AE⊥BF，AB＝8，∴AP＝4，BP=3AP＝43∵EF∥AB，EF=12∴PF=12EF＝2，PE=3∴AE＝27，BF＝213，∴BC＝a＝2BF＝413，b＝AC＝2AE＝47；故答案為：413，47．（2）a2+b2＝5c2，理由如下：如圖3，連接EF，設(shè)AP＝m，BP＝n，則c2＝AB2＝m2+n2，∵EF∥AB，EF=12∴PE=12BP=12n，PF=∴AE2＝AP2+PE2＝m2+14n2，BF2＝PF2+BP2=14m2∴b2＝AC2＝4AE2＝4m2+n2，a2＝BC2＝4BF2＝4n2+m2，∴a2+b2＝5（m2+n2）＝5c2．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理是解本題的關(guān)鍵．10．（2022?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在①AE＝AF，②∠EAD＝∠FAD，③DE＝DF這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，DE，DF分別是△ABD和△ACD高，EF交AD于O，若①（答案不唯一）．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）若AB+AC＝8，DE＝4，求△ABC的面積．【答案】①（答案不唯一）；（1）證明見解答過程；（2）16．【分析】利用全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：若①，（1）證明：∵DE，DF分別是△ABD和△ACD高，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=ADAE=AF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴DE＝DF，∵DE＝4，∴DF＝4，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AB?DE+12AC?DF=12AB×4+∵AB+AC＝8，∴S△ABC＝16，故答案為：①（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022?濱江區(qū)二模）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為BC上一點(diǎn)，AE交CD于F，且∠AFD＝∠B．（1）求證：AE⊥BC．（2）若∠AFD＝45°，∠BAC＝75°，AB=62，求△ABC【答案】（1）證明見解析；（2）18+63【分析】（1）根據(jù)CD⊥AB，可得∠B+∠BCD＝90°，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠B＝∠CFE，進(jìn)一步即可得證；（2）先判定△ABE是等腰直角三角形，可得AE＝BE＝6，再解直角三角形可得CE的長(zhǎng)，再求△ABC的面積即可．【詳解】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，又∵∠AFD＝∠B，∴∠B＝∠CFE，∴∠CFE+∠BCD＝90°，∴∠CEF＝90°，∴AE⊥BC；（2）解：∵∠AFD＝45°，∴∠B＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB=62∴AE＝BE＝6，∵∠BAC＝75°，∴∠EAC＝30°，∴EC＝AE?tan30°=23∴BC＝6+23∴△ABC的面積=1【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022?拱墅區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），連接CE交AD于點(diǎn)F，∠AFE＝∠B．（1）求證：CE⊥AB．（2）若BE＝3，BD＝4，DC＝1，求△ACF的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）5524【分析】（1）利用等量代換和三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）利用勾股定理和三角形相似來推理即可．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠B＝90°，∵∠AFE＝∠B，∠BAD+∠B＝90°，∴∠AFE+∠BAD＝90°，∵∠AEF+∠AFE+∠BAD＝180°，∴∠AEF＝90°，即CE⊥AB；（2）解：∵BD＝4，DC＝1，∴BC＝5，∴CE=5∵∠ADB＝∠CEB＝90°，∠FCD＝∠BCE，∴△CFD∽△CBE，∴CFCB∴CF5∴CF=54，DF∵∠AFE＝∠CFD，∴sin∠AFE＝sin∠CFD，∴AEAF=CDCF而AF2＝AE2+EF2，∴AF∴AF=55∴S=1=55【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練地利用相似三角形與銳角三角函數(shù)求解三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．13．（2022?西湖區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，AC＝BC，tanA＝1．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說明理由．（2）點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，且∠DCB＝5∠ACD，①求∠ACD的度數(shù)．②當(dāng)AB＝6時(shí)，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形，理由見解析；（2）15°；②23．【分析】（1）由三角函數(shù)的定義得到AE＝CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝90°，即可得到△ABC是等腰直角三角形；（2）①由∠ACB＝90°和∠DCB＝5∠ACD即可求出∠ACD；②求出∠DCE＝30°，在RtCDE中，解直角三角形即可CD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∵AC＝BC，∴AE＝BE，∠A＝∠B，在RtACE中，tanA=CE∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE＝45°，∴∠B＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）由（1）知∠ACB＝90°．①∵∠DCB＝5∠ACD，∴∠ACD=16∠ACB②∵AC＝BC，CE⊥AB，AB＝6，∴AE＝BE=12∴CE＝3，∵∠ACD＝15°，∠ACE＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝30°，在Rt△CDE中，CE＝3，∠DCE＝30°，cos∠DCE=CE∴3CD∴CD＝23．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合題，等腰直角三角形的判定，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結(jié)CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠DCA的度數(shù)；（2）若∠DCA＝x°，求∠EBC的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）．【答案】（1）10°；（2）70°﹣x°．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDC＝∠BCD=12×（180°﹣80°）＝50°，根據(jù)三角形的內(nèi)角定理得到∠ACB（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝10°；（2）在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠A+∠DCA＝40°+x°，∴∠ACB＝∠BCD+∠DCA＝40°+x°+x°＝40°+2x°，∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC=12（180°﹣∠ACB）=12（180°﹣40°﹣2【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．15．（2022?錢塘區(qū)二模）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE＝BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．求證：①△ABD≌△EBC；②AE＝CE；③BA+BC＝2BF．【答案】（1）見解答過程；（2）見解答過程；（3）見解答過程．【分析】①由BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，利用“SAS”即可證明結(jié)論；②由△BCD和△BEA為等腰三角形，∠ABD＝∠EBC，得出∠BCD＝∠BEA，由△ABD≌△EBC可得∠BCE＝∠BDA，由∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA得出∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，進(jìn)而得出∠DCE＝∠DAE，即可證明AE＝EC；③過點(diǎn)E作EG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由“HL”得出Rt△BFE≌Rt△BGE和Rt△BFE≌Rt△BGE，從而得出BF＝BG，F(xiàn)A＝CG，再通過等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】證明：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD與△EBC中，AB=EB∠ABD=∠EBD∴△ABD≌△EBC（SAS）；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∴∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，∵BD＝BC，BE＝BA，∴△BCD和△BEA為等腰三角形，∵∠ABD＝∠EBC，∴∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴AE＝EC；③如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，∴EF＝EG，在Rt△BFE與Rt△BGE中，EF=EGBE=BE∴Rt△BFE≌Rt△BGE（HL），∴BF＝BG，在Rt△AFE與Rt△CGE中，EF=EGEA=EC∴Rt△AFE≌Rt△CGE（HL），∴FA＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．16．（2021?蕭山區(qū)二模）如圖，已知等邊△ABC，在AC，BC邊分別取點(diǎn)P，Q，使AP＝CQ，連接AQ，BP相交于點(diǎn)O．（1）求證：△ABP≌△CAQ．（2）若AP=13①求OPOB②設(shè)△ABC的面積為S1，四邊形CPOQ的面積為S2，求S2【答案】（1）證明見解析；（2）①16；②2【分析】（1）由等邊△ABC，可得∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，已知AP＝CQ，利用SAS判定可得結(jié)論；（2）①過點(diǎn)P作PD∥BC，交AO于點(diǎn)D，利用平行線分線段成比例定理可得結(jié)論；②設(shè)△ABC的面積為a，連接PQ，四邊形CPOQ的面積等于△OPQ的面積與△CPQ的面積之和，利用等高的三角形的面積比等于它們底的比，分別用a表示△OPQ的面積與△CPQ的面積，通過計(jì)算，結(jié)論可得．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．在△ABP和△CAQ中，AB=AC∠BAC=∠ACB∴△ABP≌△CAQ（SAS）．解（2）①過點(diǎn)P作PD∥BC，交AO于點(diǎn)D，如圖，∵PD∥BC，∴PDCQ∴PD=13∵AB＝AC＝BC，AP＝CQ=13∴CQ=13∴BQ＝2CQ．∴PD=16∵PD∥BC，∴OPOB②如圖，連接PQ，設(shè)S1＝a，∵AP=13∴CP=23∴S△BPC∵CQ=13∴S△CPQ∴S△BPQ∵OPOB∴OPBP∴S△OPQ∴S2∴S1【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用高相同的三角形的面積的比等于底的比的性質(zhì)表示出兩個(gè)三角形的面積比是解題的關(guān)鍵．17．（2021?西湖區(qū)校級(jí)二模）（1）門框的尺寸如圖1，一塊長(zhǎng)3m，寬2.1m的長(zhǎng)方形薄板能否從門框內(nèi)通過？請(qǐng)通過計(jì)算進(jìn)行說明．（2）放在墻角的立柜（圖2）上下面是一個(gè)等腰直角三角形（圖3），腰長(zhǎng)為1.4m，現(xiàn)要將這個(gè)立柜搬過寬為1.2m的通道，能通過嗎？請(qǐng)通過計(jì)算進(jìn)行說明．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，5【答案】（1）能通過，理由見解答；（2）能通過，理由見解答．【分析】（1）解答此題先要弄清題意，只要求出門框?qū)蔷€的長(zhǎng)再與已知薄木板的寬相比較即可得出答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形可得CD≈0.98m＜1.2m，可得AB邊平行通道兩邊來平移立柜就可以通過．【詳解】解：（1）能，理由是：如圖，連接AC，則AC與AB、BC構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理得，則AC=A∵2.1cm＜2.2cm，∴該長(zhǎng)方形能從門框內(nèi)通過．（將該長(zhǎng)方形的寬沿著AC斜著進(jìn)去）；（2）能，理由是：在等腰直角三角形中（圖3），∵腰長(zhǎng)為1.4m，∴AB=2AC=75∵CD⊥AB，∴CD=12AB=7∵0.98m＜1.2m，∴能通過．（AB邊平行通道兩邊來平移立柜就可以通過）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用．18．（2020?拱墅區(qū)一模）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，點(diǎn)D在AC上．（1）如圖1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求證：∠ECB＝∠A；（2）如圖2，設(shè)BC與DE交于點(diǎn)F．當(dāng)∠ABC＝∠DBE＝45°時(shí)，求證：CE∥AB；（3）在（2）的條件下，若tan∠DEC=12時(shí)，求【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△ABD≌△CBE．得出∠A＝∠ECB；（2）得出△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，證明△ABD∽△CBE，則∠BAD＝∠BCE＝45°，可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)D作DM⊥CE于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN∥AB交CB于點(diǎn)N，設(shè)DM＝MC＝a，得出DN＝2a，CE＝a，證明△CEF∽△NDF，可得出答案．【詳解】（1）證明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等邊三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）證明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴ABBC∴ABBC∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：過點(diǎn)D作DM⊥CE于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN∥AB交CB于點(diǎn)N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，設(shè)DM＝MC＝a，∴DC=2a∵DN∥AB，∴△DCN為等腰直角三角形，∴DN=2DC＝2a∵tan∠DEC=DM∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴CEDN∵CE∥DN，∴△CEF∽△NDF，∴EFDF【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，正確作出輔助線，熟練掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2021?余杭區(qū)模擬）已知