2.3平行線的性質(zhì)（6大題型提分練）七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（北師大版2024）

PAGE1（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章相交線與平行線》2.3平行線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一平行線的性質(zhì)★1、平行線性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(兩直線平行，同位角相等)．性質(zhì)定理2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．性質(zhì)定理3：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．★2、平行線的判定與性質(zhì)平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別：區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)解題技巧提煉兩直線平行時(shí)，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個(gè)性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個(gè)相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù).1．（2024秋?法庫縣期末）如圖，AB∥CD，若∠1＝140°，則∠C的度數(shù)是（）A．40° B．30° C．20° D．10°【分析】先利用平角定義可得：∠2＝40°，然后利用平行線的性質(zhì)即可解答．【解答】解：如圖：∵∠1＝140°，∴∠2＝180°﹣∠1＝40°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝40°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?太康縣期末）如圖，BC⊥AE，垂足為C，CD∥AB，∠A＝50°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由垂線可得∠ACB＝90°，從而可求得∠B的度數(shù)，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．3．（2024秋?簡(jiǎn)陽市期末）如圖，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，則∠4＝（）A．70° B．110° C．140° D．150°【分析】先根據(jù)a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度數(shù)，由平角的定義得出∠5的度數(shù)，再由∠2＝∠3得出∠2的度數(shù)，再得出∠2+∠5的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?成華區(qū)期末）如圖，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝135°，則∠D的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠B+∠D＝180°，而∠B＝135°，即可求出∠D的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵BC∥DE，∴∠C＝∠D，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝135°，∴∠D＝45°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠B+∠D＝180°．5．（2024秋?霍州市期末）如圖，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，則∠2+∠3的和是（）A．200° B．210° C．220° D．230°【分析】由平行線的性質(zhì)可用∠2、∠3分別表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定義可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．6．（2024春?五蓮縣期末）如圖，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．7．（2024秋?安岳縣期末）已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為．【分析】①圖1時(shí)，由兩直線平行，同位角相等，等量代換和角的和差計(jì)算出∠2的度數(shù)為40°；②圖2時(shí)，同兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，等量代換和角的和差計(jì)算出∠2的度數(shù)為140°．【解答】解：①若∠1與∠2位置如圖1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1與∠2位置如圖2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，綜合所述：∠2的度數(shù)為40°或140°，故答案為：40°或140°．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，角的和差，等量代換，鄰補(bǔ)角性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握平行線的性質(zhì)，難點(diǎn)是兩個(gè)角的兩邊分別平行是射線平行，分類畫出符合題意的圖形后計(jì)算．8．（2024春?海淀區(qū)月考）如圖，點(diǎn)C在∠MON的一邊OM上，過點(diǎn)C的直線AB∥ON，CD平分∠ACM．當(dāng)∠DCM＝60°時(shí)，求∠O的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠ACM的度數(shù)，進(jìn)而得出∠OCB的度數(shù)，再依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠O的度數(shù)．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直線AB與OM交于點(diǎn)C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（對(duì)頂角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠O＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的計(jì)算，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．9．如圖，DB∥FG∥EC，A是FG上的一點(diǎn)，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠DAG和∠CAG度數(shù)，然后根據(jù)AP平分∠CAD，即可得到∠PAG的度數(shù)．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（2024秋?海門區(qū)期末）如圖，直線CE，DF相交于點(diǎn)P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度數(shù)；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度數(shù)；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD稱四邊形PCOD的一組“對(duì)角”，則該四邊形的另一組對(duì)角相等嗎？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可求得答案；（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求得答案；（3）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可證得結(jié)論．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線性質(zhì)，熟練掌握并利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直解題技巧提煉準(zhǔn)確識(shí)別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義求解.1．（2024春?永定區(qū)期末）已知：如圖，EF⊥BC，AB∥DG，∠1＝∠2．求證：AD⊥BC．【分析】利用平行線的性質(zhì)，可得∠2＝∠3，依據(jù)∠1＝∠2，即可得到∠1＝∠3，進(jìn)而判定EF∥AD，再根據(jù)EF⊥BC，即可得到AD⊥BC．【解答】證明：∵AB∥DG，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥AD，∵EF⊥BC，∴AD⊥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記：兩直線平行?同位角相等；兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．已知，如圖所示，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，試說明DA⊥AB．【分析】由角平分線的定義和條件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可證明DA∥BC，再由平行線的性質(zhì)可得到∠A＝90°，可證明DA⊥AB．【解答】證明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a∥b，b∥c?a∥c．3．（2024春?龍崗區(qū)期末）已知，如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H，求證：CD⊥AB．【分析】先根據(jù)垂直的定義得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根據(jù)∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠BCD．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代換），∴CD∥FH（同位角相等，兩直線平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（兩直線平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，試說明BC⊥AB．【分析】過E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根據(jù)平行線的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：過E作EF∥AD，交CD于F，則∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義的應(yīng)用，能正確作出輔助線，并綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．5．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF平分∠DCE．求證：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分線定義可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，進(jìn)而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=1【解答】證明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠∴∠CGF=12∠∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠∴∠FCG=12∠∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線判定定理和性質(zhì)定理．題型三利用平行線的性質(zhì)解決實(shí)際問題解題技巧提煉給出一個(gè)實(shí)際問題，聯(lián)系平行線的性質(zhì)解答實(shí)際問題，有時(shí)需要通過作輔助線構(gòu)造平行線，同時(shí)還會(huì)綜合運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì).1．（2024秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）光從空氣斜射入水中，傳播方向會(huì)發(fā)生變化．如圖，表示水面的直線AB與表示水底的直線CD平行，光線EF從空氣射入水中，改變方向后射到水底G處，F(xiàn)H是EF的延長(zhǎng)線，若∠1＝42°，∠2＝16°，則∠CGF的度數(shù)是（）A．58° B．48° C．26° D．32°【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定義得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．【解答】解∵AB∥CD，∴∠CGF+∠AFG＝180°，∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠CGF+∠AFG＝180°．2．（2024秋?深圳期末）太陽灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從點(diǎn)O照射到拋物線上的光線OB，OC反射后沿著與PO平行的方向射出，已知圖中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，則∠OCD的度數(shù)為（）A．88° B．89° C．90° D．91°【分析】依題意得AB∥OP∥CD，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，從而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，進(jìn)而可得∠OCD的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2024春?滄縣期中）某學(xué)員在駕校練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反，則兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分別判斷得出即可．【解答】解：∵兩次拐彎后，按原來的相反方向前進(jìn)，∴兩次拐彎的方向相同，形成的角是同旁內(nèi)角，且互補(bǔ)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出是解題關(guān)鍵．4．如圖是潛望鏡工作原理示意圖，陰影部分是平行放置在潛望鏡里的兩面鏡子．已知光線經(jīng)過鏡子反射時(shí)，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線l為什么和離開潛望鏡的光線m是平行的？【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合條件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可證得∠5＝∠6，可證明l∥m，據(jù)此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代換），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定義），即：∠5＝∠6（等量代換），∴l(xiāng)∥m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a∥b，b∥c?a∥c．5．（2024秋?市南區(qū)期末）如圖是一種躺椅及其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面，靠背DM與支架OE平行，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，當(dāng)前支架OE與后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°時(shí)，人躺著最舒服，則此時(shí)扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)OE∥DM即可求出∠ANM的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案為：122°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，在A、B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測(cè)得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時(shí)開工，若干天后公路準(zhǔn)確接通，若公路AB長(zhǎng)8千米，另一條公路BC長(zhǎng)是6千米，且BC的走向是北偏西42°，則A地到公路BC的距離是千米．【分析】根據(jù)方位角的概念，圖中給出的信息，再根據(jù)已知轉(zhuǎn)向的角度求解．【解答】解：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距離是AB＝8千米，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題是方向角問題，結(jié)合生活中的實(shí)際問題，將解三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．7．（2024秋?東莞市校級(jí)期末）如圖為某椅子的側(cè)面圖，∠DEF＝120°．DE與地面平行，∠ABD＝50°，則∠ACB＝．【分析】根據(jù)平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等，進(jìn)行求解即可．【解答】解：由題意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案為：70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?市南區(qū)期末）圖1是一打孔器的實(shí)物圖，圖2是使用打孔器的側(cè)面示意圖，AD∥BC，使用打孔器時(shí)，AD，DE，DC分別移動(dòng)到AD′，D′E′，D′C．此時(shí)D′E′∥BC，DD′平分∠ADC，若∠DD′E′＝62°，則∠DCB＝°．【分析】根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得：AD∥D′E′，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ADD′＝∠DD′E′＝62°，再利用角平分線的定義可得∠ADC＝124°，最后利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵D′E′∥BC，AD∥BC，∴AD∥D′E′，∴∠ADD′＝∠DD′E′＝62°，∵DD′平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADD′＝124°，∵AD∥BC，∴∠DCB＝180°﹣∠ADC＝56°，故答案為：56．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?香坊區(qū)期末）共享單車為市民的綠色出行提供了方便．圖①是某品牌共享單車的實(shí)物平面圖，圖②是其部分結(jié)構(gòu)示意圖，其中AB∥ED，∠ABC＝115°，∠EDC＝135°，則∠BCD的度數(shù)為°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【解答】解：過點(diǎn)C作CM∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥CM∥ED，∴∠ABC+∠BCM＝180°，∠EDC+∠DCM＝180°，∵∠ABC＝115°，∠EDC＝135°，∴∠BCM＝65°，∠DCM＝45°，∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM＝110°，故答案為：110．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．10．（2024春?岱岳區(qū)期末）如圖，EF，MN分別表示兩面互相平行的鏡面，一束光線AB照射到鏡面MN上，反射光線為BC，此時(shí)∠1＝∠2；光線BC經(jīng)鏡面EF反射后的反射光線為CD，此時(shí)∠3＝∠4，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】先根據(jù)MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，據(jù)此得出結(jié)論．【解答】解：AB∥CD．理由：∵M(jìn)N∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．題型四借助三角尺求角的度數(shù)解題技巧提煉借助三角尺求角的度數(shù)主要是利用三角尺的特征，結(jié)合平行線的性質(zhì)一般解決求角的度數(shù)問題.1．（2024秋?西湖區(qū)期末）一塊直角三角板和直尺按如圖方式放置，已知∠1＝53°，則∠2的度數(shù)為（）A．37° B．47° C．117° D．127°【分析】通過平角，直角的應(yīng)用，即可計(jì)算出∠2的度數(shù)．【解答】解：如圖，∠CAB＝90°，∵∠1＝53°，∴∠2＝180﹣∠CAB﹣∠1＝180°﹣90°﹣53°＝37°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角度的計(jì)算，認(rèn)識(shí)圖形，并能熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?禪城區(qū)期末）如圖，直線m∥n，一把含30°角的直角三角尺按所示位置擺放，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【分析】根據(jù)已知易得：∠DCB＝120°，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ABC＝60°，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：∵∠1＝30°，∠4＝90°，∴∠DCB＝∠1+∠4＝120°，∵直線m∥n，∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，∵∠3＝30°，∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝30°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?鹽田區(qū)期末）把一塊含有45°角的三角尺與兩條長(zhǎng)邊平行的直尺按如圖所示方式放置（直角頂點(diǎn)在直尺的一條邊上）．若∠2＝25°，則∠1＝（）A．50° B．60° C．70° D．65°【分析】先利用三角形的外角性質(zhì)可得∠3＝70°，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠3＝70°，即可解答．【解答】解：如圖：∵∠3是△CEF的一個(gè)外角，∴∠3＝∠2+∠F＝25°+45°＝70°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝70°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?瓊海期中）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)按如圖所示擺放在直尺的一邊上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求解．【解答】解：∵兩直線平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故選項(xiàng)A不符合題意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合題意；由題意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故選項(xiàng)B不符合題意；∵兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∴∠3+∠4＝180°，故選項(xiàng)C不符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)定理．5．（2024秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，一副三角尺按如圖所示放置，∠AEG＝20°，則∠HFD的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【分析】將∠AEG，∠GEF的度數(shù)，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度數(shù)，由AB∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可求出∠DFE的度數(shù)，再結(jié)合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度數(shù)．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．6．（2024秋?榆樹市校級(jí)期末）把一副三角板按如圖所示擺放，使FD∥BC，點(diǎn)E落在CB的延長(zhǎng)線上，則∠BDE的大小為度．【分析】由題意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行線的性質(zhì)可得∠BDF＝∠ABC＝60°，從而可求∠BDE的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．7．（2024秋?新野縣期末）如圖，直線m∥n，且分別與直線l交于A，B兩點(diǎn)，把一塊含60°角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠2＝98°，則∠1＝．【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠4的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案為：52°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記平行線的性質(zhì)．8．（2024秋?法庫縣期末）如圖，一副三角尺按如圖方式擺放．若直線a∥b，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為．【分析】根據(jù)已知易得：∠ABD＝80°，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠4＝∠ABD＝80°，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：∵∠1＝50°，∠3＝30°，∴∠ABD＝∠1+∠3＝80°，∵a∥b，∴∠4＝∠ABD＝80°，∵∠CAB＝90°，∴∠2＝∠CAB﹣∠4＝10°，故答案為：10°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?鹽城期末）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，則∠ACD的度數(shù)為．【分析】過點(diǎn)C作CF∥AB，則有AB∥CF∥DE，從而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度數(shù)．【解答】解：過點(diǎn)C作CF∥AB，如圖，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案為：105°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．10．（2024秋?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，已知∠ABC．畫直線DE∥BC，DE與AB相交于點(diǎn)O．現(xiàn)將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)O處，頂點(diǎn)M、N落在DE同側(cè)，并使OM平分∠AOD．（1）當(dāng)∠ABC＝54°時(shí)，求∠AOM的度數(shù)；（2）畫∠ABC的平分線BF，那么ON與BF有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【分析】（1）DE∥BC，得到∠ABC＝∠AOE，從而得到∠AOD的度數(shù)，利用角平分線，得到結(jié)果；（2）DE∥BC，得到∠ABC+∠EOB＝180°，結(jié)合對(duì)頂角相等，以及角平分線的定義，得到∠AOM+∠ABF＝90°，利用同角的余角相等，得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∠ABC＝54°，∴∠ABC＝∠AOE＝54°，∵∠AOD+∠AOE＝180°，∴∠AOD＝126°，∵OM平分∠AOD，∴∠AOM=12∠（2）ON∥BF，理由如下：過B點(diǎn)作∠ABC的平分線BF，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠EOB＝180°，∵∠EOB＝∠AOD，∴∠ABC+∠AOD＝180°，∵OM平分∠AOD，BF平分∠ABC，∴∠AOD＝2∠AOM，∠ABC＝2∠ABF，∴2∠AOM+2∠ABF＝180°，∴∠AOM+∠ABF＝90°，∵∠AOM+∠AON＝90°，∴∠ABF＝∠AON，∴ON∥BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題解題技巧提煉結(jié)合長(zhǎng)方形的性質(zhì)，對(duì)邊是互相平行的，從而綜合折疊的特征和平行線的性質(zhì)求解即可.折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發(fā)生了變化.1．（2024秋?西山區(qū)校級(jí)期末）如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊后，ED與BF交于G點(diǎn)，若∠EFG＝50°，則∠BGE的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】利用翻折的性質(zhì)，得∠DEF＝∠GEF；然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，求得∠BGE＝∠DEG，∠DEF＝∠EFG；最后由等量代換求得∠BGE的度數(shù)．【解答】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)，得∠DEF＝∠GEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG，∠BGE＝∠DEG＝2∠DEF，∵∠EFG＝50°，∴∠DEF＝50°，∴∠BGE＝2∠DEF＝100°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換（折疊問題）．正確觀察圖形，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?陳倉(cāng)區(qū)期末）如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)C′，D′處，D′E與BF交于點(diǎn)G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數(shù)是（）A．77° B．64° C．26° D．87°【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠AEG的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可得出∠α的度數(shù)．【解答】解：∵矩形紙條ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折疊可得，∠α=12∠DEG故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊問題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3．（2024?沭陽縣模擬）已知長(zhǎng)方形紙條ABCD，點(diǎn)E，G在AD邊上，點(diǎn)F，H在BC邊上．將紙條分別沿著EF，GH折疊，如圖，當(dāng)DC恰好落在EA'上時(shí)，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折疊得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠∴∠1+∠2＝135°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊的性質(zhì)和角平分線的定義，由折疊的性質(zhì)得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠4．（2024秋?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，若∠1＝70°，則∠2＝°．【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠ACF＝∠1＝70°，由折疊的性質(zhì)得到∠ACB＝∠ACF＝70°，由平角定義即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ACF＝∠1＝70°，由折疊的性質(zhì)得到：∠ACB＝∠ACF＝70°，∴∠2＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠ACF＝∠1＝70°，由折疊的性質(zhì)得到∠ACB＝∠ACF．5．（2023?臺(tái)州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．【分析】利用平行線的性質(zhì)和各角之間的關(guān)系即可求解．【解答】解：如圖，標(biāo)注三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵圖案是由一張等寬的紙條折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵紙條的長(zhǎng)邊平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案為：140°．【點(diǎn)評(píng)】本題比較簡(jiǎn)單，主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用．6．（2023秋?陽城縣期末）將一張長(zhǎng)方形紙條折成如圖所示的形狀，若∠1＝110°，則∠2＝．【分析】證明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題．【解答】解：如圖，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折變換的性質(zhì)可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案為：55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解翻折變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．7．（2024春?寶安區(qū)期中）如圖①是長(zhǎng)方形紙帶，∠CFE＝55°，將紙帶沿EF折疊成圖②，再沿GE折疊成圖③，則圖③中∠DEF的度數(shù)是．【分析】根據(jù)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，則∠AEF＝∠CFE＝55°，根據(jù)平角定義，則圖②中的∠DEG＝70°，進(jìn)一步求得圖③中∠GEF＝55°，進(jìn)而求得圖③中的∠DEF的度數(shù)．【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE＝55°，∴∠AEF＝∠CFE＝55°，∠DEF＝125°，∴圖②中的∠GEF＝55°，∠DEG＝180°﹣2×55°＝70°，∴圖③中∠GEF＝55°，∠DEF＝70°﹣55°＝15°．故答案為：15°【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．8．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的兩個(gè)角相差18°，則圖中∠1的度數(shù)為．【分析】設(shè)∠FCD'＝α，則∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠BCE＝α+18°時(shí)，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②當(dāng)∠BCE＝α﹣18°時(shí)，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分別根據(jù)∠BCD＝90°列式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，設(shè)∠FCD'＝α，則∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①當(dāng)∠BCE＝α+18°時(shí)，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②當(dāng)∠BCE＝α﹣18°時(shí)，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；綜上所述，圖中∠1的度數(shù)為72°或48°，故答案為：72°或48°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊問題，解題時(shí)注意：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．題型六平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用解題技巧提煉平行線的判定和性質(zhì)在解題中經(jīng)常反復(fù)使用，見到角相等或互補(bǔ)就應(yīng)該聯(lián)想到能否判定兩條直線平行，見到直線平行就應(yīng)該聯(lián)想到能否證明相關(guān)的角相等或互補(bǔ).1．（2024秋??？h期末）如圖a∥b，c與a相交，d與b相交，下列說法：①若∠1＝∠2，則∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，則c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正確的有（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐一進(jìn)行判斷求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，則a∥e∥b，則∠3＝∠4，故此說法正確；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，則∠1＝∠5，則c∥d；故此說法正確；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，則∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此說法正確；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°時(shí)，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此說法錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?仁壽縣期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，則下列結(jié)論：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AD⊥EF，故①符合題意；∠CEF＝∠BCE，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CEF＝∠ACE，故③符合題意；根據(jù)角平分線的定義得到CE平分∠ACB，故②符合題意；根據(jù)已知條件無法證明AB∥CF，故④不符合題意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合題意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合題意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合題意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，則CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定與BC相等，∴無法證明AB∥CF，故④不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB∥CD∥EF，則下列各式中正確的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠2+∠BDC＝180°，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，從復(fù)雜圖形中找出內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．4．（2024春?乾縣期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，CD與EF相交于點(diǎn)H，且∠BDC＝∠DHE，∠DEF＝∠B．求證：DE∥BC．【分析】根據(jù)∠BDC＝∠DHE，推出BD∥EF，得到∠EFC＝∠DEF，由此可得結(jié)論．【解答】解：∵∠BDC＝∠DHE，∴BD∥EF，∴∠B＝∠EFC，∵∠DEF＝∠B，∴∠EFC＝∠DEF，∴DE∥BC．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定及性質(zhì)，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2024春?商南縣期末）如圖，已知點(diǎn)A在射線BG上，∠1+∠3＝180°，∠1＝∠2，∠EAB＝∠BCD，說明EF與CD平行的理由．【分析】先根據(jù)∠1+∠3＝180°得出BG∥EF，再由∠1＝∠2得出AE∥BC，故可得出∠EAB+∠2＝180°，再由∠EAB＝∠BCD可知∠BCD+∠2＝180°，故BG∥CD，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∴BG∥EF，∵∠1＝∠2，∴AE∥BC，∴∠EAB+∠2＝180°，∵∠EAB＝∠BCD，∴∠BCD+∠2＝180°，∴BG∥CD，∴EF∥CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，熟知同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．6．（2024春?鎮(zhèn)江期中）如圖，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直線DE與AB有怎樣的位置關(guān)系？說明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根據(jù)∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根據(jù)∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠CED＝71°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定．7．（2024春?郾城區(qū)期中）如圖，AB∥CD，連接CA交延長(zhǎng)至點(diǎn)H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH與∠AFC互余．（1）試判斷AG與CE的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若∠GAF＝110°，求∠AFC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝∠DCF，根據(jù)角平分線的定義可得∠ACF＝∠DCF，進(jìn)而得出∠AFC＝∠ACF，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ECH＝∠GAH，從而得出AG∥CE；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ECD＝∠GAF，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝20°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）AG∥CE，理由如下：證明：∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∵CF平分∠ACD，∴∠FCD＝∠ACF，∴∠AFC＝∠ACF，又∵CE⊥CF，∠GAH與∠AFC互余，∴∠ECH＝∠GAH，∴AG∥CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠HCD＝∠HAF，∵AG∥CE，∴∠HCE＝∠HAG，∴∠ECD＝∠GAF＝110°，又∵CE⊥CF，∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝20°，∴