《集合區(qū)間鄰域》課件

《集合區(qū)間鄰域》課程大綱集合概念回顧集合的基本概念：元素、子集、交集、并集、差集、補(bǔ)集等鄰域概念鄰域的概念：開(kāi)鄰域、閉鄰域、點(diǎn)集的鄰域、開(kāi)球和閉球等集合性質(zhì)聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)、閉包、極限點(diǎn)、精密性、緊集、稠密集等拓?fù)湫再|(zhì)鄰域的拓?fù)湫再|(zhì)：連通性、連通域、分離公理、拓?fù)淇臻g的定義、基本定理、同構(gòu)、子空間拓?fù)浼细拍罨仡櫦隙x集合是由一些確定的、具體的、不同的對(duì)象的總體。集合表示集合可以用列舉法、描述法和圖示法表示。集合關(guān)系集合之間存在包含、相等、并集、交集等關(guān)系。鄰域概念點(diǎn)集在數(shù)學(xué)中，鄰域是包含特定點(diǎn)的點(diǎn)集圓形鄰域以特定點(diǎn)為中心的圓形區(qū)域方形鄰域以特定點(diǎn)為中心的方形區(qū)域開(kāi)集和閉集開(kāi)集一個(gè)集合被稱(chēng)為開(kāi)集，如果它不包含任何邊界點(diǎn)。閉集一個(gè)集合被稱(chēng)為閉集，如果它包含所有邊界點(diǎn)。開(kāi)集與閉集的關(guān)系一個(gè)集合既是開(kāi)集又是閉集，當(dāng)且僅當(dāng)它是空集或整個(gè)空間。集合上的距離1距離定義在集合中，距離指的是兩個(gè)元素之間的差異大小，通常用一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)來(lái)表示。2距離性質(zhì)距離滿(mǎn)足一些基本性質(zhì)，包括非負(fù)性、對(duì)稱(chēng)性、三角不等式等。3距離度量不同的距離度量方式可以反映不同類(lèi)型的差異，例如歐幾里得距離、曼哈頓距離等。開(kāi)球和閉球開(kāi)球在度量空間中，以某一點(diǎn)為中心，以某一正數(shù)為半徑的開(kāi)球是一個(gè)集合，該集合包含了所有距離中心點(diǎn)小于該半徑的點(diǎn)。閉球在度量空間中，以某一點(diǎn)為中心，以某一正數(shù)為半徑的閉球是一個(gè)集合，該集合包含了所有距離中心點(diǎn)小于等于該半徑的點(diǎn)。開(kāi)鄰域和閉鄰域1開(kāi)鄰域包含點(diǎn)x的開(kāi)球2閉鄰域包含點(diǎn)x的閉球3鄰域既是開(kāi)鄰域也是閉鄰域聚點(diǎn)和孤立點(diǎn)1聚點(diǎn)對(duì)于一個(gè)集合中的點(diǎn)，如果該點(diǎn)存在一個(gè)以其為中心的任意小的開(kāi)鄰域，這個(gè)開(kāi)鄰域中始終包含除該點(diǎn)本身外的其他點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為該集合的聚點(diǎn)。2孤立點(diǎn)與聚點(diǎn)相反，如果一個(gè)集合中的點(diǎn)存在一個(gè)以其為中心的開(kāi)鄰域，這個(gè)開(kāi)鄰域中不包含除該點(diǎn)本身外的其他點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為該集合的孤立點(diǎn)。集合的內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)x是集合S的內(nèi)點(diǎn)，如果存在一個(gè)以x為中心的鄰域，完全包含在S中。邊界點(diǎn)點(diǎn)x是集合S的邊界點(diǎn)，如果以x為中心的任意鄰域，都包含屬于S的點(diǎn)和不屬于S的點(diǎn)。集合的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義集合的導(dǎo)數(shù)由所有集合的聚點(diǎn)組成。也就是說(shuō)，導(dǎo)數(shù)集合中的點(diǎn)是該集合的極限點(diǎn)。極限點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)是集合的極限點(diǎn)，如果該點(diǎn)在集合中，或者該點(diǎn)是集合的聚點(diǎn)。閉包的概念集合的閉包一個(gè)集合的閉包是指包含該集合本身及其所有極限點(diǎn)的最小閉集。它表示該集合的“閉合”程度，即包含了所有接近該集合的點(diǎn)。閉包的意義閉包的概念在拓?fù)鋵W(xué)中非常重要，它可以幫助我們理解集合的邊界、連續(xù)性和收斂性等重要概念。閉包也可以用于定義一些重要的拓?fù)湫再|(zhì)，例如緊致性。閉包的性質(zhì)包含性閉包包含自身的所有點(diǎn)。封閉性閉包包含自身的所有極限點(diǎn)。最小性閉包是包含自身所有點(diǎn)的最小閉集。集合的極限點(diǎn)定義若點(diǎn)x不屬于集合A，但存在A中的點(diǎn)列{xn}，使得當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，xn趨于x，則稱(chēng)x為A的極限點(diǎn)。解釋極限點(diǎn)可以理解為集合A的邊界點(diǎn)，它們雖然不屬于A，但可以無(wú)限接近A。換句話說(shuō)，極限點(diǎn)是A的"臨界點(diǎn)"，它們決定了A的"形狀"和"邊界"。集合的精密性集合的精密性是指一個(gè)集合中所有點(diǎn)都緊密地聚集在一起，沒(méi)有“空隙”。精密性可以用于描述集合的“緊湊程度”，即集合中所有點(diǎn)之間的距離是否足夠小。精密性與集合的邊界密切相關(guān)，一個(gè)精密集合的邊界可能很小或不存在。緊集與非緊集緊集在拓?fù)淇臻g中，如果集合中的任意一個(gè)無(wú)窮序列都存在收斂子序列，那么這個(gè)集合就叫做緊集。非緊集反之，如果集合中存在一個(gè)無(wú)窮序列，它沒(méi)有收斂子序列，那么這個(gè)集合就叫做非緊集。稠密集與非稠密集稠密集在拓?fù)淇臻g中，如果一個(gè)集合的閉包等于整個(gè)空間，則該集合稱(chēng)為稠密集。非稠密集在拓?fù)淇臻g中，如果一個(gè)集合的閉包不是整個(gè)空間，則該集合稱(chēng)為非稠密集。鄰域的拓?fù)湫再|(zhì)1開(kāi)放性任何一個(gè)點(diǎn)的鄰域都是一個(gè)開(kāi)集。2包含性如果一個(gè)集合是另一個(gè)集合的鄰域，那么它一定包含這個(gè)集合。3有限覆蓋性任何一個(gè)點(diǎn)的鄰域都可以被有限個(gè)開(kāi)集覆蓋。鄰域的基本結(jié)構(gòu)點(diǎn)集拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)鄰域是點(diǎn)集拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，定義了拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的“附近”區(qū)域。開(kāi)集和閉集鄰域用于定義開(kāi)集和閉集，它們構(gòu)成拓?fù)淇臻g的基本元素。聚點(diǎn)和孤立點(diǎn)鄰域幫助區(qū)分聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）和孤立點(diǎn)，它們對(duì)理解集合的性質(zhì)至關(guān)重要。連通性與連通域連通性一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果不能被分成兩個(gè)互不相交的非空開(kāi)集，則稱(chēng)為連通的。連通域一個(gè)連通的拓?fù)淇臻g中的一個(gè)最大連通子集稱(chēng)為連通域。分離公理T0公理對(duì)于任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x和y，存在一個(gè)開(kāi)集包含x但不包含y，或存在一個(gè)開(kāi)集包含y但不包含x。T1公理對(duì)于任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x和y，存在兩個(gè)開(kāi)集分別包含x和y，且這兩個(gè)開(kāi)集沒(méi)有交集。T2公理(Hausdorff公理)對(duì)于任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x和y，存在兩個(gè)不相交的開(kāi)集，分別包含x和y。T3公理(正則性)對(duì)于任意一點(diǎn)x和包含x的閉集F，存在兩個(gè)不相交的開(kāi)集，分別包含x和F。拓?fù)淇臻g的定義1集合拓?fù)淇臻g是一個(gè)集合X，它包含所有點(diǎn)。2拓?fù)渫負(fù)涫且粋€(gè)集合τ，它包含X的子集，稱(chēng)為開(kāi)集。開(kāi)集必須滿(mǎn)足以下條件：3條件空集和X本身都屬于τ。4條件τ中任何有限個(gè)開(kāi)集的交集也屬于τ。5條件τ中任何開(kāi)集的并集也屬于τ。拓?fù)淇臻g的一些例子拓?fù)淇臻g的例子有很多，下面列舉幾個(gè)常見(jiàn)的例子：離散拓?fù)淇臻g：任何子集都是開(kāi)的，因此是閉的。所有子集都是開(kāi)集和閉集。平凡拓?fù)淇臻g：只有空集和整個(gè)空間是開(kāi)的，因此是閉的。只有空集和整個(gè)空間是開(kāi)集和閉集。歐氏空間：歐氏空間是帶有一個(gè)度量（距離函數(shù)）的拓?fù)淇臻g。對(duì)于一個(gè)集合，它包含所有包含它的開(kāi)球的并集。子空間拓?fù)洌和負(fù)淇臻g的一個(gè)子集可以誘導(dǎo)一個(gè)子空間拓?fù)洹３朔e拓?fù)洌簝蓚€(gè)拓?fù)淇臻g的乘積可以誘導(dǎo)出一個(gè)乘積拓?fù)?。拓?fù)淇臻g基本定理連續(xù)性拓?fù)淇臻g上的連續(xù)函數(shù)在同胚映射下保持連續(xù)性。開(kāi)集拓?fù)淇臻g的開(kāi)集在同胚映射下保持開(kāi)集的性質(zhì)。閉集拓?fù)淇臻g的閉集在同胚映射下保持閉集的性質(zhì)。拓?fù)淇臻g的同構(gòu)1定義兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間的雙射映射，如果它和它的逆映射都是連續(xù)的，那么這兩個(gè)拓?fù)淇臻g稱(chēng)為同構(gòu)。2意義同構(gòu)是拓?fù)淇臻g之間的等價(jià)關(guān)系，這意味著兩個(gè)同構(gòu)的拓?fù)淇臻g在拓?fù)湫再|(zhì)上是相同的。3例子實(shí)數(shù)軸上的開(kāi)區(qū)間(0,1)和開(kāi)區(qū)間(1,2)是同構(gòu)的。子空間拓?fù)渥涌臻g拓?fù)涠x設(shè)\(X\)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，\(Y\)是\(X\)的一個(gè)子集，\(Y\)上的子空間拓?fù)涫侵赣蒤(X\)上的開(kāi)集與\(Y\)的交集生成的拓?fù)洹Ｗ涌臻g拓?fù)湫再|(zhì)子空間拓?fù)淅^承了\(X\)上的拓?fù)湫再|(zhì)，例如開(kāi)集、閉集、連續(xù)性等。函數(shù)的連續(xù)性定義如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱(chēng)該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有許多重要的性質(zhì)，例如：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上取得最大值和最小值。應(yīng)用連續(xù)函數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。連續(xù)映射的性質(zhì)保連通性連續(xù)映射保持集合的連通性。如果一個(gè)集合是連通的