社會統(tǒng)計(jì)學(xué)：第4章 正態(tài)分布

第4章正態(tài)分布4.1概率4.2二項(xiàng)分布及其它離散型隨機(jī)變量的分布（選讀）4.3正態(tài)分布描述統(tǒng)計(jì)與推斷統(tǒng)計(jì)的關(guān)系反映客觀現(xiàn)象的數(shù)據(jù)總體內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律性推斷統(tǒng)計(jì)（利用樣本信息和概率論對總體的數(shù)量特征進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn)等）概率論（包括分布理論、大數(shù)定律和中心極限定理等）描述統(tǒng)計(jì)（統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的搜集、整理、顯示和分析等）總體數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)4.1概率一、隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)性、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性二、隨機(jī)事件隨機(jī)事件（簡稱事件）：隨機(jī)現(xiàn)象的每一個(gè)可能結(jié)果及其集合。擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3誕生的嬰兒將是男孩某人將活到90歲三、概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小的數(shù)量表示。4.1.1隨機(jī)事件與概率四、概率和頻率的關(guān)系☆頻率是試驗(yàn)值，具有隨機(jī)性；概率是理論值，具有唯一性?！町?dāng)N趨近于無窮大（或充分大）時(shí)，某隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率可以用其頻率來近似。（頻率亦具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性）

見p67表3-1和圖3-1一、隨機(jī)變量隨機(jī)變量是以“量”的形式來描述隨機(jī)現(xiàn)象。比較隨機(jī)變量與普通變量（固定變量）“圓的面積”與“擲一枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果”二、概率分布隨機(jī)變量每一種可能的取值及每一種取值所對應(yīng)的概率是多少。4.1.2隨機(jī)變量與概率分布概率分布概率分布的一般形式為：（X1，P1）（X2，P2）

（Xn，Pn）

離散型隨機(jī)變量

(discreterandomvariables)隨機(jī)變量只能取有限個(gè)數(shù)值或可列無窮多個(gè)數(shù)值，即所有取值都可以逐個(gè)列舉出來x1,x2，…這些取值都有確定的概率；包括所有的變量層次；3.試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個(gè)人一家餐館營業(yè)一天銷售一輛汽車不贊同改革的人數(shù)顧客數(shù)顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…男性,女性連續(xù)型隨機(jī)變量

(continuousrandomvariables)指它的可能取值是連續(xù)的充滿某個(gè)區(qū)間，即可以取一個(gè)或多個(gè)區(qū)間中任何值；所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)。(x)xab3.變量的層次包括定距以上的變量試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值統(tǒng)計(jì)一批工人的工資測量一個(gè)學(xué)生的身高工資數(shù)(元)測量誤差(cm)X

0X

04.2二項(xiàng)分布及其它離散型隨機(jī)變量的分布

（選讀）兩點(diǎn)分布一個(gè)離散型隨機(jī)變量只有兩個(gè)可能的取值習(xí)慣上用0和1兩個(gè)代碼來表示；2.它們的概率分布為

也稱0-1分布二項(xiàng)分布重復(fù)進(jìn)行n

次試驗(yàn),每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果。出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記為~B(n，p)注：要求滿足隨機(jī)試驗(yàn)的條件，即各次的試驗(yàn)都是獨(dú)立的。適合大群體的研究。例見124頁【例8】泊松分布

(Poissondistribution二項(xiàng)分布當(dāng)n很大，p很小時(shí)，設(shè)，則將二項(xiàng)分布的極限分布稱為泊松分布，記作

適合稀少事件的研究，即概率值很小的情況。超幾何分布小組有10名成員，其中男性7名?，F(xiàn)從中任抽3名，問男性人數(shù)的概率分布。超幾何分布設(shè)總體性質(zhì)共分為兩類：A類與非A類。總體總數(shù)為N，A類共有M個(gè)。從中任抽n個(gè)，則n中含有A類個(gè)數(shù)的概率分布為：適合小群體的研究智商的分布圖4.3正態(tài)分布

(normaldistribution)由德國數(shù)學(xué)家C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)提出描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值；它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0；不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率；通常研究它取某一區(qū)間值的概率；用概率密度函數(shù)來描述。概率密度函數(shù)

(probabilitydensityfunction)設(shè)

為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x

為任意實(shí)數(shù)，的概率密度函數(shù)記為，它滿足條件(1)(2)(3)(4)-2020.00.10.20.30.4概率密度的性質(zhì)概率密度函數(shù)

對于任何實(shí)數(shù)a<b，P(a<b)是該曲線下從a到的b面積(x)xab概率是曲線下的面積正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

=正態(tài)隨機(jī)變量的均值

=正態(tài)隨機(jī)變量的方差

=3.1415926;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-

<x<

)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)

圖形是關(guān)于x=

對稱鐘形曲線，且峰值在x=

處（一個(gè)高峰、一個(gè)對稱軸）均值

和標(biāo)準(zhǔn)差

一旦確定，分布的具體形式也惟一確定（兩個(gè)參數(shù)）x(x)

和

對正態(tài)曲線的影響x(x)CAB

=1/2

1

2

=1正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)3.均值為實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。

越大，正態(tài)曲線扁平；

越小，正態(tài)曲線越高陡峭4.當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無限延伸時(shí)，曲線的兩個(gè)尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會與之相交（以橫軸為漸近線）正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1

總體均值是，方差是7、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律

通過對密度函數(shù)積分我們可以知道正態(tài)曲線下，橫軸上所夾的面積為1。而每一部分的面積也是可以計(jì)算出來的。范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的68.27%；

±2

范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95.45%；

±3

范圍內(nèi)曲線下的面積占總面%積的99.73%。思考：為什么用

計(jì)算的單位，而不用原來的度量單位呢？?因?yàn)?，不同的變量會有不同的度量單位（如工資用“元”，年齡用“歲”），即使同一變量也可能用不同的度量單位（如工資用“元”，或“十元”、“百元”等），結(jié)果形成不同大小和不同形狀的分布曲線，他們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差也各不相同。如果分別計(jì)算每一正態(tài)曲線下的面積就非常麻煩。?以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，可以使正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化，不受變量度量單位的影響，簡化計(jì)算。即無論何種變量及度量單位，在一定標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，個(gè)案的比例是一定的。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardizethenormaldistribution)隨機(jī)變量具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

（page150）Xms一般正態(tài)分布

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)分的意義某地家庭的月平均娛樂費(fèi)用為90元，標(biāo)準(zhǔn)差是5。假定某個(gè)家庭的娛樂費(fèi)是102元。該家庭娛樂費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)值是2.4，表示該值與均值（0）的距離是2.4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)分的實(shí)際意義用于不同總體間取值的比較還可以用于不同總體間綜合指標(biāo)的比較（page153）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用

(附表4)對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Z~N(0,1)，有P(a

Z

b)

b

a

P(|Z|a)2

a

1對于負(fù)的z

，可由

(-z)

z

得到對于一般正態(tài)分布，即X~N(

,