空間向量的運算課件北師大版選修

空間向量的運算本課件主要介紹空間向量及其運算，包括向量加減法、數乘運算、點積運算和叉積運算等。同時，也會講解空間向量的坐標表示以及幾何意義。學習目標掌握空間向量的基本概念理解空間向量及其表示方法，并能進行基本運算。熟練運用向量運算掌握向量加減、數乘、點積、叉積等運算，并能解決實際問題。應用向量知識解決幾何問題利用向量知識解決平面及空間中的距離、角度、面積等問題。向量的概念向量是一個既有大小又有方向的量。它可以表示運動、力、速度等物理量，也可以表示空間中的位置、方向等幾何量。向量的表示空間向量可以用有向線段來表示，起點是向量的起點，終點是向量的終點。向量的大小可以用線段的長度來表示，方向可以用有向線段的方向來表示。例如，向量a可以用有向線段AB來表示，起點是A，終點是B，長度是AB的長度，方向是從A指向B。向量的相等方向相同兩個向量方向相同。大小相同兩個向量大小相同。向量的加法平行四邊形法則將兩個向量首尾相接，以這兩個向量為邊作平行四邊形，對角線即為兩個向量的和。三角形法則將兩個向量首尾相接，以這兩個向量的首尾點和末尾點為頂點作三角形，第三條邊即為兩個向量的和。向量的減法1定義向量a-b定義為向量a加上向量b的相反向量。2幾何意義向量a-b表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量。3運算規(guī)則向量a-b=a+(-b)向量的數乘1定義λ為實數，a為向量，則λa為向量，稱為a的數乘2方向λ>0,方向相同3模長|λa|=|λ||a|向量的分量1定義在空間直角坐標系中，向量可以分解為三個方向上的分量。2表示方法向量a的分量可以用a=(x,y,z)表示，其中x,y,z分別是a在x軸、y軸、z軸上的投影長度。3意義向量的分量可以方便地進行向量運算，如加減法、數乘等。向量的模定義向量a的模是指a的長度，記作∣a∣。若a=(x,y,z)，則∣a∣=√(x2+y2+z2)。性質1.非負性:∣a∣≥0，當且僅當a=0時，∣a∣=0。2.齊次性:∣ka∣=|k|?∣a∣(k為實數)。單位向量定義方向相同，模為1的向量稱為單位向量。表示單位向量通常用字母i、j、k表示，分別代表x軸、y軸、z軸方向上的單位向量。向量的點積1定義兩個向量a和b的點積是一個標量，記作a·b，定義為a的模長乘以b在a方向上的投影的長度，即a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a和b的夾角。2性質點積滿足交換律、分配律和結合律。點積可以用于計算兩個向量的夾角、判斷兩個向量是否垂直，以及求向量在另一個向量上的投影。3應用點積在物理學、工程學和計算機圖形學等領域有著廣泛的應用，例如計算功、計算力矩、判斷兩個物體是否碰撞等。向量的性質向量加法滿足交換律和結合律向量數乘滿足分配律和結合律零向量是唯一的，任何向量加上零向量等于自身應用:平面及空間的方程平面方程利用空間向量可以表示平面，并得出平面方程。空間直線方程空間直線可以由方向向量和一個點來確定，從而推導出空間直線方程。向量在平面上的影射向量在平面上的影射是指將一個向量投影到一個平面上的過程，這個過程會將原向量分解成兩個部分：一個平行于平面的部分和一個垂直于平面的部分。影射后的向量是原向量在平面上的投影，它仍然是一個向量，但其長度和方向都發(fā)生了變化。向量在空間中的影射在空間中，向量a在直線l上的影射是指從向量a的起點作l的垂線，垂足為B，則向量OB就是向量a在直線l上的影射。影射向量的大小等于向量a在直線l上的投影。向量在平面上的投影1定義向量在平面上的投影是一個向量。2方向投影向量方向與投影平面上的法向量一致。3長度投影向量的長度等于原向量在投影平面上的長度。向量在空間中的投影1定義向量**a**在向量**b**上的投影是指向量**a**在向量**b**方向上的分量，是一個長度為|**a**|cosθ的向量，其中θ為**a**和**b**的夾角。2計算向量**a**在向量**b**上的投影向量可以通過以下公式計算：proj**b****a**=(**a**·**b**/||**b**||2)**b**3幾何意義向量**a**在向量**b**上的投影向量表示向量**a**在向量**b**方向上的分量，它是向量**a**在向量**b**上的“影子”。向量在平面上的叉積叉積定義平面上的叉積是指兩個向量生成的平行四邊形的面積，叉積結果是一個標量。計算公式設向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，則a與b的叉積為：a×b=x1y2-x2y1幾何意義叉積的絕對值表示兩個向量生成的平行四邊形的面積，叉積的符號表示兩個向量的順序關系。向量在空間中的叉積1定義兩個向量叉積的結果是一個向量2方向垂直于兩個向量所決定的平面3大小兩個向量所決定的平行四邊形的面積4應用求向量所決定的平面的法向量向量在平面上的應用位置向量確定點的位置直線方程用向量表示直線幾何圖形分析平面圖形的性質向量在空間中的應用計算空間距離利用向量可以方便地計算空間中兩點之間的距離，以及點到平面的距離等。確定空間位置向量可以用來確定空間中物體的位置，例如，可以用向量表示物體的坐標。描述空間運動向量可以用來描述物體在空間中的運動，例如，可以用向量表示物體的速度和加速度。實例演示1給定向量a=(1,2,3)和b=(2,1,0),求a+b和2a。a+b=(1,2,3)+(2,1,0)=(3,3,3)2a=2(1,2,3)=(2,4,6)實例演示2向量加法兩個向量相加，得到一個新的向量，新的向量的起點為第一個向量的起點，終點為第二個向量的終點。向量減法兩個向量相減，得到一個新的向量，新的向量的起點為第一個向量的起點，終點為第二個向量的終點。向量數乘一個向量乘以一個數，得到一個新的向量，新的向量的長度為原向量的長度乘以該數。實例演示3給定空間中兩點A(-1,2,3)和B(2,-1,1)，求向量AB的坐標和模長。解:向量AB的坐標為：(2+1,-1-2,1-3)=(3,-3,-2)向量AB的模長為:√(32+(-3)2+(-2)2)=√22實例演示4空間向量運算在空間中，給定兩點A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，則向量AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。向量加法向量加法遵循平行四邊形法則，即兩個向量和為以這兩個向量為鄰邊構成的平行四邊形的對角線。向量減法向量減法遵循三角形法則，即兩個向量差為以第一個向量為起點，第二個向量為終點構成的三角形的第三邊。實例演示5設向量a=(1,2,3),b=(4,5,6),求向量a+b,a-b,2a-3b,以及a與b的點積.解:a+b=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9).a-b=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3).2a-3b=(2*1-3*4,2*2-3*5,2*3-3*6)=(-10,-11,-12).a·b=1*4+2*5+3*6=32.課堂練習1向量加法已知向量a=(1,2,3),b=(4,5,6)，求a+b2向量減法已知向量a=(1,2,3),b=(4,5,6)，求a-b3向量數乘已知向量a=(1,2,3)，求2a復習總結向量運算基礎回顧向量加法、減法、數乘等基本運算，理解其幾何意義及運算規(guī)則。向量點積與叉積掌握向量點積和叉積的定義、性質和計算方法，理解其在幾何中的應用?？臻g向量應用運用向量知識解決空間中的