高中數學講義（人教B版2019必修四）第21講1115旋轉體

11.1.5旋轉體TOC\o"13"\h\u題型1旋轉體的概念與幾何特征 6◆類型1平面圖形旋轉得到幾何體 6◆類型2由旋轉體找出旋轉圖形 14題型2圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征 16題型3組合體 19題型4表面積 23題型5截面問題 29題型6最值問題 40知識點一.旋轉體：定義：一條平面曲線（包括直線）繞它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體。這條定直線叫做旋轉體的軸.這個平面圖形可以是平面多邊形，也可以是圓或者其他曲線;常見的旋轉體如圖——知識點二.圓柱的結構特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周所圍成的旋轉體叫做圓柱圖示相關概念軸：旋轉軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面；圓柱側面的母線：無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統稱為柱體側面展開圖結構特征兩個底面互相平行，有無數條母線，且長度相等，都與軸平行，軸截面是全等的矩形.軸截面在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.知識點三.圓錐的結構特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐圖示相關概念軸：旋轉軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；側面：直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面；母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統稱錐體側面展開圖結構特征底面是圓面，有無數條母線，長度相等且交于一點，平行于底面的截面是與底面大小不同的圓，軸截面是全等的等腰三角形.軸截面在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.知識點四圓臺的結構特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間部分叫做圓臺圖示相關概念軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側面：圓錐的側面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體：棱臺和圓臺統稱為臺體側面展開圖結構特征上、下底面是平行且大小不同的圓面，母線的延長線交于一點，平行于底面的截面是與兩底面大小都不同的圓，軸截面是全等的等腰梯形.軸截面在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.知識點五．球的結構特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球圖示相關概念（1）球面定義1：一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面.定義2：球面可以看成空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合.球心：形成球面的半圓的圓心；半徑：連接球面上一點和球心的線段.直徑：連接球面上兩點并且通過球心的線段.大圓：球面被經過球心的平面截得的圓.（6）小圓：球面被不經過球心的平面截得的圓.表面積S=4知識點六．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r1＋r2)l知識點七.組合體1.簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.2.簡單組合體的構成形式：有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的.題型1旋轉體的概念與幾何特征【方法總結】判斷簡單旋轉體結構特征的方法明確旋轉體由哪個平面圖形旋轉而成.（2）明確旋轉軸是哪條直線.圓柱、圓錐、圓臺和球都是由一個平面圖形繞其特定邊（弦）所在直線旋轉而成的幾何體，必須準確認識各旋轉體對旋轉軸的具體要求.只有理解了各旋轉體的形成過程，才能明確由此產生的母線、軸、底面等概念，進而判斷與這些概念有關的命題的正誤.◆類型1平面圖形旋轉得到幾何體【例題11】（2022秋·全國·高一專題練習）如圖，第一排的圖形繞虛線旋轉一周能形成第二排中的某個幾何體．請寫出第一排、第二排中相應的圖形的對應關系.A．B．C．D．（1）_____（2）_____（3）_____（4）_____【答案】

C

B

D

A【分析】根據旋轉體的幾何性質，判斷出對應關系.【詳解】對于（1），旋轉所得是半球，對應C；對于（2）旋轉所得是兩個圓錐，對應B；對于（3）旋轉所得是一個圓錐和一個圓柱，對應D；對于（4）旋轉所得是圓錐，對應A.故填：（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A.【點睛】本小題主要考查旋轉體的幾何性質，考查空間想象能力，屬于基礎題.【變式11】1．（2022·高一課時練習）充滿氣的車輪內胎（忽略厚度）可由下面哪個圖形繞著對稱軸旋轉而成（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據車輪內胎的幾何體特征即可求解.【詳解】車內胎截面為圓形，故車輪內胎是由圓形繞車輪軸所在的直線旋轉一周得到.故選：C【變式11】2．（2022·高一課時練習）下列敘述中，你認為正確的是________（填上所有正確的序號）.①流星劃過夜空，給我們一種“點動成線”的視覺感受.②如圖（1），直線l繞與它平行的一條定直線a旋轉所形成的面是曲面，叫做柱面.③如圖（2），直線l繞定點O轉動形成的曲面是錐面.④如圖（3）中的幾何體可看成圓面O上各點沿鉛垂線向上移動相同的距離到圓面O′【答案】①②③④【解析】根據線、面（曲面）的形成或特征，可得到答案.【詳解】解析：由線、面、體的生成過程知識分析，可知①②③④均正確.故答案為：①②③④【點睛】本題的對柱面、錐面等形成的直觀感受，屬于基礎題.【變式11】3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，直角三角形ABC繞直角邊AC旋轉360°A．圓錐 B．圓柱 C．圓臺 D．球【答案】A【分析】由圓錐的定義即可求解【詳解】由圓錐的定義可得直角三角形ABC繞直角邊AC旋轉360°故選：A【變式11】4．（2023·全國·高一專題練習）將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括（

）A．一個圓臺、兩個圓錐 B．兩個圓柱、一個圓錐C．兩個圓臺、一個圓柱 D．一個圓柱、兩個圓錐【答案】D【分析】根據旋轉體的概念，作出直觀圖，可得答案.【詳解】圖①是一個等腰梯形，CD為較長的底邊，以CD邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得幾何體為一個組合體，如圖②，包括一個圓柱、兩個圓錐，故選：D【變式11】5．（2022秋·湖南岳陽·高一統考期末）如圖，若直角三角形ABC及其內部各點繞斜邊AB所在的直線旋轉360°A．圓錐 B．圓臺C．圓錐與圓臺的組合體 D．兩個圓錐形成的組合體【答案】D【分析】作出輔助線，從而得到旋轉體為兩個圓錐形成的組合體.【詳解】直角三角形ABC及其內部各點繞斜邊AB所在的直線旋轉360°過點C作CD⊥AB于點D，則△ACD繞斜邊AB所在的直線旋轉得到的是一個圓錐，△BCD繞斜邊AB所在的直線旋轉得到一個圓錐，故得到的旋轉體為兩個圓錐形成的組合體故選：D【變式11】6．（2023春·全國·高一專題練習）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（

）A．一個球B．一個球挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球挖去一個正方體【答案】B【分析】根據旋轉體的定義可得正確的選項.【詳解】圓及其內部旋轉一周后所得幾何體為球，而矩形及其內部繞一邊旋轉后所得幾何體為圓柱，故題設中的平面圖形繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，故選：B.【變式11】7．（2022春·河北邯鄲·高一校聯考期中）在長方形ABCD中挖掉半圓O，得到如圖所示的圖形，則將該圖形繞著AB所在的直線旋轉一周后得到的幾何體為（

）A．一個長方體內部挖去一個球B．一個長方體內部挖去半個球C．一個圓柱體內部挖去一個球D．一個圓柱體內部挖去半個球【答案】C【分析】直接根據繞著AB所在的直線旋轉，得到幾何體，描述圖形特征.【詳解】根據空間幾何體的結構得知，將該圖形繞著AB所在的直線旋轉一周后得到的幾何體為一個圓柱體內部挖去一個球.故選：C.【點睛】本題考查了旋轉體的結構特征，屬于基礎題.【變式11】8．（2022·高一課時練習）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1A． B． C． D．【答案】D【分析】計算出B、C1兩點，B【詳解】解：設正方體的棱長等于a，所以B、C1BC1的中點到旋轉軸的距離等于BC1的四等分點到旋轉軸的距離為且1所以旋轉體上下底面的圓半徑為22a，旋轉體中間圓的半徑為12a，旋轉體離地面故選：D.【變式11】9．（2022·高一課時練習）如圖，水平的廣場上有一盞路燈掛在高10m的電線桿頂上，記電線桿的底部為點A.把路燈看作一個點光源，身高1.5m的女孩站在離點A5（1）若女孩以5m（2）若女孩向點A前行4m到達點D，然后從點D出發(fā)沿著以BD【答案】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，S=2775【分析】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，根據相似計算得到影長為1517（2）如圖所示，女孩在移動過程上比例關系不變，故軌跡為正方形.【詳解】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，設影長BC=BF=1.5,AE=10,（2）如圖（2），女孩在移動過程上比例關系不變，如ADHD故女孩走一圈時頭頂影子的軌跡形狀為正方形HIPQ.【點睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學生的空間想象能力和應用能力.◆類型2由旋轉體找出旋轉圖形【例題12】（2023春·全國·高一專題練習）如圖是由哪個平面圖形旋轉得到的（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據圓柱、圓錐與圓臺的定義，判斷選項中的圖形旋轉一周后所得到的幾何體的形狀，進而可得結果.【詳解】A中圖形旋轉得到兩個圓錐與一個圓柱，不合題意；B中圖形旋轉得到兩個相同底面的圓錐，不合題意；C中圖形旋轉得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；D中圖形旋轉得到一個圓臺與一個圓錐，合題意.故選：D.【變式12】（2022·高一課時練習）能旋轉形成如圖所示的幾何體的平面圖形是A． B． C． D．【答案】A【解析】將A、B、C、D選項圖形繞對稱軸旋轉可知A選項符合題意.【詳解】此幾何體自上向下是由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構成，是由A中的平面圖形旋轉形成的.故選：A.【點睛】本題考查平面圖形旋轉形成的幾何體，考查空間想象能力和推理能力，屬于簡單題.題型2圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征【方法總結】圓柱、圓錐、圓臺的關系【例題2】給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【解析】由圓柱的母線無論旋轉到什么位置都與軸平行，故①錯誤；圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的，故②正確；③中連接的線可能存在與軸異面的情況，而圓臺的母線與軸共面，故③錯誤；④由于圓柱中任意母線均與軸平行，故其中任意兩條母線相互平行，故④正確；綜上可知②④正確，①③錯誤.故選：D.【變式21】1.下列說法正確的是（）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D．一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺【答案】C【解析】以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐，以斜邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是是兩個同底圓錐的組合體，A錯；以直角梯形的直角腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體才是圓臺，B錯；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，正確；平行于圓錐底面平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，如果截面不平行于底面，則截得的不是圓錐和圓臺，D錯.故選：C.【變式21】2.下列結論中正確的是（）A．半圓弧以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫做球B.直角三角形繞一直角邊為軸旋轉一周得到的旋轉體是圓錐C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體D．用一個平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺【答案】B【解析】因為半圓弧以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故錯誤；當以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉時，其余各邊旋轉形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故正確；當兩個平行截面不平行于上、下兩個底面時，兩個平行截面間的幾何體不是旋轉體，故錯誤；圓錐的截面不與底面平行時，圓錐底面與截面組成的部分不是圓臺，故錯誤.故選：B.【變式21】3.給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；⑤圓臺所有母線的延長線交于一點其中正確的命題是（）A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤【答案】D【解析】由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線與旋轉軸不一定平行，故①錯誤，④正確；由圓錐母線的定義知②正確；在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，且圓臺所有母線的延長線交于一點，故③錯誤，⑤正確.【變式21】4.下列說法不正確的是()A．圓柱的側面展開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺平行于底面的截面是圓面【答案】C【解析】由圓錐的概念知，直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉一周所圍成的幾何體是圓錐．強調一定要繞著它的一條直角邊，即旋轉軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯．【變式21】5.給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】D【解析】由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質可知②④正確，①③錯誤．【變式21】6．（多選）（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的是（

）A．圓柱的側面展開圖是矩形B．球面可以看成是一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉180°C．直角梯形繞它的一腰所在直線旋轉一周形成的幾何體是圓臺D．圓柱、圓錐、圓臺中，平行于底面的截面都是圓面【答案】ABD【分析】對于A，由圓柱的側面展開圖判斷；對于B，由圓繞著它的直徑所在的直線旋轉判斷；對于C，由直角梯形繞它的直角所在的腰所在直線旋轉判斷；對于D，由圓柱、圓錐、圓臺的特征判斷.【詳解】對于A，圓柱的側面展開圖是矩形，所以A正確；對于B，球面可以看成是一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉180°對于C，當直角梯形繞它的直角所在的腰所在直線旋轉一周形成的幾何體是圓臺，所以C錯誤；對于D，圓柱、圓錐、圓臺中，平行于底面的截面都是圓面，所以D正確．故選：ABD．題型3組合體【方法總結】簡單組合體的判斷方法對于不規(guī)則平面圖形繞軸旋轉的問題，首先要將原平面圖形分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓（半圓或四分之一圓）等基本圖形，然后結合圓柱、圓臺、圓錐、球的形成過程進行分析.【例題3】如圖所示的組合體，其結構特征是（）A．由兩個圓錐組合成的B．由兩個圓柱組合成的C．由一個棱錐和一個棱柱組合成的D．由一個圓錐和一個圓柱組合成的【答案】D【解析】由圖知：該組合體是由一個圓錐和一個圓柱組合成的，故選：D【變式31】1.如圖的組合體是由（）組合而成.A．兩個棱柱B．棱柱和圓柱C．圓柱和棱臺D．圓錐和棱柱【答案】B【解析】由圖可知該組合體由圓柱和六棱柱組合而成，故選：B【變式31】2.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是由()A．一個圓臺、兩個圓錐構成 B．兩個圓臺、一個圓錐構成C．兩個圓柱、一個圓錐構成 D．一個圓柱、兩個圓錐構成【答案】D【解析】旋轉體如圖，中間是一個圓柱，兩端是相同的圓錐構成，故選D．【變式31】3.觀察下列四個幾何體，其中可看作是由兩個棱柱拼接而成的是________(填序號).

【答案】①④【解析】①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成，④可看作由兩個四棱柱組合而成.②③顯然不是棱柱拼接而成.故答案為：①④【變式31】4.如圖所示的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是（）A.一個棱柱中挖去一個棱柱 B.一個棱柱中挖去一個圓柱C.一個圓柱中挖去一個棱錐 D.一個棱臺中挖去一個圓柱【答案】B【解析】螺栓是圓柱，螺母的橫截面是六邊形內有一個圓，所以螺母可以看成一個棱柱中挖去一個圓柱.故選B.【變式31】5.關于如圖所示幾何體的正確說法為_____．①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④這是一個四棱柱和三棱柱的組合體；⑤這是一個被截去一個三棱柱的四棱柱．【答案】①③④⑤【解析】①因為有六個面，屬于六面體的范圍，②這是一個很明顯的四棱柱，因為側棱的延長線不能交與一點，所以不正確．③如果把幾何體放倒就會發(fā)現是一個四棱柱，④可以由四棱柱和三棱柱組成，⑤和④的想法一樣，割補方法就可以得到．故答案為：①③④⑤．【變式31】6．（2023春·貴州·高一校聯考階段練習）唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖甲所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設內壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖乙所示.已知半球的半徑為R，酒杯內壁表面積為6πR甲

乙A．2:3 B．2:1 C．3:1 D．3:2【答案】B【分析】根據給定的幾何體，利用圓柱和球的表面積公式求出圓柱的高與球的半徑關系，即可求解.【詳解】設圓柱的高為?，因為忽略杯壁厚度，所以酒杯內壁表面積為半球的表面積與圓柱的側面積之和，即12×4πR2+2π故選：B【變式31】7．（2023·全國·高一專題練習）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知AB=9cm,A．363+81πC．243+81π【答案】A【分析】根據圓柱和圓臺的側面積公式分別求解側面積，再加上底面積，即可得該青銅器的表面積【詳解】解：因為S圓柱側=2π×3所以該青銅器的表面積S=故選：A.題型4表面積【方法總結】幾何體的側面積和全面積：幾何體側面積是指（各個）側面面積之和，而全面積是側面積與所有底面積之和，對側面積公式的記憶，最好結合幾何體的側面展開圖來進行?！纠}4】（2022春·江蘇無錫·高一統考期末）一個斜邊長為2的等腰直角三角形繞斜邊旋轉一周，所形成的幾何體的表面積為（

）A．4π B．2π3 C．2【答案】D【分析】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為1，高為1的兩個圓錐拼接而成，則其表面積是兩個圓錐的側面積之和【詳解】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為1，高為1的兩個圓錐拼接而成，所以所形成的幾何體的表面積為2×1故選：D【變式41】1．（2022春·重慶巴南·高一重慶市實驗中學?？计谀┰谶呴L為2的菱形ABCD中，∠BAD=πA．7π B．9π C．7π【答案】C【分析】根據題設得到旋轉體為底面直徑、母線為2的半圓錐和上下底面直徑分別為2、4，母線為2的半圓臺，畫出幾何體，利用圓錐、圓臺的表面積公式求幾何體的表面積.【詳解】由題設，AE=繞DE所在的直線為軸旋轉半周，則A與B重合，所得旋轉體為底面直徑、母線為2的半圓錐和上下底面直徑分別為2、4，母線為2的半圓臺組合而成，如下圖示：所以圓錐表面積為S1=1則幾何體的表面積12故選：C【變式41】2．（多選）（2022春·遼寧營口·高一營口市第二高級中學校考階段練習）等腰直角三角形直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（

）A．2π B．1+2π C．2【答案】AB【解析】分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.【詳解】如果是繞直角邊旋轉，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊2，所以所形成的幾何體的表面積是S=如果繞斜邊旋轉，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高22所以寫成的幾何體的表面積S=2×綜上可知形成幾何體的表面積是2+1π或故選：AB【點睛】本題考查旋轉體的表面積，意在考查空間想象能力和計算能力，屬于基礎題型.【變式41】3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，OABC是邊長為1的正方形，AC是四分之一圓弧，則圖中陰影部分繞軸OC旋轉一周得到的旋轉體的表面積為________________.【答案】5【分析】幾何體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，結合幾何特征，可得幾何體的表面積.【詳解】幾何體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1，高是1，球的半徑是1，所以該幾何體的表面積為π×故答案為：5π【變式41】4．（2022春·北京·高一人大附中校考期末）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為底面ABCD【答案】π【分析】根據題設描述易知P的軌跡是以D為圓心，33為半徑的四分之一圓，即可求DP【詳解】由題設，DD1//CC1，要使D1P與直線CC∴D1P繞DD1以π6夾角旋轉為錐體的一部分，如上圖示：P∴DP在ABCD上掃過的面積為14故答案為：π12【變式41】5．（2019春·河北保定·高一河北易縣中學?？计谀┮阎粋€幾何體是由一個直角三角形繞其斜邊旋轉一周所形成的．若該三角形的周長為12米，三邊長由小到大依次為a，b，c，且b恰好為a，c的算術平均數．（1）求a，b，c；（2）若在該幾何體的表面涂上一層油漆，且每平方米油漆的造價為5元，求所涂的油漆的價格．【答案】（1）3，4，5；（2）84π【分析】（1）由題意，根據周長、三邊關系、勾股定理，a，b，c，建立方程組，解得即可.（2）根據題意，旋轉得到的幾何體為由底面半徑為125【詳解】（1）由題意得a+b+所以b=4又a2+b二者聯立解得a=3，c所以a，b，c的值分別為3，4，5．（2）繞其斜邊旋轉一周得到的幾何體為由底面半徑為125母線長分別為米3和4米的兩個圓錐所組成的幾何體，故其表面積為S=因為每平方米油漆的造價為5元，所以所涂的油漆的價格為845所涂的油漆的價格為：84π【點睛】本題考查三角形三邊關系及旋轉體表面積的應用，考查計算能力與空間想象能力，屬于基礎題.【變式41】6．（2021春·河北滄州·高一統考期末）在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=90A．23 B．3 C．32 【答案】A【分析】先判斷出形成的幾何體為圓錐，再由圓錐的表面積公式求解即可.【詳解】以AB所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周所形成的面所圍成的幾何體為圓錐，設BC=則AC=2x，所以πx2+故選：A.題型5截面問題【方法總結】1.圓柱、圓錐、圓臺平行于底面的截面是圓面.2.圓柱、圓錐、圓臺過軸的截面分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形.3.經過圓臺的任意兩條母線作截面，因為圓臺可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，所以任意兩條母線長度均相等，且延長后相交，故經過這兩條母線的截面是以這兩條母線為腰的等腰梯形.4.球的截面均是圓面，球面被經過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經過球心的平面截得的圓叫做球的小圓．5.與圓錐有關的截面問題的解決策略求解有關圓錐的基本量的問題時，一般先畫出圓錐的軸截面，得到一等腰三角形，進而可得到直角三角形，將問題轉化為有關直角三角形的問題進行求解.通常在求圓錐的高、母線長、底面圓的半徑長等問題時，都是通過取其軸截面，化歸求解．巧妙之處就是將空間問題轉化為平面問題來解決.6.球的性質【性質1】球心和截面圓心的連線垂直于截面.【性質2】球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面關系：r=R.如果平面α過球心，則d=0，R2【例題5】（2023春·全國·高一專題練習）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【答案】D【分析】應用空間想象，討論截面與軸截面的位置關系判斷截面圖形的形狀即可.【詳解】當截面ABCD如下圖為軸截面時，截面圖形如（1）所示；當截面ABCD如下圖不為軸截面時，截面圖形如（5）所示，下側為拋物線的形狀；故選：D【變式51】1．（2022·全國·高一專題練習）一個正方體內接于一個球，過球心作一個截面，則在圖中，可能是截面的是________．【答案】（1）（2）（3）【分析】考慮截面和正方體的位置關系，即可判斷出答案.【詳解】在組合體內取截面時，要注意交點是否在截面上，如：當截面過對角面時，得（2）；當截面平行正方體的其中一個側面時，得（3）；當截面不平行于任一側面且不過對角面時，得（1），只要是過球心就不可能截出（4）,此時四個頂點在圓上的截面只能是正方體的對角面，如（2），故答案為：（1）（2）（3）【變式51】2．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，該幾何體是從一個水平放置的正方體中挖去一個內切球（正方體各個面均與球面有且只有一個公共點）以后而得到的．現用一豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正方體內切球的性質，及球的截面圓即可求解.【詳解】對于A，用豎直的平面截正方體，該平面過球心，且過正方體四個面的中心，即可得到截面圖形A，如圖；對于B，用豎直的平面截正方體，該平面為正方體的對角面,過球心，及正方體兩個側面的對角線的中心，即可得到截面圖形B；對于CD，用豎直的平面截正方體，該平面過正方體一個側面的中心，如圖，切點在截面ABCD的邊CD的中點處，且CD為長方形ABCD中較短的線段，即可得到D.故選：C【變式51】3．（2023春·河北邯鄲·高一校考階段練習）已知圓錐的母線長為3，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（

）A．3+32π B．9+92π2 【答案】B【分析】求得圓錐的底面半徑，進而求得圓錐的表面積.【詳解】依題意，圓錐的母線長為3，軸截面為等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑為r=所以圓錐的表面積為π×3故選：B【變式51】4．（2023·全國·高一專題練習）過圓錐頂點的截面三角形面積的取值范圍是0,43，該圓錐的母線長為4A．90° B．60° C．120°【答案】B【分析】設過圓錐頂點的截面三角形的頂角為α，其中0°<α<180°，根據三角形的面積公式可求得【詳解】設過圓錐頂點的截面三角形的頂角為α，其中0°由題意可知，過圓錐頂點的截面三角形面積為S=所以，0<sinα因為0°<α<180故選：B.【變式51】5．（2023·全國·高一專題練習）若圓柱軸截面周長C為定值，則表面積最大值為（

）A．π?C2 B．π2?C【答案】D【分析】設圓柱底面半徑為r，高為h，由已知及圓柱的表面積公式結合二次函數性質即可得到表面積的最大值．【詳解】設圓柱底面半徑為r，高為h，因為圓柱的軸截面周長為4r+2?所以圓柱的表面積為S=πr當r=C4故選：D．【變式51】6．（多選）（2023春·浙江寧波·高一余姚中學?？茧A段練習）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，ABA．該圓臺軸截面ABCD面積為3B．該圓臺的體積為14πC．該圓臺的側面積為6D．沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm【答案】ACD【分析】求出圓臺的高，由梯形的面積公式可判斷選項A；由臺體的體積公式可判斷選項B；由臺體的側面積公式可判斷選項C；將圓臺補成圓錐，側面展開，取AD的中點為P，連接CP，可判斷選項D.【詳解】對于A，由AB=AD=可得CD=4，高O則圓臺軸截面ABCD的面積為12對于B，圓臺的體積為V=對于C，圓臺的體積為S側對于D，由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm，底面半徑為2cm，側面展開圖的圓心角θ=設AD的中點為P，連接CP，可得∠COP則CP=所以沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm，故D正確．故選：ACD．【變式51】7．（2023·全國·高一專題練習）從一個底面半徑和高均為R的圓柱中，挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的棱錐，得到一個如圖幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離為d的平行平面去截這個幾何體，截面面積為______.【答案】π【分析】作出如圖所示的軸截面，根據平面幾何關系即可得解.【詳解】解：如圖所示作出軸截面，圓柱被平行于下底面的平面所截得的截面圓的半徑O1設圓錐的截面圓的半徑O1D為因為OA=AB=又CD//OA，所以CD=所以截面積S=π故答案為：πR【變式51】8．（2021秋·上海虹口·高一上外附中校考期中）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1、O2，過直線O1【答案】12π【分析】先由三角形面積公式求出三角形邊長，再由正弦定理求底面圓的半徑，由表面積公式求圓柱的表面積.【詳解】如圖所示，設圓柱的底面圓半徑為r，則高為?=2再設底面圓的內接正三角形邊長為a，則該三角形的面積為S△ABC=由正弦定理得2r=a所以該圓柱的表面積為S=2π故答案為：12π.【變式51】9．（2021·高一課時練習）在球內有相距14的兩個平行截面，它們的面積分別是64π和36【答案】400【分析】分兩個平行平面在球心同側和異側兩種情況，進而結合球體中截面的性質解得答案.【詳解】設球半徑為R，①當兩個平行截面在球心同側時，有R2而此方程無解，故兩個平行截面不可能在球心的同側.②當兩個平行截面在球心異側時，有R2?36+所以球的表面積S=4【變式51】10．（2022春·山東泰安·高一統考期中）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐SO底面圓的半徑是23，軸截面SAB的面積是4(1)求圓錐SO的母線長；(2)過圓錐SO的兩條母線SB，SC作一個截面，求截面SBC面積的最大值．【答案】(1)4(2)8【分析】（1）由面積求得高SO，再勾股定理得母線長；（2）求出軸截面頂角∠ASB，即圓錐的頂角，從而可得圓錐任意兩條母線SB,SC的夾角的范圍．由面積公式得截面△【詳解】（1）軸截面SAB的面積12所以SO=2所以圓錐SO的母線長l=（2）在軸截面SAB中，SO=2，SA所以∠SAB=π設∠BSC=θ所以△SBC的面積S所以當θ=π2時，截面SBC【變式51】11．（2022春·山東泰安·高一統考期中）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐SO底面圓的半徑是23，軸截面SAB的面積是4(1)求圓錐SO的母線長；(2)過圓錐SO的兩條母線SB，SC作一個截面，求截面SBC面積的最大值．【答案】(1)4(2)8【分析】（1）由面積求得高SO，再勾股定理得母線長；（2）求出軸截面頂角∠ASB，即圓錐的頂角，從而可得圓錐任意兩條母線SB,SC的夾角的范圍．由面積公式得截面△【詳解】（1）軸截面SAB的面積12所以SO=2所以圓錐SO的母線長l=（2）在軸截面SAB中，SO=2，SA所以∠SAB=π設∠BSC=θ所以△SBC的面積S所以當θ=π2時，截面SBC題型6最值問題【例題6】（2022春·福建泉州·高一福建省晉江市養(yǎng)正中學