四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試模擬數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為故選：A．2.若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若直線l的方向向量是，則直線l的斜率，所以，則或.故選：D.3.已知拋物線和雙曲線的公切線（是與拋物線的切點(diǎn)），與拋物線的準(zhǔn)線交于，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線于，根據(jù)拋物線的定義可知，，，在中，，，即直線的斜率為1，故設(shè)的方程為：，由，消去得，則，解得，即，由得，，得，則拋物線的方程是，故選：A．4.若為雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得,,,則左焦點(diǎn),右焦點(diǎn),因?yàn)轭}中給出為雙曲線左焦點(diǎn),則,,又因?yàn)殡p曲線與過(guò)原點(diǎn)的直線都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以,又根據(jù)雙曲線的定義,所以,設(shè)，所以,設(shè),,令,解得或,（）,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,,所以的取值范圍為,則的取值范圍是,故選：D5.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，甲是否擊中對(duì)乙沒(méi)有影響，設(shè)“甲中靶”，“乙中靶”，則（）A.與，與，與，與都相互獨(dú)立B.與是對(duì)立事件C.D.【答案】A【解析】對(duì)于A，兩人射擊結(jié)果沒(méi)有相互影響，與，與，與，與都相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其對(duì)立事件為“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，表示事件“乙中靶且甲未中靶”，與不是對(duì)立事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，與相互獨(dú)立，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：A.6.下列命題中正確的是（

）A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則D.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為【答案】D【解析】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，因?yàn)椋?，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，D選項(xiàng)正確；故選：D.7.以下四個(gè)命題表述正確的是（）①若點(diǎn)，圓的一般方程為，則點(diǎn)A在圓上②圓的圓心到直線的距離為2③圓與圓外切④兩圓與的公共弦所在的直線方程為A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【解析】將點(diǎn)代入圓方程，滿足，故①正確；圓的圓心為，到直線的距離為，②錯(cuò)誤；圓，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑為，圓心距為，故③正確；兩圓與方程相減得到，即公共弦方程為：，④錯(cuò)誤.故選：B.8.等腰直角內(nèi)接于拋物線,其中為拋物線的頂點(diǎn),，的面積為16，為的焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)，，則，．由得：，，即，，，，，即關(guān)于軸對(duì)稱．直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立，解得或，故，．的面積為16，；焦點(diǎn)，設(shè)，則，，設(shè)到準(zhǔn)線的距離等于，則．令，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故的最大值為，故選．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識(shí)答題比賽，對(duì)參賽的2000名考生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.考生參賽成績(jī)的平均分約為72.8分B.考生參賽成績(jī)的第75百分位數(shù)約為82.5分C.分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2D.用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間應(yīng)抽取30人【答案】BC【解析】對(duì)于A，平均成績(jī)?yōu)?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為0.7，在內(nèi)的頻率為0.9，因此第75百分位數(shù)位于內(nèi)，第75百分位數(shù)為，B正確；對(duì)于C，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，C正確；對(duì)于D，區(qū)間應(yīng)抽取人，D錯(cuò)誤故選：BC10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為為上第一象限的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，圓，則（）A.B.若，則直線傾斜角的正弦值為C.若的面積為6，則直線的斜率為D.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)連線的方程為【答案】ACD【解析】設(shè)Ax0,y0，則，則，故，故設(shè)直線，聯(lián)立則，設(shè)，則，故.，解得，則直線傾斜角的正弦值為，故B錯(cuò)誤；，解得，則直線的斜率為，故C正確；由上述分析可知，，圓可化為，圓心，半徑，易知為其中一條切線，切點(diǎn)為，且兩切點(diǎn)連線與垂直，，兩切點(diǎn)連線的斜率為，故兩切點(diǎn)連線為，即，故D正確.故選：ACD11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面平面B.直線與所成角的余弦值為C.平面與平面夾角的余弦值為D.點(diǎn)到直線的距離的最小值為【答案】AC【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，；對(duì)于A，，，，，，，，又，平面，平面，平面，平面平面，A正確；對(duì)于B，，，，即直線與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，平面，平面的一個(gè)法向量為，，平面與平面所成角的余弦值為，C正確；對(duì)于D，，設(shè)，則，，又，，到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)到直線距離的最小值為，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.A，兩名乒乓球選手進(jìn)行決賽，根據(jù)賽前兩位選手的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在一局比賽中獲勝的概率是，若采用“五局三勝制”，則選手獲勝的概率為_(kāi)______________.【答案】【解析】若比賽進(jìn)行了3局，則A獲勝的概率是；若比賽進(jìn)行了4局，A獲勝的概率是；若比賽進(jìn)行了5局，A獲勝的概率是.故選手獲勝的概率為.故答案為：.13.若點(diǎn)在橢圓上，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“橢點(diǎn)”.已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_(kāi)____．【答案】【解析】設(shè)，，則，，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，，由得：，，即，，，，，解得：（滿足），的值為.故答案為：.14.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，且，為上不同兩點(diǎn)（，位于軸右側(cè)），，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為為，，直線、相交于點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則，，則，，，點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)的軌跡方程為，同理可得，點(diǎn)也在雙曲線上，點(diǎn)恰為雙曲線的左焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線定義可得：，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即得，的最小值為．故答案為:．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在平行六面體中,設(shè),,，分別是的中點(diǎn).（1）用向量表示；（2）若，求實(shí)數(shù)x，y，z的值.解：（1）在平行六面體中，，由分別是的中點(diǎn)，得.（2），而，且不共面，所以.16.為了建設(shè)書(shū)香校園，營(yíng)造良好的讀書(shū)氛圍，學(xué)校開(kāi)展“送書(shū)券”活動(dòng)該活動(dòng)由三個(gè)游戲組成，每個(gè)游戲各玩一次且結(jié)果互不影響.連勝兩個(gè)游戲可以獲得一張書(shū)券，連勝三個(gè)游戲可以獲得兩張書(shū)券.游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)（紅球編號(hào)為“1，2，3”，白球編號(hào)為“4，5”）取球規(guī)則取出一個(gè)球有放回地依次取出兩個(gè)球不放回地依次取出兩個(gè)球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個(gè)白球獲勝編號(hào)之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）當(dāng)時(shí)，求游戲三的獲勝概率；（3）一名同學(xué)先玩了游戲一，試問(wèn)為何值時(shí)，接下來(lái)先玩游戲三比先玩游戲二獲得書(shū)券的概率更大.解：（1）設(shè)事件“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，游戲一中取出一個(gè)球的樣本空間為，則，因?yàn)?，所以?所以游戲一獲勝的概率為.游戲二中有放回地依次取出兩個(gè)球的樣本空間，則，因?yàn)椋?，所以，所以游戲二獲勝的概率為.（2）游戲三中不放回地依次取出兩個(gè)球的樣本的個(gè)數(shù)為，時(shí)，樣本的個(gè)數(shù)為2，所以所求概率為；（3）設(shè)“先玩游戲二，獲得書(shū)券”，“先玩游戲三，獲得書(shū)券”，則，且，，互斥，相互獨(dú)立，所以又，且，，互斥，所以若要接下來(lái)先玩游戲三比先玩游戲二獲得書(shū)券的概率大，則，所以，即.進(jìn)行游戲三時(shí)，不放回地依次取出兩個(gè)球的所有結(jié)果如下表：第二次第一次1234512345當(dāng)時(shí)，，舍去當(dāng)時(shí)，，滿足題意，因此的所有可能取值為.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，直線的方程為.（1）求圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，為直線上的定點(diǎn)，若圓上存在唯一一點(diǎn)滿足，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)A，B為圓上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與直線都沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)圓的方程為，將M，N坐標(biāo)帶入，得：，解得，所以圓的方程為.（2）設(shè)，，由，即，化簡(jiǎn)得，由題意，此圓與圓C相切，故，解得，所以或（3）記以AB為直徑的圓為圓M，設(shè)圓M上有一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則圓M的半徑，于是，其中為的夾角，.因?yàn)?，所?故點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部(含邊界)，所以點(diǎn)C到直線l的距離，即，解得.18.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形ACFE為矩形，平面平面，，點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)．（1）求平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值；（2）求出直線CD到平面MAB的距離．解：（1）因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，，，，如圖，過(guò)C作交AB于G，則四邊形是平行四邊形.可得，.在中，由余弦定理得，所以，得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；因?yàn)樗倪呅蜛CFE為矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則.如圖，分別以所在直線軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0，，，，，所以，，，，設(shè)平面MAB的法向量為，則，取，得，設(shè)平面EAD的法向量為，則，取，得，所以．所以平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值為．（2）由，平面，平面，則平面.則直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離.由（1）知，，平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離.故直