重慶市縉云教育聯(lián)盟2025屆高三上學期高考第零次診斷性質量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市縉云教育聯(lián)盟2025屆高三上學期高考第零次診斷性質量檢測數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，且，則，所以，可得其在復平面上對應的點為，即該點在第四象限.故選：D.2.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時且，解得，當時，兩條直線方程分別為：，，此時，故是的充要條件.故選：C3.現(xiàn)有一種檢驗方法，對患疾病的人化驗結果呈陽性，對未患疾病的人化驗結果呈陰性．我們稱檢驗為陽性的人中未患病比例為誤診率．已知一地區(qū)疾病的患病率為，則這種檢驗方法在該地區(qū)的誤診率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記事件檢查結果呈陽性，事件被檢查確實患疾病，由題意可知，，，，，所以，因此，這種檢驗方法在該地區(qū)的誤診率為，故選：A.4.已知雙曲線的左右焦點分別為，且，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的交點為，若的內切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設雙曲線的半焦距為，則，由對稱性，不妨令與平行的漸近線為，則直線方程為：，即，設的內切圓與三邊相切的切點分別為，，，如圖所示，則，即，而軸，圓半徑為，則，點到直線的距離：，整理得，且，解得，又因為，可得，所以雙曲線的離心率，故選：D.5.在平行四邊形中，，是平行四邊形內（包括邊界）一點，，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為得，即所以點在的角平分線上，設的中點為因為，所以點在線段上，不妨設，所以易知所以因為所以因為所以故選：B6.已知三棱錐的三個側面的面積分別為5，5，6，底面積為8，且每個側面與底面形成的二面角大小相等，則三棱錐的體積為（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】過向底面作垂線，垂足為，分別過向三邊作垂線，垂足分別為，連接，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，同理可得為二面角的平面角，為二面角的平面角，因為每個側面與底面形成的二面角大小相等，所以，所以，所以為三角形的內心，由三棱錐的三個側面的面積分別為5，5，6，所以，設三邊的長為，則邊上的高長為，由底面的面積為8，所以，解得，設內切圓的半徑為，則，所以，由側面的面積為6，所以，所以，所以，所以，所以.故選：B.7.已知函數(shù)，若有兩個零點.，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知，令，則，所以或；可得或，因此或，又因為，所以；所以.故選：B8.已知函數(shù)，且有兩個不同的零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，即，由題意，函數(shù)和有兩個交點，畫出函數(shù)的圖象，如圖，當時，顯然函數(shù)和沒有兩個交點，不符合題意，則，當時，函數(shù)和有一個交點，則當時，和只有一個交點.設與相切于點，，由，得，即，又，則，解得，因此，要使當時，和只有一個交點，則，即的取值范圍為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，截面分別與球，球切于點，（，是截口橢圓的焦點）.設圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（）A.橢圓的中心在直線上B.C.直線與橢圓所在平面所成的角為D.橢圓的離心率為【答案】BD【解析】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A錯誤；橢圓長軸長，過作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故B正確；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C錯誤；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：BD.10.設，為正數(shù)，且且，則（）A.的最小值是2 B.的最大值是C.的最大值是 D.的最大值是【答案】ACD【解析】由，所以，所以，對A，，當且僅當，即時等號成立，故A正確；對B，由可得，當且僅當時取等號，令，則，解得，即，當且僅當時取等號，故B錯誤；對C，由，令，則，解得，即，當且僅當時等號成立，故C正確；對D，由可得，所以，令，由B知，則由可知當時，，故當時，有最大值，故D正確.故選：ACD11.已知動點在直線上，動點在圓上，過點作圓的兩條切線，切點分別為A、，則下列描述正確的有（）A.直線與圓相交 B.的最小值為C.存在點，使得 D.直線過定點【答案】BCD【解析】圓的圓心，半徑，連接，對于A，點到直線的距離，直線l與圓C相離，A錯誤；對于B，點在圓上，則，B正確；對于C，由切線長定理知，，而，又是銳角，正弦函數(shù)在上單調遞增，則的最大值為，當且僅當時取等號，因此的最大值為，C正確；對于D，設，則以PC為直徑的圓的方程為即，與已知圓的方程相減可得直線的方程為，即，由可得，即直線AB過定點，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______．【答案】【解析】當取1，取，的系數(shù)為；當取，取時，得的系數(shù)為：.所以的系數(shù)為：.故答案為：13.將甲桶中的水緩慢注入空桶乙中，min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線.假設過5min后甲桶和乙桶中的水量相等，若再過min后甲桶中的水只有，則的值為___________.【答案】5【解析】5min后甲桶和乙桶中的水量相等，函數(shù)，滿足，可得，令，則，即為，解得，故.故答案為：5.14.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對任意的，始終是某個確定的非零常數(shù)，則______．【答案】【解析】由題意知．不妨設，其中，則，展開化簡得：．因為上式對任意的，始終成立，則．若，則，，與矛盾，因此，則，因此，又，所以，因此，即，因此．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列前n項和為，，（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.（1）證明：因為，所以當，時，，即又時，，所以數(shù)列為首項為1，公比為3的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，所以，又由，可得，所以16.如圖在正方體中，是所在棱上的中點.（1）求平面與平面夾角的余弦值（2）補全截面解：（1）由投影面積法可得，因為是所在棱上的中點，設正方體的棱長為2，則，，，，所以在中，邊上的高為，所以，所以.（2）如圖，設所在直線與所在直線交于點，與所在直線交于點，連接交于點，連接交于點，連接，則五邊形是平面截正方體所得的截面.17.育才中學為普及法治理論知識，舉辦了一次法治理論知識闖關比賽．比賽規(guī)定：三人組隊參賽，按順序依次闖關，無論成敗，每位隊員只闖關一次．如果某位隊員闖關失敗，則由該隊下一隊員繼續(xù)闖關，如果該隊員闖關成功，則視作該隊獲勝，余下的隊員無需繼續(xù)闖關；若三位隊員闖關均不成功，則視為該隊比賽失?。荣惤Y束后，根據(jù)積分獲取排名，每支獲勝的隊伍積分Y與派出的闖關人數(shù)X的關系如下：，比賽失敗的隊伍則積分為0．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關成功的概率分別為、、，且每人能否闖關成功互不影響．（1）已知，，，（i）若按甲、乙、丙的順序依次參賽，求該隊比賽結束后所獲積分的期望；（ii）若第一次闖關從三人中隨機抽取，求該隊比賽結束后所獲積分的概率．（2）若甲只能安排在第二位次參賽，且，要使該隊比賽結束后所獲積分的期望最大，試確定乙、丙的參賽順序，并說明理由．解：（1）（i）的可能取值為，，，.所以的分布列為：所以（ii）第一次闖關從三人中隨機抽取，每個人被抽取到的概率都是，且必須闖關成功，所以概率為.（2）若順序為“乙甲丙”：積分的可能取值為,.所以..若順序為“丙甲乙”：積分的可能取值為,，，.所以.，，由于，所以，所以丙先參賽.18.已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)在點處的切線；（2）若對任意的，，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），當時，，，故切線方程為：，即；（2）法一：不妨設，則，同除以得，所以在0,+∞單調遞增，所以，①若，恒成立，符合題意；②若，則恒成立，令，則，令，則，所以Fx在單調遞增，在單調遞減，所以，所以；③若，同理，恒成立，由②可知，當時，，所以不存在滿足條件的，綜上所述，.法二：，令，則只需在0,+∞單調遞增，即恒成立，，令，則恒成立，又，①當時，，hx在單調遞增成立；②當時，h'x>0，hx又當時，，故不恒成立，不滿足題意；③當時，由h'x>0得則hx在單調遞減，在單調遞增，因為恒成立，所以，解得，故；綜上，實數(shù)的取值范圍是.19.集合是數(shù)學中的基本概念和重要內容.對于實數(shù)集中的兩個非空有限子集和，定義和集.記符號表示集合A中的元素個數(shù).當時，設是集合A中按從小到大排列的所有元素，記集合.（1）已知集合，，，若，求的值.（2）已知，記集合或.（i）當時，證明的充要條件是；（ii）若，，求的所有可能取值．（1）解：因為，由，所以，所以且，所以必有，所以，所以，所以.（2）（i）證明：因為，可設，.先證充分性：因為，所以且，從而可以設，其中0，此時中元素為，故，再證必要性，設，，其中，注意到和集中的最小元素為，最大元素為，因為，所以中間三個元素可以是，也可以是，它們是對應相等的，所以有，，即，故，得證，（ii）解：①若，由第(i)小問的分析知，可以設，，其中，