四川省新高考聯(lián)盟2025屆高三上學期12月模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省新高考聯(lián)盟2025屆高三上學期12月模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，得，所以，所以在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限．故選：D．2.已知：．若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得；由，因為是的充分不必要條件，則.故選：C3.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8 C.9 D.16【答案】B【解析】因為所以，則，由等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)可知，數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，，即，所以.故選：B.4.已知，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】由可得，兩邊同除以可得，，代入，可得，故選：D5.已知點在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，滿足，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,因為四點共面，所以，注意到，從而.當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故選：B.6.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，則，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，，在中，易知，當時，.故選：B.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，點都在橢圓上，若，且，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意知F1-c如圖，由，可知三點共線，三點共線.設Px0,y0，Ax1由消去，可得，則，同理可得，顯然，，，由代入坐標可得：，即得，同理由可得，，由，可得，同理，，故（*），又點在橢圓上，則有，則（*）式可化成：，解得，故得，又，故的離心率的取值范圍為.故選：B.8.如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則（）A.這兩個球體的半徑之和的最大值為B.這兩個球體的半徑之和的最大值為C.這兩個球體的表面積之和的最大值為D.這兩個球體的表面積之和的最大值為【答案】D【解析】當這兩個球體的半徑或者表面積之和取最大值時，上面的球與圓錐的底面相切，過底面圓的直徑作截面，如圖所示，過點O作OF⊥AB，垂足為F，過點作⊥AB，垂足為E，過點作⊥OF，垂足為D．設圓O的半徑為R，圓的半徑為r，當下面的球與上底面相切時，取得最大值，此時為該圓的內(nèi)切球半徑，等邊三角形的邊長為，內(nèi)切球半徑為，故，故R的最大值為，且取最大值時，三點共線，設，則，則，解得，所以，，，，.因為，所以①，整理得，解得，令函數(shù)，，.令函數(shù)，，所以是增函數(shù).又因為，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以，即這兩個球體的半徑之和的最大值為.由①可得，這兩個球體的表面積之和為.令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即這兩個球體的表面積之和的最大值為.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.隨機事件A，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C D.【答案】CD【解析】A.，所以，，所以，故A錯誤；B.，故B錯誤；C.，故C正確；D.，，所以，，故D正確.故選：CD10.表示不超過的最大整數(shù)，例如：，已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.C.函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱D.設方程的解集為，集合，若，則【答案】ACD【解析】對于A，當，則，所以有，顯然成立，故A正確；對于B，，此時不成立，故B錯誤；對于C，因為，所以，即不是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱，故C正確；對于D，方程，可得，解得：或，所以或，又因為，，所以當時，滿足題意，此時，解得；當時，由上可知方程有兩根，解得，當時，若，則需要滿足，當時，若，則需要滿足，綜上可得：，故D正確；故選：ACD.11.已知，直線為原點，點在上，直線與交于點在直線上，且，點的軌跡為史留斯蚌線，記為曲線，其中是的漸近線，如圖所示．設是上一點，則（）A.B.存在異于原點的點，使得關(guān)于點的對稱點仍在上C.若在第二象限，則的最大值為D.若在第一象限，則直線的斜率大于【答案】AD【解析】設，，，由與相交，則不與重合，即，設，則，所以，代入，可得，即，設，則，即，代入，即，即，由，即，所以，當時，從而，整理得；當時，即和重合，，此時方程成立；所以曲線方程為；由，所以，解得，故A正確；在第一象限的部分對應的方程為①，在第三象限的部分對應的方程為，它關(guān)于原點成中心對稱的部分對應的方程為，即②，聯(lián)立①②解得，這樣矛盾，所以不存在異于原點的點，使得關(guān)于點的對稱點仍在上，由對稱性可知，二、四象限也不存在關(guān)于點的對稱點仍在上，故B錯誤；當時，當時，故C錯誤；設，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，所以，即，所以，即，即，所以若在第一象限，則直線的斜率大于，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______．【答案】【解析】當取1，取，的系數(shù)為；當取，取時，得的系數(shù)為：.所以的系數(shù)為：.故答案為：13.已知，且，則的最小值是_________.【答案】【解析】令其中，所以，若，則，故，令，因此,故,則，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲr可滿足等號成立，可知的最小值為，故答案為：.14.設A是非空數(shù)集，若對任意，都有，則稱A具有性質(zhì)P.給出以下命題：①若A具有性質(zhì)P，則A可以是有限集；②若具有性質(zhì)P，且，則具有性質(zhì)P；③若具有性質(zhì)P，則具有性質(zhì)P；④若A具有性質(zhì)P，且，則不具有性質(zhì)P.其中所有真命題的序號是___________.【答案】①②④【解析】對于①，取集合具有性質(zhì)P，故A可以是有限集，故①正確；對于②，取，則，，，，又具有性質(zhì)P，，，，所以具有性質(zhì)P，故②正確；對于③，取，，，，但，故③錯誤；對于④，若A具有性質(zhì)P，且，假設也具有性質(zhì)P，設，在中任取一個，此時可證得，否則若，由于也具有性質(zhì)P，則，與矛盾，故，由于A具有性質(zhì)P，也具有性質(zhì)P，所以，而，這與矛盾，故當且A具有性質(zhì)P時，則不具有性質(zhì)P，同理當時，也可以類似推出矛盾，故④正確.故答案為：①②④四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，由下列四個條件中選出三個：①最大值為2；②最小正周期為；③；④．（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設．當時，的值域為，求的取值范圍．解：（1）對于條件③，有，因為，則，，顯然不成立，因此只能選擇條件①②④，則，，所以，此時；令，解之得；（2）由上可知，當時，，因為此時的值域為，則，則，故.16.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的正弦值；（3）記的中點為，若在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長．（1）證明：連接，則，因為，所以四邊形為平行四邊形；所以，因為，，且為的中點，所以，所以，所以，即，又因為，所以平面.（2）解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A2,0,0，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，即，取，設平面的法向量為，則，即，取，所以，所以二面角的正弦值為.（3）解：設，則，而，所以，由（II）知平面的法向量為，設直線與平面所成的角為，則，化簡得，解得：或，故線段的長度為或．17.已知橢圓的焦點在軸上，長軸長與短軸長的比為，焦距為.為橢圓上任意一點，過點作圓的兩條切線、，分別為切點，直線分別與、軸交于、兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求面積的最小值；（3）過點的兩條直線，分別與橢圓相交于不同于點的，兩點，若與的斜率之和為-2，直線是否經(jīng)過定點？若過定點，求出定點坐標，若不過定點請說明理由.解：（1）依題意，，解得，則橢圓的標準方程為；（2）如圖，設，連接,則,即點在以為直徑的圓上，取的中點為，，則圓，即，將其與作差整理，可得直線的方程為：，令，則；令，則，則得，故，因點在橢圓上，故，由可得，當且僅當時，等號成立，此時，即當點為這四個點時，面積取得最小值；（3）如圖，當直線的斜率為0時，直線與關(guān)于軸對稱，此時不符合題意；故可設直線的方程為：，代入中，整理得：，由，可得設，則（*）依題，，化簡整理得：，將（*）代入，可得，即得，整理得：，則有或.當時，經(jīng)過點,不合題意，舍去；當時，，經(jīng)過定點.故直線經(jīng)過定點.18.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列，由所有項數(shù)列組成集合．（1）若是12項0-1數(shù)列，當且僅當時，，求數(shù)列的所有項的和；（2）從集合中任意取出兩個數(shù)列，記．①求隨機變量的分布列，并證明：；②若用某軟件產(chǎn)生項數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，且．若，比較與的大?。猓海?）因為是12項數(shù)列，當且僅當時，，所以當和時，.設數(shù)列的所有項的和為，則，所以數(shù)列的所有項的和為0.（2）①因為數(shù)列，是從集合中任意取出兩個數(shù)列，所以，數(shù)列，為項數(shù)列所以，的可能取值為：當時，數(shù)列，中有項取值不同，有項取值相同，又因為集合中元素的個數(shù)共有個，所以，,所以，的分布列為：證明：因為，所以，.②由題知，所以，，所以，，所以，即，所以，，即19.莫比烏斯函數(shù)，由德國數(shù)學家和天文學家莫比烏斯提出，數(shù)學家梅滕斯首先使用作為莫比烏斯函數(shù)的記號，其在數(shù)論中有著廣泛應用所有大于1的正整數(shù)n都可以被唯一表示為有限個質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，為質(zhì)數(shù)，，例如：，對應，．現(xiàn)對任意，定義莫比烏斯函數(shù)．（1）求；（2）已知，記（為的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，為質(zhì)數(shù)，）的所有因數(shù)從小到大依次為．（?。┳C明：；（ⅱ）求的值（用