2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）44數(shù)學(xué)歸納法（七大題型）

4．4數(shù)學(xué)歸納法目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：對數(shù)學(xué)歸納法的理解 2題型二：數(shù)學(xué)歸納法中的增項問題 3題型三：證明恒等式 4題型四：證明不等式 6題型五：歸納—猜想—證明 9題型六：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 10題型七：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 11【重難點集訓(xùn)】 13【高考真題】 22【題型歸納】題型一：對數(shù)學(xué)歸納法的理解2．（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）對于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)（且）時，不等式成立，即，那么當(dāng)時，，所以當(dāng)時，不等式成立，則上述證法（

）A．過程全部正確 B．驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確【答案】D【解析】在時，沒有應(yīng)用時的歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.故選：D.4．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知命題及其證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，所以等式成立．（2）假設(shè)時等式成立，即成立，則當(dāng)時，，所以時等式也成立．由（1）（2）知，對任意的正整數(shù)命題都成立．判斷以上評述（

）A．命題、證明都正確 B．命題正確、證明不正確C．命題不正確、證明正確 D．命題、證明都不正確【答案】B【解析】證明不正確，錯在證明當(dāng)時，沒有用到假設(shè)時的結(jié)論．由等比數(shù)列求和公式知,命題正確.故選：B．9．（2024·高二·新疆伊犁·期末）利用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)證明（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，，即從起連續(xù)項正整數(shù)之和.則為從起連續(xù)3個正整數(shù)之和，故第一步應(yīng)證明.故選：B.10．（2024·高二·上?！ｎ}練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（），在驗證成立時，左邊計算所得的項是（

）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】因為，當(dāng)時，左邊，故C正確.故選：C.題型二：數(shù)學(xué)歸納法中的增項問題18．（2024·高二·浙江杭州·期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）的過程中，從到時，比共增加了（

）A．1項 B．項 C．項 D．項【答案】D【解析】因為，所以，共項，則共項，所以比共增加了項，故選：D19．（2024·高二·河南駐馬店·期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到時，不等式左邊需要增加的項為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知：當(dāng)時，當(dāng)時，相比從到，可知多增加的項為故選：D20．（2024·高二·浙江嘉興·期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，從推證時，左邊增加的代數(shù)式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的推導(dǎo)可得，當(dāng)時，當(dāng)時.左邊增加的代數(shù)式是.故選：A題型三：證明恒等式25．（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）求凸n邊形的對角線的條數(shù)．【解析】因為三角形沒有對角線，即；四邊形有2條對角線，即；五邊形有5條對角線，即；猜想，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)時，，命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)；當(dāng)時，邊形時在k邊形的基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點，則增加的對角線是頂點與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊，增加的對角線條數(shù)為，所以，可知：當(dāng)時，命題成立，所以猜想正確；綜上所述：凸n邊形的對角線的條數(shù).22．是否存在常數(shù)a、b，使等式對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a、b的值并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．若不存在，請說明理由．【解析】存在．將，分別代入等式，得，即，所以或.猜測對一切正整數(shù)都成立．證明：（1）當(dāng)時，顯然成立；（2）假設(shè)時，成立；則當(dāng)時，左邊右邊，所以時，等式也成立．綜合（1）（2），由數(shù)學(xué)歸納法就可以斷定等式對一切正整數(shù)都成立．30．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)；(2)．【解析】（1）證明：記，當(dāng)時，則有，等式成立，假設(shè)當(dāng)，等式成立，即，則，這說明當(dāng)時，等式成立，故對任意的，.（2）證明：設(shè)，當(dāng)時，，等式成立，假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，所以，，這說明當(dāng)時，等式成立，所以，對任意的，.31．（2024·高二·上海·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（為正整數(shù)）．【解析】設(shè)．①當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；②設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，．由①②可知當(dāng)時等式都成立．題型四：證明不等式38．?dāng)?shù)列滿足且(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：；(2)已知不等式對成立，證明：，其中無理數(shù)….【解析】（1）證明：將代入可得，①當(dāng)時，，滿足，②假設(shè)當(dāng)時滿足，③當(dāng)時，有成立，故得證；（2）證明：由（1）知，，兩邊取對數(shù)可得：，，，，，將上式相加可得：，，，，得證.42．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）若數(shù)列的通項公式為，，證明：對任意的，不等式成立.【解析】證明：由于，故.所證不等式為.（1）當(dāng)時，左式，右式，左式>右式，結(jié)論成立.（2）假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即，則當(dāng)時，，要證時結(jié)論成立，只需證，即證.由基本不等式知成立.故成立，所以當(dāng)時，結(jié)論成立.由（1）（2）可知，對任意的時，不等式成立.43．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）證明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．【解析】當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即，當(dāng)n＝k＋1時，，所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立．綜上，原不等式對任意n∈N*都成立．題型五：歸納—猜想—證明51．（2024·高二·上海·隨堂練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且（n為正整數(shù)）．(1)求，，，并由此猜想出的一個通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想成立．【解析】（1）由，得，由，得，由，得，由此猜想的一個通項公式：（n為正整數(shù)）；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)，滿足，命題成立；假設(shè)當(dāng)（k為正整數(shù)）時命題成立，即，則當(dāng)時，，命題仍然成立，由①和②可知：（n為正整數(shù)）．52．（2024·高二·上海·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式并證明．【解析】計算得，，，，…，猜測數(shù)列的通項公式為，用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（i）當(dāng)時，符合上述公式；（ii）假設(shè)當(dāng)（為正整數(shù)）時，有，則當(dāng)時，，符合上述公式.由（i）（ii）可知，（為正整數(shù)）.53．設(shè)，（n為正整數(shù)）．若，求，及數(shù)列的通項公式．【解析】，．可寫為，，，因此猜想．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng)時結(jié)論顯然成立．假設(shè)時結(jié)論成立，即．則，所以當(dāng)時結(jié)論成立．所以通項公式為．題型六：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題61．（2024·高二·上海閔行·期中）證明：當(dāng)時，能被64整除．【解析】（1）當(dāng)時，能被64整除．（2）假設(shè)當(dāng)時，能被64整除，則當(dāng)時，．故也能被64整除．綜合（1）（2）可知當(dāng)時，能被64整除．62．（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除．【解析】當(dāng)時，，又，能被整除；假設(shè)當(dāng)時，能被整除，即，那么當(dāng)時，能被整除；綜上所述：能被整除.63．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除.【解析】證明：（1）當(dāng)時，能被整除，所以結(jié)論成立；（2）假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即能被整除．則當(dāng)時，，因為能被整除，能被整除，所以，能被整除，即即時結(jié)論也成立．由（1）（2）知命題對一切都成立．題型七：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題70．（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）平面內(nèi)有條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù).【解析】證明：（1）當(dāng)時，兩條直線的交點只有一個，又，當(dāng)時，命題成立．（2）假設(shè)，且時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何條直線交點個數(shù)，那么，當(dāng)時，任取一條直線，除以外其他條直線交點個數(shù)為，與其他條直線交點個數(shù)為，從而條直線共有個交點，即，這表明，當(dāng)時，命題成立．由（1）、（2）可知，對命題都成立．73．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，（1）在數(shù)列中，，當(dāng)時，，在數(shù)列中，，，若點在函數(shù)的圖像上，求a的值.（2）在（1）的條件下，過點作傾斜角為的直線，若在y軸上的截距為，求數(shù)列的通項公式.【解析】（1）因為函數(shù)是的反函數(shù)，則.因為點在函數(shù)的圖像上，所以.（*）令，得，，，則.（2）由（1）得，（*）式可化為.①直線的方程為：.因為在y軸上截距為，所以，結(jié)合①可得.②由①式可知，當(dāng)自然數(shù)時，，.兩式作差得，結(jié)合②式得.③在③式中，令，結(jié)合，可解得或2，又因為當(dāng)時，，所以.同理，在③式中，依次令，，可解得，.由此猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（i）當(dāng)，2，3時，已證成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時，由③式可得，把代入，解得或.由于，則，所以不符合題意，應(yīng)舍去，故只有，則當(dāng)時命題也成立.綜上可知，數(shù)列的通項公式為.69．（2024·高二·廣東珠?！て谀┯浿本€為曲線的漸近線．若，過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，再過作軸的垂線交于點依此規(guī)律下去，得到點列，，，和點列，，，，為正整數(shù)．記的橫坐標為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．【解析】（1）由直線為曲線的漸近線，可得直線的方程為，可得，，，，，，，，，，，，，，則，，，，，；，，，，，；（2）證明：運用數(shù)學(xué)歸納法證明．，當(dāng)時，原不等式的左邊，右邊，由，則原不等式成立；設(shè)時，，當(dāng)時，，要證原不等式成立，即證，上式化為，即為，即為，兩邊平方可得，該不等式顯然成立，所以時，原不等式也成立．所以．【重難點集訓(xùn)】1．（2024·高二·陜西榆林·階段練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由到時，左邊增加了（

）A．項 B．項 C．k項 D．1項【答案】B【解析】當(dāng)時，不等式左邊為，當(dāng)時，不等式左邊為，故增加的項數(shù)為：.故選：B.2．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2024項的和為（

）A．1348 B．675 C．1349 D．1350【答案】D【解析】依題意，若，等價于為偶數(shù)，若，等價于為奇數(shù)，顯然，猜想：，當(dāng)時，成立；假設(shè)當(dāng)時，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；當(dāng)時，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故符合猜想，因此，，所以數(shù)列的前2024項的和為.故選：D3．（2024·高三·全國·對口高考）已知，證明不等式時，比多的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，所以比多的項數(shù)是.故選：B.4．（2024·高二·上?！て谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，左邊的代數(shù)式為，當(dāng)時，左邊的代數(shù)式為，故用時左邊的代數(shù)式減去時左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：故選：D．5．（2024·高二·全國·課堂例題）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗證成立時，左邊所得的代數(shù)式是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，所以左邊為.故選：C.6．（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）對于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)（且）時，不等式成立，即，那么當(dāng)時，，所以當(dāng)時，不等式成立，則上述證法（

）A．過程全部正確 B．驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確【答案】D【解析】在時，沒有應(yīng)用時的歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.故選：D.7．（2024·高二·河南·期中）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，則還需要再證（

）A．時等式成立 B．時等式成立C．時等式成立 D．時等式成立【答案】B【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，還需要再證明下一個偶數(shù)，即時等式成立.故選：B8．（多選題）（2024·高二·吉林延邊·階段練習(xí)）如圖，點均在軸的正半軸上，，，…，分別是以為邊長的等邊三角形，且頂點均在函數(shù)的圖象上．為數(shù)列前項和，為數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對A，第一個等邊三角形頂點坐標代入得，故A正確；將點坐標代入，將點坐標代入得，對BC，法一：由此可猜測：．接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)，顯然成立，假設(shè)，成立，則時，，，即，故B錯誤；故在，所以，由于，解得成立，故也成立，綜上可得，故C錯誤；法二：數(shù)列前項和為，則頂點坐標為，，故B錯誤；因為點在函數(shù)上，所以，，則，，兩式相減得，，因為，所以，，第一個等邊三角形頂點代入得，代入得，所以，故是以為首項為公差的等差數(shù)列，所以，故C錯誤；對D，，所以，故AD正確，BC錯誤，故選：AD9．（多選題）（2024·高二·安徽·期末）設(shè)數(shù)列滿足，且當(dāng)時，有則（

）A．， B．，C． D．【答案】ACD【解析】對于A中，當(dāng)為偶數(shù)時，則為奇數(shù)，可得且，，則，即，所以，即，因為，所以，又，所以，所以A正確；對于B中，由成立，假設(shè)，則由，知，所以，即時，也成立，所以，不存在，，所以B錯誤；對于C中，由，，猜想，當(dāng)時，成立，假設(shè)，由，則，即時，也成立，所以，故C正確；對于D中，因為當(dāng)n為奇數(shù)時，，為奇數(shù)所以，故D正確；故選：ACD.10．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·期末）已知數(shù)列中，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)列B．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減C．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增D．當(dāng)時，數(shù)列為擺動數(shù)列【答案】ABC【解析】對于A選項，當(dāng)時，，由可得，，，，以此類推可知，對任意的，，此時，數(shù)列為常數(shù)列，A對；對于B選項，當(dāng)時，則，此時，數(shù)列單調(diào)遞減，B對；對于C選項，因為，，且，則，猜想，，，當(dāng)時，猜想成立，假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，則當(dāng)時，，因為，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對任意的，，所以，，此時，數(shù)列單調(diào)遞增，C對；對于D選項，當(dāng)時，取，則且，則，，，，以此類推可知，當(dāng)且時，，即，此時，數(shù)列不是擺動數(shù)列，D錯.故選：ABC.11．（2024·高二·全國·單元測試）用數(shù)學(xué)歸納法證明能被14整除的過程中，當(dāng)時，應(yīng)變形為.【答案】【解析】當(dāng)時，.故答案為：

.12．（2024·高二·甘肅慶陽·階段練習(xí)）若用數(shù)學(xué)歸納法證明是31的倍數(shù)，在驗證成立時，原式為．【答案】【解析】當(dāng)時，.故答案為：13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在運用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時，則當(dāng)時，除了時必須有歸納假設(shè)的代數(shù)式相關(guān)的表達式外，還必須有與之相加的代數(shù)式為．【答案】【解析】設(shè)當(dāng)時，能被整除，所以時，，因此必須有代數(shù)式．故答案為：14．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）觀察下列各式：總結(jié)出一般規(guī)律，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所得到的結(jié)論.【解析】觀察各式，可得一般規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；假設(shè)時，等式成立，即，那么當(dāng)時，故時，等式也成立.綜上，等式對于一切正整數(shù)n都成立.15．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除.【解析】①當(dāng)時，能被整除，所以當(dāng)時結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)時，能被整除，那么當(dāng)時，，由假設(shè)可知能被整除，即能被整除，所以當(dāng)時結(jié)論也成立.綜上，能被整除.16．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列的首項，且，試猜想出這個數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解析】，，，，…，猜想：．證明如下：（1）當(dāng)時，，猜想成立；（2）假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，猜想也成立．綜合（1）（2），可知猜想對于任意都成立．17．（2024·高二·上海·期中）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為.若，用數(shù)學(xué)歸納法證明：.【解析】等差數(shù)列中，，，當(dāng)時，，，原等式成立；假設(shè)當(dāng)時，原等式成立，即，，則，即當(dāng)時，原等式成立，所以對一切，等式成立.【高考真題】1．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項公式為的通項公式為．記數(shù)列的前項和為，則，的最小值為．【答案】【解析】由題可知，所以，，令，則，當(dāng)時，，即，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，成立，假設(shè)時，成立，當(dāng)時，，即時也成立，所以當(dāng)時，，即，所以時，，時，，所以當(dāng)時，有最小值，最小值為.故答案為：；.2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，其中，，．當(dāng)，時，該數(shù)列的通項公式為，若該數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)，都有：，當(dāng)時，符合條件的正整數(shù)對的個數(shù)為．其中為的最大公因數(shù)．【答案】【解析】（1）當(dāng)，時，有，，.設(shè)，則，，且.故具有相同的初值和遞推式，故，從而；（2）根據(jù)，，，知，.一方面，若，則，故.從而；另一方面，若，下面證明：.定義數(shù)列滿足，，.則用數(shù)學(xué)歸納法可證明，，直接利用公式計算可知，對，有.由于，，，故.從而如果，就有；如果，就有.定義序列如下：，且對非負整數(shù)，.則根據(jù)上面的結(jié)論，有，同時根據(jù)最大公因