2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)2類比推理含解析北師大版選修2-2

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(二)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．平面內(nèi)平行于同始終線的兩直線平行，由此類比我們可以得到()A．空間中平行于同始終線的兩直線平行B．空間中平行于同一平面的兩直線平行C．空間中平行于同始終線的兩平面平行D．空間中平行于同一平面的兩平面平行D[利用類比推理，平面中的直線和空間中的平面類比．]2．對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點(diǎn)，但不是中心B．一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C．一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D．中心D[由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個(gè)面的中心．]3．下列推理正確的是()A．把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n與(a＋b)n類比，則有(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有(xy)z＝x(yz)D[乘法的結(jié)合律與加法結(jié)合律相類比得(xy)z＝x(yz)．故選D.]4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x軸、y軸上的截距分別為a和b的直線，拓展到空間，在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1A[從方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的結(jié)構(gòu)形式來看，空間直角坐標(biāo)系中，平面方程的形式應(yīng)當(dāng)是eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1．]5．在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d>0，則有a4a6>a3a7.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，公比q>1，則關(guān)于b5，b7，b4，bA．b5b7>b4b8 B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8 D．b7＋b8<b4＋b5C[b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，∴b5＋b7<b4＋b8.]二、填空題6．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2(r>0)，即eq\f(x2,r2)＋eq\f(y2,r2)＝1，類比圓的面積S＝πr2，推理可得橢圓的面積S＝________.πab[依據(jù)類比原理：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,r2)＋eq\f(y2,r2)＝1對(duì)應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，所以圓的面積S＝πr2＝π·r·r類比橢圓的面積S＝π·a·b＝πab.]7．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，將此結(jié)論類比到空間有_____________．在三棱錐A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，則三棱錐A-BCD的外接球半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)[Rt△ABC類比到空間為三棱錐A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圓類比到空間為三棱錐A-BCD的外接球．]8．已知等差數(shù)列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，則在等比數(shù)列{bn}中，會(huì)有類似的結(jié)論____________________．eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)[由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).]三、解答題9．如圖(1)，在平面內(nèi)有面積關(guān)系eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，寫出圖(2)中類似的體積關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(1)(2)[解]類比eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，有eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).證明：如圖，設(shè)C′，C到平面PAB的距離分別為h′，h.則eq\f(h′,h)＝eq\f(PC′,PC)，故eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(\f(1,3)S△PA′B′·h′,\f(1,3)S△PAB·h)＝eq\f(PA′·PB′·h′,PA·PB·h)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).10．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有什么樣的等式成立？[解]在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．[實(shí)力提升練]1．已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的eq\f(1,3)，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是()A．正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,2)B．正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,3)C．正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4)D．正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,5)C[原問題的解法為等面積法，即S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar?r＝eq\f(1,3)h，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr?r＝eq\f(1,4)h，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4).]2．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG,GD)＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長(zhǎng)都相等的四面體A-BCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f(AO,OM)＝()A．1 B．2C．3 D．4C[如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此時(shí)易知點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等體積法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)?r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1．]3．36的全部正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6＝22×32，所以36的全部正約數(shù)之和為(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，參照上述方法，可求得200的全部正約數(shù)之和為________．465[類比求36的全部正約數(shù)之和的方法，200的全部正約數(shù)之和可按如下方法求得：因?yàn)?00＝23×52，所以200的全部正約數(shù)之和為(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.]4．類比“等差數(shù)列”的定義，寫出“等和數(shù)列”的定義，并解答下列問題：已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，求a18及這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.[解]定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，從其次項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．由上述定義，得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù)，,3，n為偶數(shù)，))故a18＝3.從而Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù)，,\f(5,2)n，n為偶數(shù).))5．如圖(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC.若類比該命題，如圖(2)，三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是不是真命題？(1)(2)[解]命題是：三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCM·S△BCD.此命題是一個(gè)真命題．證明如下：如圖，延長(zhǎng)DM交BC于E，連接AE，則有DE⊥BC.因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以AD