2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計案例11.1回歸分析1.2相關(guān)系數(shù)1.3可線性化的回歸分析學(xué)案北師大版選修1-2

PAGE1-1.1回來分析1.2相關(guān)系數(shù)1.3可線性化的回來分析學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.了解回來分析的思想和方法．(重點)2．駕馭相關(guān)系數(shù)的計算和推斷線性相關(guān)的方法．(重點)3．了解常見的非線性回來模型轉(zhuǎn)化為線性回來模型的方法．(難點)1.借助收集的數(shù)據(jù)求相關(guān)系數(shù)和推斷是否線性相關(guān)問題，培育學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2．通過將非線性回來模型轉(zhuǎn)化為線性回來模型，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).1．回來分析設(shè)變量y對x的線性回來方程為y＝a＋bx，由最小二乘法知系數(shù)的計算公式為：b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).2．相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù)r的計算假設(shè)兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(lxy,\r(lxxlyy))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).(2)相關(guān)系數(shù)r與線性相關(guān)程度的關(guān)系①r的取值范圍為[－1,1]；②|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高；③|r|值越接近0，誤差Q越大，變量之間的線性相關(guān)程度越低．3．相關(guān)性的分類(1)當r>0時，兩個變量正相關(guān)；(2)當r<0時，兩個變量負相關(guān)；(3)當r＝0時，兩個變量線性不相關(guān)．思索：全部的兩個相關(guān)變量都可以來求回來方程嗎？[提示]不確定．假如兩個相關(guān)變量的相關(guān)性很強，可以求出回來方程，當幾乎沒有相關(guān)性時就不行以求出回來方程．4．可線性化的回來分析(1)非線性回來分析對不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量做統(tǒng)計分析，通過變量代換，轉(zhuǎn)化為線性回來模型．(2)非線性回來方程曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)y＝axb(a＝1，b＞0)(a＝1，b＜0)c＝lnav＝lnxu＝lnyu＝c＋bvy＝aebx(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnau＝lnyu＝c＋bxy＝aeeq\f(b,x)(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnav＝eq\f(1,x)u＝lnyu＝c＋bvy＝a＋blnx(b＞0)(b＜0)v＝lnxu＝y(tǒng)u＝a＋bv1．變量y與x之間的回來方程()A．表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系B．表示y與x之間的不確定性關(guān)系C．反映y與x之間真實關(guān)系的形式D．反映y與x之間的最大限度的真實關(guān)系的形式[答案]D2．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954依據(jù)上表可得回來方程y＝bx＋a中的b為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時，銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元B[eq\x\to(x)＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝3.5，eq\x\to(y)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42，∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回來方程為y＝9.4x＋9.1，∴當x＝6時，y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故選B.]3．下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y＝2＋eq\f(1,3)x B．y＝2exC．y＝2eeq\f(1,x) D．y＝2＋lnxD[分別將x的值代入解析式推斷知滿意y＝2＋lnx．]變量間的相關(guān)關(guān)系及判定【例1】(1)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖①，對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖②.由這兩個散點圖可以推斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān)C．變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān)(2)兩個變量x，y與其線性相關(guān)系數(shù)r有下列說法：①若r＞0，則x增大時，y也隨之相應(yīng)增大；②若r＜0，則x增大時，y也相應(yīng)增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關(guān)系完全對應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上，其中正確的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③(3)有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時間和平均學(xué)習(xí)成果；③某人每日吸煙量和其身體健康狀況；④正方形的邊長和面積；⑤汽車的重量和百公里耗油量．其中兩個變量成正相關(guān)的是()A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤思路點撥：可借助于線性相關(guān)概念及性質(zhì)作出推斷．(1)C(2)C(3)C[(1)由這兩個散點圖可以推斷，變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)，故選C.(2)依據(jù)兩個變量的相關(guān)性與其相關(guān)系數(shù)r之間的關(guān)系知，①③正確，②錯誤，故選C.(3)其中①③成負相關(guān)關(guān)系，②⑤成正相關(guān)關(guān)系，④成函數(shù)關(guān)系，故選C.]線性相關(guān)系數(shù)的理解1．線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來推斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法．與散點圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細得多，須要留意的是線性相關(guān)系數(shù)r的確定值小，只是說明線性相關(guān)程度低，但不確定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)．2．利用相關(guān)系數(shù)r來檢驗線性相關(guān)顯著性水平常，通常與0.75作比較，若r>0.75，則線性相關(guān)較為顯著，否則為不顯著．1．下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的體積與邊長B．人的身高與體重C．勻速行駛車輛的行駛距離與時間D．球的半徑與體積B[選項A中正方體的體積為邊長的立方，有固定的函數(shù)關(guān)系；選項C中勻速行駛車輛的行駛距離與時間成正比，也是函數(shù)關(guān)系；選項D中球的體積是eq\f(4,3)π與半徑的立方相乘，有固定函數(shù)關(guān)系．只有選項B中人的身高與體重具有相關(guān)關(guān)系．]求線性回來方程【例2】(1)變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3，2)，(11.8,3)，(12.5,4)(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1 D．r2＝r1(2)某服裝商場為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x(℃)171382月銷售量y(件)24334055①算出線性回來方程y＝bx＋a(a，b精確到0.1)；②氣象部門預(yù)料下個月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計該商場下個月毛衣的銷售量．思路點撥：(1)可利用公式求解；(2)把月平均氣溫代入回來方程求解．(1)C[對變量X與Y而言，Y隨X的增大而增大，故變量Y與X正相關(guān)，即r1>0；對變量U與V而言，V隨U的增大而減小，故變量V與U負相關(guān)，即r2<0.故r2<0<r1.](2)解：①由散點圖易推斷y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．eq\x\to(x)＝(17＋13＋8＋2)÷4＝10，eq\x\to(y)＝(24＋33＋40＋55)÷4＝38，eq\o(eq\o(∑,\s\up6(4)),\s\do14(i＝1))xiyi＝17×24＋13×33＋8×40＋2×55＝1267，eq\o(eq\o(∑,\s\up6(4)),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝526，b＝eq\f(\o(eq\o(∑,\s\up6(4)),\s\do14(i＝1))xiyi－4\O(\x\to(x))\O(\x\to(y)),\o(eq\o(∑,\s\up6(4)),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(1267－4×10×38,526－4×102)≈－2.0，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈38－(－2.0)×10＝58.0，所以線性回來方程為y＝－2.0x＋58.0.②氣象部門預(yù)料下個月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計，該商場下個月毛衣的銷售量為y＝－2.0x＋58.0＝－2.0×6＋58.0＝46(件)．回來分析的理解1．回來分析是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量基礎(chǔ)上的，因此，在做回來分析時，要先推斷這兩個變量是否相關(guān)，利用散點圖可直觀地推斷兩個變量是否相關(guān)．2．利用回來直線，我們可以進行預(yù)料．若回來直線方程y＝a＋bx，則x＝x0處的估計值為y0＝a＋bx0.3．線性回來方程中的截距a和斜率b都是通過樣本估計而得到的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報結(jié)果的偏差，所以由線性回來方程給出的是一個預(yù)報值而非精確值．4．回來直線必過樣本點的中心點．2．某探討機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和推斷力y進行統(tǒng)計分析，得到下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖(要求：點要描粗)；(2)請依據(jù)上表供應(yīng)的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回來方程y＝bx＋a；(3)試依據(jù)求出的線性回來方程，預(yù)料記憶力為9的同學(xué)的推斷力．[解](1)如圖：(2)eq\o()eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do14(i＝1))xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，b＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝0.7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝4－0.7×9＝－2.3，故線性回來方程為y＝0.7x－2.3.(3)由(2)中線性回來方程知當x＝9時，y＝0.7×9－2.3＝4，預(yù)料記憶力為9的同學(xué)的推斷力約為4.可線性化的回來分析[探究問題]1．如何解答非線性回來問題？[提示]非線性回來問題有時并不給出閱歷公式．這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖像作比較，選擇一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采納適當?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回來分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：2．已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個函數(shù)中，模擬效果最好的為哪一個？x123y35.9912.01①y＝3×2x－1;②y＝log2x；③y＝4x;④y＝x2.[提示]視察散點圖中樣本點的分布規(guī)律可推斷樣本點分布在曲線y＝3×2x－1旁邊．所以模擬效果最好的為①.【例3】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170體重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)試建立y與x之間的回來方程；(2)假如一名在校男生身高為168cm，預(yù)料他的體重約為多少？思路點撥：先由散點圖確定相應(yīng)的擬合模型，再通過對數(shù)變換將非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)的兩個變量來求解．[解](1)依據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，如下：由圖看出，這些點分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的四周，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散點圖，如下：由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回來直線方程為z＝0.693＋0.020x，則有y＝e0.693＋0.020x.(2)由(1)知，當x＝168時，y＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高為168cm，預(yù)料他的體重約為57.57kg.兩個變量不具有線性關(guān)系，不能干脆利用線性回來方程建立兩個變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回來模型，如y＝c1ec2x，我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則變換后樣本點應(yīng)當分布在直線z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的四周.3．在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)據(jù)如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回來方程．[解]作出變量y與x之間的散點圖如圖所示．由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系．設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表：t4210.50.25y1612521作出y與t的散點圖如圖所示．由圖可知y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系．又eq\x\to(t)＝1.55，eq\x\to(y)＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝94.25，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝21.3125，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\O(\x\to(t))\O(\x\to(y)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)＝eq\f(94.25－5×1.55×7.2,21.3125－5×1.552)≈4.1344，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝7.2－4.1344×1.55≈0.8，∴y＝4.1344t＋0.8.所以y與x的回來方程是y＝eq\f(4.1344,x)＋0.8.1．回來分析的留意事項(1)回來方程只適用于我們所探討的樣本的總體．如：不能用女高校生的身高和體重之間的回來方程，描述女運動員的身高和體重之間的關(guān)系．同樣，不能用生長在南方多雨地區(qū)的樹木的高與直徑之間的回來方程，描述北方干旱地區(qū)的樹木的高與直徑之間的關(guān)系．(2)我們所建立的回來方程一般都有時間性．例如，不能用20世紀80年頭的身高體重數(shù)據(jù)所建立的回來方程，描述現(xiàn)在的身高和體重之間的關(guān)系．(3)樣本取值的范圍限制了回來方程的適用范圍．例如，我們的回來方程是由女高校生身高和體重的數(shù)據(jù)建立的，那么用它來描述一個人幼兒時期的身高和體重之間的關(guān)系是不恰當?shù)?即在回來方程中，變量x的樣本的取值范圍為[155,170](單位：cm)，而用這個方程計算x＝70cm時的y值，明顯不合適)．(4)不能期望回來方程得到的值就是變量的精確值．它是變量的可能取值的平均值．2．求非線性回來方程的步驟(1)確定變量，作出散點圖．(2)依據(jù)散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)．(3)關(guān)系變換，通過關(guān)系變換把非線性回來問題轉(zhuǎn)化為線性回來問題，并求出線性回來方程．(4)分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來推斷擬合效果．(5)依據(jù)相應(yīng)的交換，寫出非線性回來方程.1．推斷正誤(1)兩個變量的相關(guān)系數(shù)r＞0，則兩個變量正相關(guān)．()(2)兩個變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強．()(3)若兩個變量負相關(guān)，那么其回來直線的斜率為負．()[答案](1)√(2)×(3)√2．設(shè)某高校的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，依據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回來方程為y＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回來直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若該高校某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該高校某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kgD[回來方程中x的系數(shù)為0.85>0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；易知回來直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，B正確；依據(jù)回來方程中b的含義可知，x每改變1個單位，y相應(yīng)改變約0.85個單位，C正確；用回來方程對總體進行估計不能得到確定結(jié)論，故D不正確．]3．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，由測得的一組數(shù)據(jù)求得回來直線的斜率為6.5，且恒過(2,3)點，則這條回來直線的方程為________．y＝6.5x－10[由題意知eq\x\to(x)＝2，eq\x\to(y)＝3，b＝6.5，所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x