新高考Ⅱ卷專用黃金卷03備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅱ卷專用）黃金卷03（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知等比數(shù)列的公比不為1，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．4．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)，若存在使得成立，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．7．已知圓和圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（

）A．圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱B．圓和圓的公共弦長(zhǎng)為C．的取值范圍為D．若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為8．已知點(diǎn)為扇形的弧上任意一點(diǎn)，且，若（），則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．B．C．在上為增函數(shù)D．函數(shù)在上有且只有2個(gè)零點(diǎn)10．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍?，，分別是棱，的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．該內(nèi)切球的球面面積為B．存在點(diǎn)，使得平面C．平面被球截得的截面圓的面積為D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為11．已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點(diǎn)，，它們的離心率分別為，，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為Q，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為C．過作直線的垂線，垂足為H，點(diǎn)H的軌跡是雙曲線D．兩個(gè)曲線在P點(diǎn)處的切線互相垂直第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為24，則實(shí)數(shù)a的值為．13．如圖，已知過拋物線（）的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，，分別為，，的面積.若，則直線的斜率為．14．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）在直三棱柱中，，，，G是的重心，點(diǎn)Q在線段AB（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）上．(1)若Q為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若直線與平面所成的角正弦值為，求．16．（15分）2024年6月25日14時(shí)07分，嫦娥六號(hào)返回器準(zhǔn)確著陸于內(nèi)蒙古自治區(qū)四子王旗預(yù)定區(qū)域，工作正常，標(biāo)志著探月工程嫦娥六號(hào)任務(wù)取得圓滿成功，實(shí)現(xiàn)了世界首次月球背面采樣返回.某學(xué)校為了了解學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注情況，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了一個(gè)容量為90的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生5560女生合計(jì)75(1)完成上述列聯(lián)表，依據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注與性別有關(guān)？(2)為了激發(fā)同學(xué)們對(duì)探月工程的關(guān)注，該校舉辦了一次探月知識(shí)闖關(guān)比賽，比賽有兩個(gè)答題方案可供選擇：方案一：回答4個(gè)問題，至少答對(duì)3個(gè)問題才能晉級(jí)；方案二：在4個(gè)問題中隨機(jī)選擇2個(gè)問題作答，都答對(duì)才能晉級(jí).已知振華同學(xué)答對(duì)這4個(gè)問題的概率分別為，振華同學(xué)回答這4個(gè)問題正確與否相互獨(dú)立，則振華選擇哪種方案晉級(jí)的可能性更大？附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.82817．（15分）在中，為的中點(diǎn)，，記，.(1)證明：或；(2)若，且，求的最大值.18．（17分）已知函數(shù)．(1)若，證明：；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（i）若，證明：．（ii）已知函數(shù)，若，證明：．19．（17分）給出如下的定義和定理：定義：若直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與的對(duì)稱軸不平行，則稱直線與拋物線相切，公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)．定理：過拋物線上一點(diǎn)處的切線方程為．完成下述問題：已知拋物線，焦點(diǎn)為，過外一點(diǎn)（不在軸上），作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，（在軸兩側(cè)）直線分別交軸于兩點(diǎn)，(1)若，求線段的長(zhǎng)度；(2)若點(diǎn)在直線上，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；(3)若點(diǎn)在曲線上，求四邊形的面積的范圍．

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅱ卷專用）黃金卷03·參考答案（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。12345678AAACBADC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ABDACDABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）【詳解】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹比庵?，所以平面平面，，，又分別為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，(2分)又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?3分)同理可得平面，(4分)因?yàn)槠矫妫?，所以平面平面?5分)又平面，所以平面．(6分)

（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，(7分)由直三棱柱可得，為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，，取，則，(10分)因?yàn)橹本€與平面所成的角正弦值為，所以，(12分)整理得，，解得或（不合題意舍），所以．(13分)

16．（15分）【詳解】（1）列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生55560女生201030合計(jì)751590(3分)，(6分)能有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注與性別有關(guān).(7分)（2）記這4個(gè)問題為，記振華答對(duì)的事件分別記為，分別記按方案一?二晉級(jí)的概率為，則，(10分)，(13分)因?yàn)椋袢A選擇方案一晉級(jí)的可能性更大.(15分)17．（15分）【詳解】（1）∵，∴，∴，(2分)

在中，則；(3分)在中，則，(4分)∵，∴，∴，(5分)∵，∴或，即或.(7分)（2）時(shí)，

∵，∴，∴，由已知，矛盾；(10分)時(shí)，，

∴，∴，∴，(12分)∴，∵，∴的最大值為.(15分)18．（17分）【詳解】（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，(1分)故當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，(2分)設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，(3分)故當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，(4分)故當(dāng)時(shí)，(5分)因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，(6分)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且由，可得，所以，即，所以(7分)（2）（i）因?yàn)?，所以，則，(8分)所以，即，(9分)所以(10分)（ii）函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，(11分)所以當(dāng)時(shí)，，因此，(12分)故，即(13分)因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，綜上，，所以，(16分)所以，即.(17分)19．（17分）【詳解】（1）由題意知，直線，的斜率均不為零，其斜率都存在且異號(hào)，設(shè)，因?yàn)?，?2分)不妨設(shè)，則方程為，即，，，所以線段CF的長(zhǎng)度為.(4分)

（2）設(shè)，直線，聯(lián)立，可得.(6分)在軸兩側(cè)，，，所以點(diǎn)處的切線方程為，整理得，(8分)同理可求得點(diǎn)處的切線方程為，(9分)由，可得，又在直線上，，直線過定點(diǎn).(10分)

（3）由（2）可得在曲線上，.(12分)

由（1）可知，，(13分)(15分)令在單調(diào)遞減，(16分)∴四邊形的面積的范圍為(17分)【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅱ卷專用）黃金卷03（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，求得集合，結(jié)合集合的交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以，又由不等式，解得，所以，可得，且或，則，，或，或.故選：A.2．已知，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由，，，得，，于是，由，取，滿足，顯然“，”不成立，所以“，”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．已知等比數(shù)列的公比不為1，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，且，由，，成等差數(shù)列，得，整理得，則.故選：A4．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式可求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，由已知，，所以，所以的取值范圍?故選：C.5．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)證明即可比較大小.【詳解】令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，因此；令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，因此，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.6．設(shè)函數(shù)，若存在使得成立，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】首先求出和的值域范圍，根據(jù)建立等式關(guān)系，然后將表示為一個(gè)關(guān)于其中一個(gè)變量的函數(shù)，最后求這個(gè)函數(shù)的最大值.【詳解】對(duì)求導(dǎo)，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域是.對(duì)求導(dǎo)，所以.令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域是.由可得，則.因?yàn)?，所以，那?令，，則，又因?yàn)椋?，所?設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)，所以.令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以在處取得最大值.故選：A.7．已知圓和圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（

）A．圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱B．圓和圓的公共弦長(zhǎng)為C．的取值范圍為D．若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】D【分析】求出圓心和半徑，再結(jié)合中垂線知識(shí)可判斷A，利用等等這些距離公式結(jié)合勾股定理可判斷B，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最小，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，進(jìn)而可判斷C，求出關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，和圓，圓心和半徑分別是，則兩圓心中點(diǎn)為，若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線是的中垂線，但兩圓心中點(diǎn)不在直線上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，到直線的距離，故公共弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心距為，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最小，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最大為，故的取值范圍為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，

則解得即關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)最小，，即的最小值為，D正確.故選：D.8．已知點(diǎn)為扇形的弧上任意一點(diǎn)，且，若（），則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建系設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合向量關(guān)系表示，最后應(yīng)用三角恒等變換及三角函數(shù)值域求范圍即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，由已知可設(shè)為軸的正半軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，其中，其中，由，即，整理得，解得，則，，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．B．C．在上為增函數(shù)D．函數(shù)在上有且只有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的周期判斷A，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸判斷B，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)數(shù)形結(jié)合判斷D.【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期為，所以成立，A項(xiàng)正確；因?yàn)椋允堑淖钚≈?，所以直線是圖象的一條對(duì)稱軸，所以成立，B項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由題意知在有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，由函數(shù)的圖象，如圖，易知與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，D項(xiàng)正確.故選：ABD10．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍?，，分別是棱，的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．該內(nèi)切球的球面面積為B．存在點(diǎn)，使得平面C．平面被球截得的截面圓的面積為D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)內(nèi)切球半徑計(jì)算表面積判斷A；以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，利用空間向量法可判斷B，應(yīng)用空間向量法計(jì)算點(diǎn)到平面距離計(jì)算求出截面面積判斷C，確定當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過的平面截該正方體所得截面為邊長(zhǎng)為的正六邊形，利用面積公式求面積判斷D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)已知條件球?yàn)橐詾閳A心，半徑，內(nèi)切球的球面面積為，A正確；對(duì)于B：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則由題意可得，，，，設(shè)點(diǎn)，其中，對(duì)于，，，設(shè)平面法向量為，，，則，令，則y=?1，，為平面的一個(gè)法向量，若存在點(diǎn)，使平面，只需，因?yàn)椴怀闪ⅲ訠錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)平面法向量為m=x1,，，則，令，則，，為平面的法向量，又因?yàn)椋瑒t到平面的距離為，則，設(shè)平面被球截得的截面圓的半徑為，，所以平面被球截得的截面圓的面積為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，過的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長(zhǎng)，所以截面面積，D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何體與球的組合問題，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，平面截球的問題，平面截正方體問題，關(guān)鍵是：（1）利用球的弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)；（2）確定平面截正方體所得截面的形狀.11．已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點(diǎn)，，它們的離心率分別為，，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為Q，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為C．過作直線的垂線，垂足為H，點(diǎn)H的軌跡是雙曲線D．兩個(gè)曲線在P點(diǎn)處的切線互相垂直【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到⊥，由橢圓定義和雙曲線定義得到，由勾股定理得到方程，求出，故A正確；B選項(xiàng)，由余弦定理得到方程，求出，即，由基本不等式求出的最小值；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到，得到H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，先得到橢圓和雙曲線在P點(diǎn)處的切線的斜率，得到橢圓在Px0,y0點(diǎn)處的切線斜率為，雙曲線在Px0,y0點(diǎn)處的切線斜率為，又，化簡(jiǎn)得，從而得到斜率乘積為-1，得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，故，則⊥，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，由勾股定理得，即，化簡(jiǎn)得，即，又，所以，A正確；B選項(xiàng)，若，由余弦定理得，即，由（1）得，代入上式得，即，即，因?yàn)橛?，所以，由基本不等式得，即，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為，B正確；C選項(xiàng)，過作直線的垂線，垂足為H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)槠椒?，由三線合一得，為的中點(diǎn)，則，連接，由中位線性質(zhì)得，故點(diǎn)H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，下面證明橢圓在Px0,y當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡(jiǎn)得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在Px0,y下面證明：上一點(diǎn)的切線方程為，理由如下：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，，由化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋肷鲜降?，整理得，同除以得，，即，因?yàn)?，，所以，?lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，故橢圓：在Px0,y雙曲線在Px0,y又，故，化簡(jiǎn)得，又，所以，故則斜率乘積為，故兩曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】過圓上一點(diǎn)的切線方程為：，過圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為：.過橢圓上一點(diǎn)Px0,y過雙曲線上一點(diǎn)Px0,第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為24，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】【分析】根據(jù)乘法分配律以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式是，令；令（舍去）所以.故答案為：13．如圖，已知過拋物線（）的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，，分別為，，的面積.若，則直線的斜率為．【答案】【分析】設(shè)直線傾斜角為，，可得，，，用表示，結(jié)合題意運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，，可知：，且，解得，則，同理可得，可知：，，，因?yàn)?，則，整理得，解得或，且，則，可得，所以直線的斜率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線的定義可得，利用表示其他量，結(jié)合題意運(yùn)算求解.14．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用三角形面積公式與余弦定理，可得，再根據(jù)同角關(guān)系式可得，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合條件可得取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍，令，則，然后由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求出．【詳解】在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡(jiǎn)得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可以求解.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）在直三棱柱中，，，，G是的重心，點(diǎn)Q在線段AB（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）上．

(1)若Q為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若直線與平面所成的角正弦值為，求．【詳解】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹比庵?，所以平面平面，，，又分別為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，(2分)又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?3分)同理可得平面，(4分)因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面?5分)又平面，所以平面．(6分)

（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，(7分)由直三棱柱可得，為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，，取，則，(10分)因?yàn)橹本€與平面所成的角正弦值為，所以，(12分)整理得，，解得或（不合題意舍），所以．(13分)

16．（15分）2024年6月25日14時(shí)07分，嫦娥六號(hào)返回器準(zhǔn)確著陸于內(nèi)蒙古自治區(qū)四子王旗預(yù)定區(qū)域，工作正常，標(biāo)志著探月工程嫦娥六號(hào)任務(wù)取得圓滿成功，實(shí)現(xiàn)了世界首次月球背面采樣返回.某學(xué)校為了了解學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注情況，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了一個(gè)容量為90的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生5560女生合計(jì)75(1)完成上述列聯(lián)表，依據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注與性別有關(guān)？(2)為了激發(fā)同學(xué)們對(duì)探月工程的關(guān)注，該校舉辦了一次探月知識(shí)闖關(guān)比賽，比賽有兩個(gè)答題方案可供選擇：方案一：回答4個(gè)問題，至少答對(duì)3個(gè)問題才能晉級(jí)；方案二：在4個(gè)問題中隨機(jī)選擇2個(gè)問題作答，都答對(duì)才能晉級(jí).已知振華同學(xué)答對(duì)這4個(gè)問題的概率分別為，振華同學(xué)回答這4個(gè)問題正確與否相互獨(dú)立，則振華選擇哪種方案晉級(jí)的可能性更大？附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828【詳解】（1）列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生55560女生201030合計(jì)751590(3分)，(6分)能有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注與性別有關(guān).(7分)（2）記這4個(gè)問題為，記振華答對(duì)的事件分別記為，分別記按方案一?二晉級(jí)的概率為，則，(10分)，(13分)因?yàn)?，振華選擇方案一晉級(jí)的可能性更大.(15分)17．（15分）在中，為的中點(diǎn)，，記，.(1)證明：或；(2)若，且，求的最大值.【詳解】（1）∵，∴，∴，(2分)

在中，則；(3分)在中，則，(4分)∵，∴，∴，(5分)∵，∴或，即或.(7分)（2）時(shí)，

∵，∴，∴，由已知，矛盾；(10分)時(shí)，，

∴，∴，∴，(12分)∴，∵，∴的最大值為.(15分)18．（17分）已知函數(shù)．(1)若，證明：；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（i）若，證明：．（ii）已知函數(shù)，若，證明：．【詳解】（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，(1分)故當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，(2分)設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，(3分)故當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，(4分)故當(dāng)時(shí)，