2023-2024學(xué)年福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得或，所以，又，所以.故選：A.2.已知扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則此扇形的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)扇形的半徑為，因?yàn)樯刃蔚膱A心角，扇形的周長(zhǎng)為，則，解得，所以此扇形的面積.故選：B.3.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對(duì)A，，因?yàn)?，，故，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，因?yàn)?，故，故，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，因?yàn)椋?，故，即，故D正確.故選：D.4.若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，依題意可得，解得，所以，所以的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，且，?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：B.5.美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡(jiǎn)化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時(shí)間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時(shí)該植物的高為1米，經(jīng)過(guò)一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過(guò)2.8米，至少需要（）年．A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】依題意可得，則，解得，∴，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，且，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，而，，即，∴該植物的高度超過(guò)，至少需要年.故選：C.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，，解得，，又，所以，故，則，所以為非奇非偶函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤；當(dāng)，則，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：C.7.已知，且，則的最小值是（）A. B.4 C. D.5【答案】D【解析】由，得，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：D.8.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，即有，依題意可得，又，解得，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的取值集合為，不符合題意，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.9.已知函數(shù)的圖象由如圖所示的兩段線段組成，則（）A.B.不等式的解集為C.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2D.的解析式可表示為：【答案】BD【解析】根據(jù)題意，由圖象可得，在區(qū)間上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則其方程為，在區(qū)間上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，設(shè)，，則，解得，所以其方程為，綜合可得，對(duì)于A，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則有或，解得或，即不等式的解集為，故B正確；對(duì)于C，在區(qū)間上，為減函數(shù)，其最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，故D正確．故選：BD．10.下列命題正確的是（）A.命題“，使得”的否定是“，都有”B.若，則C.在中，“”是“”的充要條件D若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：命題“，使得”的否定是“，都有”，故A正確；對(duì)于B：因，則，即，所以，即，故B正確；對(duì)于C：在中若，，則，，滿足，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，則，，所以，即，整理得，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；又，即，即，所以，解得，所以，故A正確；，故C正確；因?yàn)?，因?yàn)椋裕?，故D正確.故選：ACD.12.已知在上是單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意滿足，且．設(shè)函數(shù)，，則（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.若函數(shù)在上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BC【解析】因?yàn)?，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又對(duì)任意，都有，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.因?yàn)樵谑菃握{(diào)函數(shù)，所以得，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最大值，所以，則，即．因?yàn)?，所以，則.因?yàn)楹瘮?shù)，所以，對(duì)于A：，即為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最大值，又因?yàn)椋钚≌芷?，令，，解得，，即在，上單調(diào)遞減，又函數(shù)在取得最大值，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故B正確；對(duì)于C：因，所以，且，所以函數(shù)的最大值為1，故C正確；對(duì)于D：若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，只要證對(duì)定義域內(nèi)的都成立，取，，但，所以，矛盾，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故D錯(cuò)誤．故選：BC.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)且，寫出滿足條件的的一個(gè)值_________．【答案】（答案不唯一，滿足條件即可）【解析】由函數(shù)且，得，所以或，所以或，所以滿足條件的可以是.（答案不唯一，滿足條件即可）14.已知，則________．【答案】5【解析】設(shè)，則，，，故.15.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，其中，若，則_________．【答案】或【解析】已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，其中，則，又，則，即，則，則或，則或．16.已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，滿足，若，則_________．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得，則；當(dāng)時(shí)，，則.函數(shù)的定義域?yàn)椋顣r(shí)，，得，所以函數(shù)是奇函數(shù).令，即，得，令，則，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在①角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問(wèn)題．已知，且，_________．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）選條件①：因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，可得，又為銳角，所以，所以由三角函數(shù)的定義可得選條件②：因?yàn)?，為銳角，所以；又因?yàn)?，?選條件③：因?yàn)?，，所以得，又因?yàn)闉殇J角，所以，，.故.（2），由（1），，.，.18.已知二次函數(shù)，對(duì)任意都有，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)于，不等式恒成立，求x的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，則，解得，所以.（2）不等式即為，當(dāng)時(shí)，則恒成立，而，所以，即，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則恒成立，而，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為．19.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù)．如果在前消除了的污染物，那么（1）后還剩百分之幾的污染物；（2）污染物減少需要花多少時(shí)間（精確到）.參考數(shù)據(jù)：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，可得，當(dāng)時(shí)，，即后，還剩的污染物.（2）設(shè)污染物減少需要花，則有，所以，可得，即污染物減少大約需要花.20.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，總存在使得，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：（1），因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，所以.（2）由（1）得，則，因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，因?yàn)閷?duì)任意，總存在使得，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為．21.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其最小正周期與函數(shù)相同．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且．解：（1），因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期與函數(shù)相同，且函數(shù)的最小正周期為，所以，解得.又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，即，，因，所以，所以，由，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，.（2）由（1）可得，定義域，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，根?jù)零點(diǎn)存在定理，使得，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，，，所以，所以在上不存在零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí),因?yàn)閱握{(diào)遞增，，因?yàn)?，所以，所以在上不存在零點(diǎn)；綜上：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.因?yàn)?，所以，所以，在上單調(diào)遞減，，所以.22.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）任取，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，且時(shí)，，所以由可得，即，，，則，所以，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，.令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域?yàn)?，所以，?令（因?yàn)?，所以），易知，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，等價(jià)于關(guān)于的方程在有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，（時(shí)，，）令，則，解得，所以的取值范圍是.福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得或，所以，又，所以.故選：A.2.已知扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則此扇形的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)扇形的半徑為，因?yàn)樯刃蔚膱A心角，扇形的周長(zhǎng)為，則，解得，所以此扇形的面積.故選：B.3.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對(duì)A，，因?yàn)?，，故，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，因?yàn)?，故，故，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，因?yàn)?，故，故，即，故D正確.故選：D.4.若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，依題意可得，解得，所以，所以的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?，?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：B.5.美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡(jiǎn)化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時(shí)間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時(shí)該植物的高為1米，經(jīng)過(guò)一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過(guò)2.8米，至少需要（）年．A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】依題意可得，則，解得，∴，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，且，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，而，，即，∴該植物的高度超過(guò)，至少需要年.故選：C.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，，解得，，又，所以，故，則，所以為非奇非偶函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤；當(dāng)，則，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：C.7.已知，且，則的最小值是（）A. B.4 C. D.5【答案】D【解析】由，得，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：D.8.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，即有，依題意可得，又，解得，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的取值集合為，不符合題意，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.9.已知函數(shù)的圖象由如圖所示的兩段線段組成，則（）A.B.不等式的解集為C.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2D.的解析式可表示為：【答案】BD【解析】根據(jù)題意，由圖象可得，在區(qū)間上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則其方程為，在區(qū)間上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，設(shè)，，則，解得，所以其方程為，綜合可得，對(duì)于A，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則有或，解得或，即不等式的解集為，故B正確；對(duì)于C，在區(qū)間上，為減函數(shù)，其最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，故D正確．故選：BD．10.下列命題正確的是（）A.命題“，使得”的否定是“，都有”B.若，則C.在中，“”是“”的充要條件D若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：命題“，使得”的否定是“，都有”，故A正確；對(duì)于B：因，則，即，所以，即，故B正確；對(duì)于C：在中若，，則，，滿足，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，則，，所以，即，整理得，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；又，即，即，所以，解得，所以，故A正確；，故C正確；因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知在上是單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意滿足，且．設(shè)函數(shù)，，則（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.若函數(shù)在上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BC【解析】因?yàn)椋?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又對(duì)任意，都有，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.因?yàn)樵谑菃握{(diào)函數(shù)，所以得，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最大值，所以，則，即．因?yàn)椋?，則.因?yàn)楹瘮?shù)，所以，對(duì)于A：，即為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最大值，又因?yàn)?，最小正周期，令，，解得，，即在，上單調(diào)遞減，又函數(shù)在取得最大值，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故B正確；對(duì)于C：因，所以，且，所以函數(shù)的最大值為1，故C正確；對(duì)于D：若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，只要證對(duì)定義域內(nèi)的都成立，取，，但，所以，矛盾，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故D錯(cuò)誤．故選：BC.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)且，寫出滿足條件的的一個(gè)值_________．【答案】（答案不唯一，滿足條件即可）【解析】由函數(shù)且，得，所以或，所以或，所以滿足條件的可以是.（答案不唯一，滿足條件即可）14.已知，則________．【答案】5【解析】設(shè)，則，，，故.15.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，其中，若，則_________．【答案】或【解析】已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，其中，則，又，則，即，則，則或，則或．16.已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，滿足，若，則_________．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得，則；當(dāng)時(shí)，，則.函數(shù)的定義域?yàn)?，令時(shí)，，得，所以函數(shù)是奇函數(shù).令，即，得，令，則，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在①角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問(wèn)題．已知，且，_________．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）選條件①：因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，可得，又為銳角，所以，所以由三角函數(shù)的定義可得選條件②：因?yàn)?，為銳角，所以；又因?yàn)?，?選條件③：因?yàn)椋缘?，又因?yàn)闉殇J角，所以，，.故.（2），由（1），，.，.18.已知二次函數(shù)，對(duì)任意都有，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)于，不等式恒成立，求x的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，則，解得，所以.（2）不等式即為，當(dāng)時(shí)，則恒成立，而，所以，即，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則恒成立，而，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為．19.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù)．如果在前消除了的污染物，那么（1）后還剩百分之幾的污染物；（2）污染物減少需要花多少時(shí)間（精確到）.參考數(shù)據(jù)