2024-2025學年上海外國語大學附屬浦東外國語學校高三上學期期中考試數(shù)學試卷

2024—2025學年上海外國語大學附屬浦東外國語學校高三上學期期中考試數(shù)學試卷

一、填空題(★)1.若向量，，且，，三點共線，則______．(★)2.已知集合，，則中有______個元素.(★★)3.復數(shù)滿足，則的實部為______．(★★)4.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的．假設該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是______s．（數(shù)據(jù)精確到整數(shù)，）(★★)5.已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為，則實數(shù)________．(★★★)6.已知數(shù)列的通項公式為，則=______(★★★)7.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2a，則C的焦距為______．(★★★)8.如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在正方體中，由兩個頂點確定的直線與由頂點確定的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)為______.(★★★)9.若兩個正實數(shù)，滿足，且存在這樣的，使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是_____．(★★★)10.高斯是德國著名的數(shù)學家，是近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，若函數(shù)，則函數(shù)的值域為___________.(★★★)11.在中，，，，P，Q是平面上的動點，，M是邊BC上的一點，則的最小值為______．(★★★★)12.已知拋物線和所圍成的封閉曲線E如圖所示，點M，N在曲線E上，給定點，則下列說法中正確的是______．①任意，都存在點M，N，使得②任意，都存在點M，N，滿足這對點關于點A對稱③存在，當點M，N運動時，使得④任意，恰有三對不同的點M，N，滿足每對點M，N關于點A對稱二、單選題(★)13.的一個必要不充分條件是（）

A．B．C．D．(★★)14.已知為等差數(shù)列的前n項和，若，則=（）

A．39B．52C．65D．78(★★★)15.下列說法正確的有（）個①已知一組數(shù)據(jù)的方差為，則的方差也為.②對具有線性相關關系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.③已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則.④已知隨機變量服從二項分布，若，則.

A．0個B．1個C．2個D．3個(★★★★)16.已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當且僅當其中且，或其中且.現(xiàn)有如下兩個命題:①；②集合.則下列選項中正確的是（）

A．①是真命題，②是真命題；B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題；D．①是假命題，②是假命題.三、解答題(★★★)17.已知函數(shù)，其圖象中兩條相鄰的對稱軸之間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式，并求出它的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，當時，求方程的所有根之和．(★★★)18.無人駕駛被視為推動社會進步和改善生活質(zhì)量的重要工具，但其安全性和對勞動就業(yè)的影響也受到人們的質(zhì)疑．為了解某大學的學生對無人駕駛的態(tài)度，隨機調(diào)查了該校96名大學生，調(diào)查結果如下表所示：

對無人駕駛的態(tài)度支持中立反對頻數(shù)483216用樣本的頻率分布估計該校每名學生對無人駕駛態(tài)度的概率分布，且學生的態(tài)度相互獨立．為衡量學生對無人駕駛的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反對者得1分．(1)從該校任選2名學生，求他們的得分不相同的概率．(2)從該校任選3名學生，求他們的得分之和為7的概率．(3)從該校任選n名學生，其中得分為5的學生人數(shù)為X，若，利用下面所給的兩個結論，求正整數(shù)n的最小值．結論一：若隨機變量，則隨機變量近似服從正態(tài)分布；結論二：若隨機變量，則，．(★★★)19.如圖，在直三棱柱中，，，且分別是的中點.(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求直線與平面所成角的大小.（結果用反三角函數(shù)值表示）(★★★)20.已知和為橢圓上兩點．(1)求的離心率；(2)若過P的直線交于另一點，且的面積為9，求的方程；(3)過OA中點的動直線與橢圓有兩個交點，，試判斷在y軸上是否存在點T使得，若存在，求出點縱坐標的取值范圍；若不存在，說明利用．(★★★★)21.對于函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動點；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二