廣東省珠海市珠海二中、斗門一中2024屆高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題試卷

廣東省珠海市珠海二中、斗門一中2023屆高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．袋中裝有標號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（）A． B． C． D．2．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．3．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．4．（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上，設，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b7．“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．8．不等式的解集記為，有下面四個命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．9．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．85 B． C．35 D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．12．已知x，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，為測量出高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得．已知山高，則山高__________．14．設是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，且，則______.15．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.16．已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為__三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為，直線交于兩點（異于坐標原點O）.（1）若直線過點,，求的方程；（2）當時，判斷直線是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓．已知曲線上的點M對應的參數(shù)，射線與曲線交于點．（1）求曲線，的直角坐標方程；（2）若點A，B為曲線上的兩個點且，求的值．19．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，求四面體的體積.21．（12分）如圖所示，三棱柱中，平面，點，分別在線段，上，且，，是線段的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）設橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上，的周長為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復試驗的公式得到結果．【詳解】從6個球中摸出2個，共有種結果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有摸一次中獎的概率是，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是，故選：．【點睛】本題主要考查了次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率，考查獨立重復試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次，相當于做了5次獨立重復試驗，利用公式做出結果，屬于中檔題．2．A【解析】

根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算，即可容易求得結果.【詳解】由于，故選：A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，模長的求解，屬綜合基礎題.3．C【解析】

直線恒過定點，由此推導出，由此能求出點的坐標，從而能求出的值．【詳解】設拋物線的準線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標為，∴點B的坐標為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉化思想的合理運用，屬于中檔題.4．D【解析】

利用，根據(jù)誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.5．A【解析】

函數(shù)的零點就是方程的解，設，方程可化為，即或，求出的導數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉化為，即，所以或．因為，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復合函數(shù)的零點．考查轉化與化歸思想，函數(shù)零點轉化為方程的解，方程的解再轉化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學生分析問題解決問題的能力．6．B【解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，再利用冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到a，b，c的大小關系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點（2，8）在冪函數(shù)f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.7．A【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.【點睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.8．A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示，當時，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.9．B【解析】

將已知條件轉化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設公差為，則，所以，，，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎題.10．A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體，前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐，體積為故答案為A.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.11．A【解析】

設為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉化為圓上的點到定點距離，利用數(shù)形結合思想可得出結果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標系，設，，，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉化為圓上的點與點的距離，，，，轉化為圓上的點與點的距離，，.故選：A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉化思想與數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.12．D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因為x，，當時，不妨取，，故時，不成立，當時，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】試題分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為1．考點：正弦定理的應用．14．18【解析】

將已知已知轉化為的形式，化簡后求得，利用等差數(shù)列前公式化簡，由此求得表達式的值.【詳解】因為，所以.故填：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和，考查運算求解能力，屬于基礎題.15．【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應用問題，是基礎題．16．1【解析】

根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因為直線被圓截得的弦長為2，

所以直線經(jīng)過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）直線過定點【解析】

設.（1）由題意知，.設直線的方程為，由得，則，由根與系數(shù)的關系可得，所以.由，得，解得.所以拋物線的方程為.（2）設直線的方程為，由得，由根與系數(shù)的關系可得，所以，解得.所以直線的方程為，所以時，直線過定點.18．（1）．．（2）【解析】

（1）先求解a,b，消去參數(shù)，即得曲線的直角坐標方程；再求解，利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得曲線的直角坐標方程；（2）由于，可設，，代入曲線直角坐標方程，可得的關系，轉化，可得解.【詳解】（1）將及對應的參數(shù)，代入得，即，所以曲線的方程為，為參數(shù)，所以曲線的直角坐標方程為．設圓的半徑為R，由題意，圓的極坐標方程為（或），將點代入，得，即，所以曲線的極坐標方程為，所以曲線的直角坐標方程為．（2）由于，故可設，代入曲線直角坐標方程，可得，，所以．【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標，參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標的幾何意義的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.19．（1）；（2）【解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項求和法可得答案.【詳解】（1）①，當時，，，當時，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點睛】本題考查法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和，是基礎題.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）取中點，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用全等三角形證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，結合錐體體積公式，求得四面體的體積.【詳解】（1）證明:如圖，取中點，連接，由則，則，故故，平面.又平面，故平面平面（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，且.在中，，由勾股定理易知故四面體的體積【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查錐體體積計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21．（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點為，根據(jù)幾何關系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；（Ⅱ）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）取的中點，連接，.如下圖所示：因為，分別是線段和的中點，所以是梯形的中位線，所以.又，所以.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以，.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因為，且平面，故可以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，如下圖所示：不妨設，則，所以，，，，.所以，，.設平面的法向量為，則所以可取.設直線與平面所成的角為，則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及用向量法求解線面角，屬綜合中檔題.22．（1）（2）見解析【