2023-2024學(xué)年陜西省西安市區(qū)縣聯(lián)考高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市區(qū)縣聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：1.若A，B，當(dāng)取最小值時(shí)，x的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)锳，B，所以，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：C2.如圖，在平行六面體中，若，則有序?qū)崝?shù)組（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得,結(jié)合可得，故，故選：C3.已知空間中三個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)三角形，分別在線段上取三點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示：先固定D不動(dòng)，分別作D關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)分別與和交于點(diǎn)，利用幾何關(guān)系可知與的交點(diǎn)即為三角形的垂心，從而，即，不妨設(shè)垂心，坐標(biāo)原點(diǎn)為，則，所以有，即垂心的坐標(biāo)滿足,又四點(diǎn)共面，從而由四點(diǎn)共面的充要條件可知，，從而，結(jié)合，解得.故選：B.4.已知直線和直線,下列說法不正確的是（）A.始終過定點(diǎn) B.若，則或C.若，則或2 D.當(dāng)時(shí)，始終不過第三象限【答案】B【解析】，，，即始終過定點(diǎn)，故A正確.若，當(dāng)則與重合，故B錯(cuò)誤.或，故C正確.當(dāng)時(shí)，直線始終過點(diǎn)，斜率負(fù)，不會(huì)過第三象限，故D正確.故選：B.5.已知直線與圓，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，直線和圓相離，故圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：B6.過圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓的動(dòng)點(diǎn)為，過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則過的圓是以直徑的圓，該圓的方程為：.由可得的直線方程為：.原點(diǎn)到直線的距離為，故圓不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為，故選：A.7.已知橢圓，則下列關(guān)于橢圓的說法正確的是（）A.離心率為 B.焦點(diǎn)為C.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 D.橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為【答案】C【解析】由橢圓方程，可知，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；由方程可知，焦點(diǎn)在x軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故B錯(cuò)誤；長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故C正確；因焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，即為，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1202年所著的《算盤全書》中,記載有數(shù)列,.若將數(shù)列的每一項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來項(xiàng)的順序構(gòu)成新的數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A.100 B.99 C.67 D.66【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列中的奇數(shù)除以2所得的余數(shù)都是1，偶數(shù)除以2所得的余數(shù)都是0，因?yàn)?，且，所以為奇?shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，，為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，，所以，，，，，，，，，，，，所以數(shù)列周期數(shù)列，周期為3，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為：.故選：C.9.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“對(duì)任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不是充分也不是必要條件【答案】A【解析】數(shù)列中，對(duì)任意，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，，即，所以，，如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；所以“對(duì)任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A10.已知，函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樗砸驗(yàn)樵谏鲜菃握{(diào)減函數(shù)所以即所以當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，令，可知雙刀函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以即所以選C11.若函數(shù)，則（）A.函數(shù)只有極大值沒有極小值 B.函數(shù)只有最大值沒有最小值C.函數(shù)只有極小值沒有極大值 D.函數(shù)只有最小值沒有最大值【答案】CD【解析】，單調(diào)遞增，由，則.∴函數(shù)有唯一極小值，即最小值，沒有極大值、最大值.故選：CD.12.設(shè)點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，∴函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴的最小值是點(diǎn)到直線的最短距離的2倍，設(shè)曲線上斜率為1的切線為，∵，由得，即切點(diǎn)為（，2），∴，∴切線到直線的距離，∴兩點(diǎn)間的最短距離為2=．故選:B．二、填空題13.在四棱錐中,面,四邊形為直角梯形,,，，則平面與平面夾角的余弦值為______，異面直線與的距離為______．【答案】；【解析】第一空，∵⊥面，，面，∴，．又∵，∴，∴，，兩兩垂直．∴以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，，設(shè)，分別為平面與平面的法向量，則，即，令，取，，即，令，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為θ，則，∴平面與平面夾角的余弦值為．第二空，如圖，取中點(diǎn)M，連接，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵面，面，∴面，∴與的距離為到面的距離，即點(diǎn)C到面的距離．設(shè)點(diǎn)C到面的距離為h，，，由，得，解得，∴異面直線與的距離為．故答案為：，.14.圓的圓心到直線的距離______.【答案】3【解析】由已知可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，所以圓心到直線的距離，故答案為：3.15.已知N為拋物線上的任意一點(diǎn)，M為圓上的一點(diǎn)，，則的最小值為__________．【答案】【解析】根據(jù)題意可得拋物線與圓都關(guān)于軸對(duì)稱，且圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.因?yàn)?，圓下方與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，取線段中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，連接，畫出示意圖如上圖所示.因?yàn)?、分別為和的中點(diǎn)，所以，，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn).所以的最小值即為的最小值.因?yàn)镹為拋物線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.故答案為：.16.定義在R上偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，若，則不等式的解集為____.【答案】【解析】令，則，所以在R上遞減，又，則，即，所以是以4為周期的周期函數(shù)，又，則，所以，則，所以不等式的解集為，故答案為：三、解答題：17.如圖，三棱柱的側(cè)棱底面，，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，，．（1）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值是？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）取的中點(diǎn)，連接、．、分別是、的中點(diǎn)，且，在三棱柱中，且，為的中點(diǎn)，則且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、分別為軸、軸、軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，則，由，得，令，可得，易得平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，即整理得，，解得.因此，在棱上存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值是，此時(shí)．18.已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知在圓C外，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以①，又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，則，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為.又恒成立，所以，．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．解：（1）．令，得或；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．所以的極大值是，的極小值是．（2）因?yàn)?，由?）知，在區(qū)間上，有極小值，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．陜西省西安市區(qū)縣聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：1.若A，B，當(dāng)取最小值時(shí)，x的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)锳，B，所以，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：C2.如圖，在平行六面體中，若，則有序?qū)崝?shù)組（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得,結(jié)合可得，故，故選：C3.已知空間中三個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)三角形，分別在線段上取三點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示：先固定D不動(dòng)，分別作D關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)分別與和交于點(diǎn)，利用幾何關(guān)系可知與的交點(diǎn)即為三角形的垂心，從而，即，不妨設(shè)垂心，坐標(biāo)原點(diǎn)為，則，所以有，即垂心的坐標(biāo)滿足,又四點(diǎn)共面，從而由四點(diǎn)共面的充要條件可知，，從而，結(jié)合，解得.故選：B.4.已知直線和直線,下列說法不正確的是（）A.始終過定點(diǎn) B.若，則或C.若，則或2 D.當(dāng)時(shí)，始終不過第三象限【答案】B【解析】，，，即始終過定點(diǎn)，故A正確.若，當(dāng)則與重合，故B錯(cuò)誤.或，故C正確.當(dāng)時(shí)，直線始終過點(diǎn)，斜率負(fù)，不會(huì)過第三象限，故D正確.故選：B.5.已知直線與圓，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，直線和圓相離，故圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：B6.過圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓的動(dòng)點(diǎn)為，過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則過的圓是以直徑的圓，該圓的方程為：.由可得的直線方程為：.原點(diǎn)到直線的距離為，故圓不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為，故選：A.7.已知橢圓，則下列關(guān)于橢圓的說法正確的是（）A.離心率為 B.焦點(diǎn)為C.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 D.橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為【答案】C【解析】由橢圓方程，可知，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；由方程可知，焦點(diǎn)在x軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故B錯(cuò)誤；長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故C正確；因焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，即為，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1202年所著的《算盤全書》中,記載有數(shù)列,.若將數(shù)列的每一項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來項(xiàng)的順序構(gòu)成新的數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A.100 B.99 C.67 D.66【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列中的奇數(shù)除以2所得的余數(shù)都是1，偶數(shù)除以2所得的余數(shù)都是0，因?yàn)?，且，所以為奇?shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，，為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，，所以，，，，，，，，，，，，所以數(shù)列周期數(shù)列，周期為3，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為：.故選：C.9.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“對(duì)任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不是充分也不是必要條件【答案】A【解析】數(shù)列中，對(duì)任意，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，，即，所以，，如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；所以“對(duì)任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A10.已知，函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樗砸驗(yàn)樵谏鲜菃握{(diào)減函數(shù)所以即所以當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，令，可知雙刀函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以即所以選C11.若函數(shù)，則（）A.函數(shù)只有極大值沒有極小值 B.函數(shù)只有最大值沒有最小值C.函數(shù)只有極小值沒有極大值 D.函數(shù)只有最小值沒有最大值【答案】CD【解析】，單調(diào)遞增，由，則.∴函數(shù)有唯一極小值，即最小值，沒有極大值、最大值.故選：CD.12.設(shè)點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，∴函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴的最小值是點(diǎn)到直線的最短距離的2倍，設(shè)曲線上斜率為1的切線為，∵，由得，即切點(diǎn)為（，2），∴，∴切線到直線的距離，∴兩點(diǎn)間的最短距離為2=．故選:B．二、填空題13.在四棱錐中,面,四邊形為直角梯形,,，，則平面與平面夾角的余弦值為______，異面直線與的距離為______．【答案】；【解析】第一空，∵⊥面，，面，∴，．又∵，∴，∴，，兩兩垂直．∴以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，，設(shè)，分別為平面與平面的法向量，則，即，令，取，，即，令，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為θ，則，∴平面與平面夾角的余弦值為．第二空，如圖，取中點(diǎn)M，連接，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵面，面，∴面，∴與的距離為到面的距離，即點(diǎn)C到面的距離．設(shè)點(diǎn)C到面的距離為h，，，由，得，解得，∴異面直線與的距離為．故答案為：，.14.圓的圓心到直線的距離______.【答案】3【解析】由已知可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，所以圓心到直線的距離，故答案為：3.15.已知N為拋物線上的任意一點(diǎn)，M為圓上的一點(diǎn)，，則的最小值為__________．【答案】【解析】根據(jù)題意可得拋物線與圓都關(guān)于軸對(duì)稱，且圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.因?yàn)?，圓下方與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，取線段中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，連接，畫出示意圖如上圖所示.因?yàn)椤⒎謩e為和的中點(diǎn)，所以，，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn).所以的最小值即為的最小值.因?yàn)镹為拋物線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.故答案為：.16.定義在R上偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，若，則不等式的解集