2023-2024學(xué)年云南省玉溪市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省玉溪市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意有.故選：B．2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：，所以.故選：C．3.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，則（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】由題意可得.故選：B．4.在中，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由余弦定理知，，解得，故選:D．5.已知O，A，B，C為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)共面，所以，所以.故選:C．6.“”是“a，b，c成等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若a，b，c成等比數(shù)列，則，故不必要；若，令，滿足，但此時a，b，c不構(gòu)成等比數(shù)列，故不充分；故選：D．7.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)橢圓方程，由題意得：，兩式作差得：，整理得：，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為，，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?故選：A．8.已知實(shí)數(shù)a，b，滿足恒成立，則的最小值為（）A.2 B.0 C.1 D.4【答案】A【解析】，所以，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，即.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則下列式子一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，則B一定成立；令，則，解得，則D一定成立；例如，則為奇函數(shù)，符合題意，但，可知，即A不一定成立；且，即C不一定成立；故選：BD．10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則（）A B. C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)閽佄锞€，即，所以，準(zhǔn)線方程為，故A正確；設(shè)，則，由題意得，且，故，則（舍）或，所以，故D正確；故選：AD．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則的最小正周期為B.若，則的最小正周期為C.若在上單調(diào)遞增，則D.若在上單調(diào)遞增，則【答案】AC【解析】對AB，的最小正周期為，故A正確，B錯誤；對CD，當(dāng)時，，則，解得，故C正確，D錯誤.故選：AC．12.在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段BC，中點(diǎn)，則（）A.B.C.異面直線，EF所成角的正切值為D.異面直線，EF所成角的正切值為【答案】ABC【解析】如圖所示，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，連接交于F，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，故，故A正確；又，故，故B正確；由正方體的性質(zhì)知，則異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，故是異面直線EF與所成角，故，故C正確：由正方體的性質(zhì)知，則異面直線，EF所成角即為直線BC，EF所成角，故是異面直線EF與所成角，故，故D錯誤，故選：ABC．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知直線l的方程為，則該直線傾斜角的正切值為_________．【答案】2【解析】根據(jù)直線的一般式方程可知直線斜率為2，所以直線傾斜角的正切值為2.故答案為：2.14.已知向量，則_________．【答案】0【解析】因?yàn)橄蛄浚?，所?故答案為：015.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為、，令平面向量，，則事件“”發(fā)生的概率為_________．【答案】【解析】由題意可知，、，故所有可能的情況共種．因?yàn)槠矫嫦蛄?，，且，則，則滿足條件的有、，共種，所以事件“”發(fā)生的概率為．故答案為：.16.已知橢圓的離心率為，且橢圓C過點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)．垂直于x軸的動直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)P，Q，直線PF與橢圓C的另一個交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)Q），直線QM恒過定點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_________．【答案】【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，橢圓C過點(diǎn)，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題可知直線PF的斜率存在，設(shè)直線，則，聯(lián)立直線與橢圓方程得，則，，所以，整理得，又，所以直線QM的方程為，故直線QM過定點(diǎn)．故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，，所以，，又，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為3．（2）由（1）可得，所以，所以．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）若，求外接圓的半徑．解：（1）在中，由于，可設(shè)，由余弦定理（2）設(shè)，若，則，解得.故，故的外接圓半徑是：．19.已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別是，P為雙曲線C上支上的動點(diǎn)，．（1）求雙曲線C的方程；（2）若，求．解：（1），得，，所以雙曲線．（2）設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，解得或（舍），故，故．20已知數(shù)列滿足.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）由可得，（2）由已知可得則，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即，當(dāng)n為奇數(shù)時，則當(dāng)n為偶數(shù)時，則，故21.如圖，在正四棱柱中，，P是該正四棱柱表面或內(nèi)部一點(diǎn)，直線與底面所成的角分別記為，且，記動點(diǎn)P的軌跡與棱的交點(diǎn)為Q．（1）求的值；（2）求平面與平面所成角的余弦值．解：（1）如圖所示，過點(diǎn)P作平面，垂足為O，連接則，由題意可知，所以.因?yàn)镼是棱與P軌跡的交點(diǎn)，所以，所以，所以，所以Q是的中點(diǎn)，故．（2）由題意，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)樵谡睦庵?，，，設(shè)平面的法向量為，則，即得，令，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即得，令，則，所以，所以，故平面與平面所成角的余弦值為．22.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后反射光線或其反向延長線必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入,經(jīng)過C上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)．（1）求證：；（2）若PB平分，求點(diǎn)B到直線QP的距離．解：（1）拋物線，則其準(zhǔn)線方程為，由題意得平行于x軸，且過點(diǎn)，所以，把代入拋物線的方程，解得，則，由題知，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)，則直線AB方程為，即，聯(lián)立得，故．（2）由光學(xué)性質(zhì)可知AP平行于x軸，BQ平行于x軸，則，有，若PB平分，則，所以，所以．由，則，可得，解得．所以，直線QP的斜率為，故直線QP的方程為，即，故點(diǎn)B到QP的距離為．云南省玉溪市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意有.故選：B．2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：，所以.故選：C．3.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，則（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】由題意可得.故選：B．4.在中，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由余弦定理知，，解得，故選:D．5.已知O，A，B，C為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)共面，所以，所以.故選:C．6.“”是“a，b，c成等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若a，b，c成等比數(shù)列，則，故不必要；若，令，滿足，但此時a，b，c不構(gòu)成等比數(shù)列，故不充分；故選：D．7.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)橢圓方程，由題意得：，兩式作差得：，整理得：，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為，，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?故選：A．8.已知實(shí)數(shù)a，b，滿足恒成立，則的最小值為（）A.2 B.0 C.1 D.4【答案】A【解析】，所以，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，即.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則下列式子一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，則B一定成立；令，則，解得，則D一定成立；例如，則為奇函數(shù)，符合題意，但，可知，即A不一定成立；且，即C不一定成立；故選：BD．10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則（）A B. C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)閽佄锞€，即，所以，準(zhǔn)線方程為，故A正確；設(shè)，則，由題意得，且，故，則（舍）或，所以，故D正確；故選：AD．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則的最小正周期為B.若，則的最小正周期為C.若在上單調(diào)遞增，則D.若在上單調(diào)遞增，則【答案】AC【解析】對AB，的最小正周期為，故A正確，B錯誤；對CD，當(dāng)時，，則，解得，故C正確，D錯誤.故選：AC．12.在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段BC，中點(diǎn)，則（）A.B.C.異面直線，EF所成角的正切值為D.異面直線，EF所成角的正切值為【答案】ABC【解析】如圖所示，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，連接交于F，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，故，故A正確；又，故，故B正確；由正方體的性質(zhì)知，則異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，故是異面直線EF與所成角，故，故C正確：由正方體的性質(zhì)知，則異面直線，EF所成角即為直線BC，EF所成角，故是異面直線EF與所成角，故，故D錯誤，故選：ABC．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知直線l的方程為，則該直線傾斜角的正切值為_________．【答案】2【解析】根據(jù)直線的一般式方程可知直線斜率為2，所以直線傾斜角的正切值為2.故答案為：2.14.已知向量，則_________．【答案】0【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，所?故答案為：015.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為、，令平面向量，，則事件“”發(fā)生的概率為_________．【答案】【解析】由題意可知，、，故所有可能的情況共種．因?yàn)槠矫嫦蛄?，，且，則，則滿足條件的有、，共種，所以事件“”發(fā)生的概率為．故答案為：.16.已知橢圓的離心率為，且橢圓C過點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)．垂直于x軸的動直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)P，Q，直線PF與橢圓C的另一個交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)Q），直線QM恒過定點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_________．【答案】【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，橢圓C過點(diǎn)，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題可知直線PF的斜率存在，設(shè)直線，則，聯(lián)立直線與橢圓方程得，則，，所以，整理得，又，所以直線QM的方程為，故直線QM過定點(diǎn)．故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)椋?，所以，，又，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為3．（2）由（1）可得，所以，所以．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）若，求外接圓的半徑．解：（1）在中，由于，可設(shè)，由余弦定理（2）設(shè)，若，則，解得.故，故的外接圓半徑是：．19.已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別是，P為雙曲線C上支上的動點(diǎn)，．（1）求雙曲線C的方程；（2）若，求．解：（1），得，，所以雙曲線．（2）設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，解得或（舍），故，故．20已知數(shù)列滿足.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）由可得，（2）由已知可得則，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即，當(dāng)n為奇數(shù)