2024-2025學(xué)年安徽省江南十校高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3、考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，由題意，得，解得，即.故選：C.2.“且”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】充分性：當，方程表示圓，充分性不成立；必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.3.若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為是直線和的公共點，所以，且，所以兩點和都在同一條直線上，故直線的方程是.故選：A.4.六氟化硫，化學(xué)式為，常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是兩個棱長均相等的正四棱錐將底面重合的幾何體）.如圖所示，在正八面體中，是的重心，記，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，設(shè)中點為，則，所以，故選：D.5.已知是直線的方向向量，直線經(jīng)過點，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意直線的方向向量，，則，，，所以點到直線的距離為，故選：B.6.已知圓的方程為，為圓上任意一點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圓的方程知：圓心C0,1，半徑，，的幾何意義是圓上的點與點2,1連線的斜率，設(shè)過點2,1的圓的切線方程為：，即，圓心C0,1到切線的距離，解得：，，.故選：C.7.焦點為的拋物線上有一點（不與原點重合），它在準線上的投影為，設(shè)直線與拋物線交于，兩點，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：F1,0，故，，過點作于A點，過點作于B點，設(shè)與軸交于點，如圖,由拋物線定義可知，由∽得，，又，故，令，則，故，所以，故，即為的中點，由∽得，又，得，則，將代入中，，由圖可知，取正值，則點，由∽得，，又，故，則，將代入中，，由圖可知，取負值，即，由對稱性可知，所以，中，令，解得，故，故⊥軸，于是所求三角形的面積；方法二：F1,0，故，，過點作于A點，過點作于B點，設(shè)與軸交于點，如圖,由拋物線定義可知，由∽得，，又，故，令，則，故，所以，故，即為的中點，由∽得，又，得，則，將代入中，，由圖可知，取正值，則點，由∽得，，又，故，則，將代入中，，由圖可知，取負值，即，由對稱性可知，所以，中，令，解得，故，則，又，故.故選：B.8.若圓為雙曲線的“伴隨圓”，過的左焦點與右支上一點，作直線交“伴隨圓”于，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，過作于，則，因為，，所以，因為，所以，即為線段的中點，因為為的中點，所以，所以，，設(shè)，則，，，所以，在中，由勾股定理可得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.給出下列命題，其中真命題為（）A.過點與坐標軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有3條B.已知點，，則滿足到點距離為2，到點距離為3的直線有且僅有3條C.過點與拋物線僅有1個公共點的直線有3條D.過雙曲線的右焦點被截得線段長為5的直線有且僅有3條【答案】BCD【解析】對于A：設(shè)過點與坐標軸相交的直線方程為：，則，即，又，即當時可得：，解得：或當時可得：，即，此時，方程也有兩組解，故共有4組解，即過點與坐標軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有4條，A錯誤對于B：因為，以為圓心，分別以2，3為半徑作圓，則圓與圓相外切，它們的3條公切線即為滿足條件的直線，所以B正確；對于C：因為，當時，，所以在拋物線的外部，顯然過與拋物線相切的直線有兩條，過與軸平行時，與拋物線也只有一個交點，故共有3條直線，所以C正確，對于D：設(shè)雙曲線的右焦點為，過的直線與雙曲線右支相交于，當直線斜率不存在時，直線的方程為則，當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當直線與軸垂直時，的長最小，即最小值為，過雙曲線的右焦點作垂直實軸的直線，被雙曲線右支截得的弦（通徑）長為，又雙曲線的實軸長，所以結(jié)合對稱性可知，被雙曲線左右兩支截得的線段長為5的直線有2條，共有3條，所以D正確；故選：BCD10.已知正方體的棱長為2，動點滿足，，下列說法正確的是（）A.當，，時，的最小值為B.當，，時，三棱錐的體積為3C.當，，時，經(jīng)過，，三點截正方體所得截面面積的取值范圍是D.當，且時，則的軌跡總長度為【答案】AD【解析】對于A，因為，，，即，故點在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，如圖：連接交于，此時，，三點共線，取到最小值即，即，A正確；對于B，由于，時，則為的中點，以為空間直角坐標原點，以，，分別為，，軸建系，如圖則，所以，所以，是平面的一個法向量，，則點到平面的距離為，所以，B錯誤；對于C，當時，點與點重合，此時經(jīng)過三點截正方體所得截面是矩形，其面積；當時，點與點重合，經(jīng)過三點截正方體所得截面是三角形，其面積，當時，設(shè)經(jīng)過三點截正方體所得截面是梯形，梯形的面積隨的增大而減小，故截面面積的取值范圍是，C錯誤；對于D，當時，可得四點共面，所以點的軌跡在內(nèi)（包括邊界），由選項B知，，是平面的一個法向量，設(shè)點在平面的內(nèi)的投影為，因為，所以為的中心，所以點到平面的距離為，若，則，即點落在以為圓心，為半徑的圓上（如上右圖），點到三邊的距離為，此時，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長度為，即D正確；故選：AD.11.過拋物線上一點作斜率分別為，的兩條直線，與分別交于兩點（異于點），則（）A.過點與相切的直線方程為B.若點，關(guān)于軸對稱，則為定值C.若，則直線經(jīng)過定點D.分別以，，為切點作拋物線的三條切線，，，若，兩點的橫坐標相等，則【答案】ABD【解析】因為點在拋物線上，所以，所以，所以拋物線的方程為.對于A，設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立，得，所以，所以，所以切線方程為，故A正確；對于B，由題意設(shè)，，則，又因為，于為定值，故B正確；對于C，設(shè)，，由題意可知，直線斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，，，所以，，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過定點，故C錯誤；對于D，設(shè)，，以為切點的切線方程為，則，令，得，所以切線方程為，同理可得以為切點的切線方程為：，以為切點的切線方程為，聯(lián)立與的方程可得，即點的橫坐標為，由題意，則切線的斜率，又直線的斜率，即，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點坐標是______.【答案】【解析】由題意知化簡為，所以焦點坐標為.故答案為：13.蓄有水的圓柱體茶杯，適當傾斜能得到橢圓形水面，當橢圓形水面與圓柱底面所成的二面角為30°時，則水面橢圓的離心率為_____________.【答案】【解析】設(shè)圓柱形杯子的底面半徑為，畫示意圖如圖所示：則是橢圓的長半軸長，等于橢圓的短半軸長，則，又，則故答案為：.14.如圖，在正方體中，，分別為棱和上的點，則與所成角的余弦值范圍為_____________.【答案】【解析】以為空間直角坐標原點，分別以為，，軸建系如圖，設(shè)，，設(shè)，則，①當或時，；②當且時，令，（當且僅當取等號），令，函數(shù)在為增函數(shù)，故.故，所以.綜上：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點.過定點的動直線與圓交于，兩點，為坐標原點.（1）求圓的標準方程；（2）求的最大值.解：（1）中點坐標為，，故中垂線為，即，與聯(lián)立，解得圓心點坐標為，圓的半徑，故圓（2）法一：設(shè)中點坐標為，，故點在為直徑的圓上，設(shè)中點，，，則，所以，以為直徑的圓的方程：，故，當且僅當三點共線時取等號，故.法二：①當直線的斜率不存在時，中點坐標，；②當直線斜率存在時，設(shè)直線：代入整理得：，設(shè)，則，，，，因為求的最大值，可令，代入上式可得：，當且僅當，即時取等號.易求，故.16.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率，左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，與軸交于點，且，（1）求雙曲線方程；（2）過右焦點且傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，若的中點為，為坐標原點，直線交直線于點，求的最小值.解：（1）由題意結(jié)合雙曲線的對稱性可知，得，即軸，把代入方程，可得，又，即，又，解得，，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，化簡得，設(shè)，則，，結(jié)合直線的方程得，即中點坐標為.于是，（傾斜角，或）當或時，，直線方程為：，令得，此時，于是，令，則，由知，當時，，故的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，是邊長為6的正三角形，，分別是線段和上的點，.（1）試確定點的位置，使得平面，并證明；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取為三等分點，且，過作，則，所以為平行四邊形，所以，又，，所以平面.（2）由題意平面底面，平面底面，，平面，所以，所以直線與平面所成角的平面角為，在中，由，得.設(shè)中點為，設(shè)中點為，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z由，取，可得，易求平面法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.18.如圖，已知橢圓與橢圓有相同的離心率，在上，過點的兩條不重合的直線，與橢圓相交于，兩點，與橢圓相交于，和，四點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：；（3）設(shè)直線，的傾斜角互補，求證：.解：（1）橢圓的離心率，令橢圓的半焦距為c，則，橢圓，又點在上，于是，解得，所以橢圓的標準方程.（2）若斜率不存在或為0，由對稱性知：；若斜率存在且不為0，設(shè)中點為，，則，，兩式相減得，，直線的斜率分別為，于是，設(shè)中點為，直線的斜率為，同理，則，而點與都在直線，則有點與重合，即，所以.（3）由（2）知，，同理，依題意，直線斜率存在，設(shè)直線，由消去得，設(shè)，則，，，由直線的傾斜角互補，則的斜率為，同理，因此，所以.19.設(shè)和是空間中的兩個不同點，則，，三點共線的充要條件是存在實數(shù)，使得，并且每個實數(shù)唯一對應(yīng)直線上的點.仿照上面定義，設(shè)，，是共線的三個不同點，定義點關(guān)于，的分比為.（1）設(shè)，為空間中任意取定的一點，求證：；（2）若，，，是共線的四個不同點，滿足，求的值；（3）如圖，設(shè)，和分別是的邊，和上的點，若三條直線，和交于一點，求證：.解：（1）由題意得，故，，故；（2）設(shè)，則，因為是共線的三個不同點，故，所以，，，即，，故，因為是共線的三個不同點，故所以，，，故.（3）設(shè)，因為和三點共線，，參照（1）證明可得：①，又因為三點共線，所以存在，使得，代入①式可得：②，同理，利用，可以找到實數(shù)和，使得③，④，聯(lián)立②③消去，聯(lián)立②④消去，可得：，，又因，和中任意兩個向量互不共線，故有，由得，由得，又，故，即，所以.得證.安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3、考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，由題意，得，解得，即.故選：C.2.“且”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】充分性：當，方程表示圓，充分性不成立；必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.3.若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為是直線和的公共點，所以，且，所以兩點和都在同一條直線上，故直線的方程是.故選：A.4.六氟化硫，化學(xué)式為，常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是兩個棱長均相等的正四棱錐將底面重合的幾何體）.如圖所示，在正八面體中，是的重心，記，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，設(shè)中點為，則，所以，故選：D.5.已知是直線的方向向量，直線經(jīng)過點，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意直線的方向向量，，則，，，所以點到直線的距離為，故選：B.6.已知圓的方程為，為圓上任意一點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圓的方程知：圓心C0,1，半徑，，的幾何意義是圓上的點與點2,1連線的斜率，設(shè)過點2,1的圓的切線方程為：，即，圓心C0,1到切線的距離，解得：，，.故選：C.7.焦點為的拋物線上有一點（不與原點重合），它在準線上的投影為，設(shè)直線與拋物線交于，兩點，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：F1,0，故，，過點作于A點，過點作于B點，設(shè)與軸交于點，如圖,由拋物線定義可知，由∽得，，又，故，令，則，故，所以，故，即為的中點，由∽得，又，得，則，將代入中，，由圖可知，取正值，則點，由∽得，，又，故，則，將代入中，，由圖可知，取負值，即，由對稱性可知，所以，中，令，解得，故，故⊥軸，于是所求三角形的面積；方法二：F1,0，故，，過點作于A點，過點作于B點，設(shè)與軸交于點，如圖,由拋物線定義可知，由∽得，，又，故，令，則，故，所以，故，即為的中點，由∽得，又，得，則，將代入中，，由圖可知，取正值，則點，由∽得，，又，故，則，將代入中，，由圖可知，取負值，即，由對稱性可知，所以，中，令，解得，故，則，又，故.故選：B.8.若圓為雙曲線的“伴隨圓”，過的左焦點與右支上一點，作直線交“伴隨圓”于，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，過作于，則，因為，，所以，因為，所以，即為線段的中點，因為為的中點，所以，所以，，設(shè)，則，，，所以，在中，由勾股定理可得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.給出下列命題，其中真命題為（）A.過點與坐標軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有3條B.已知點，，則滿足到點距離為2，到點距離為3的直線有且僅有3條C.過點與拋物線僅有1個公共點的直線有3條D.過雙曲線的右焦點被截得線段長為5的直線有且僅有3條【答案】BCD【解析】對于A：設(shè)過點與坐標軸相交的直線方程為：，則，即，又，即當時可得：，解得：或當時可得：，即，此時，方程也有兩組解，故共有4組解，即過點與坐標軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有4條，A錯誤對于B：因為，以為圓心，分別以2，3為半徑作圓，則圓與圓相外切，它們的3條公切線即為滿足條件的直線，所以B正確；對于C：因為，當時，，所以在拋物線的外部，顯然過與拋物線相切的直線有兩條，過與軸平行時，與拋物線也只有一個交點，故共有3條直線，所以C正確，對于D：設(shè)雙曲線的右焦點為，過的直線與雙曲線右支相交于，當直線斜率不存在時，直線的方程為則，當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當直線與軸垂直時，的長最小，即最小值為，過雙曲線的右焦點作垂直實軸的直線，被雙曲線右支截得的弦（通徑）長為，又雙曲線的實軸長，所以結(jié)合對稱性可知，被雙曲線左右兩支截得的線段長為5的直線有2條，共有3條，所以D正確；故選：BCD10.已知正方體的棱長為2，動點滿足，，下列說法正確的是（）A.當，，時，的最小值為B.當，，時，三棱錐的體積為3C.當，，時，經(jīng)過，，三點截正方體所得截面面積的取值范圍是D.當，且時，則的軌跡總長度為【答案】AD【解析】對于A，因為，，，即，故點在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，如圖：連接交于，此時，，三點共線，取到最小值即，即，A正確；對于B，由于，時，則為的中點，以為空間直角坐標原點，以，，分別為，，軸建系，如圖則，所以，所以，是平面的一個法向量，，則點到平面的距離為，所以，B錯誤；對于C，當時，點與點重合，此時經(jīng)過三點截正方體所得截面是矩形，其面積；當時，點與點重合，經(jīng)過三點截正方體所得截面是三角形，其面積，當時，設(shè)經(jīng)過三點截正方體所得截面是梯形，梯形的面積隨的增大而減小，故截面面積的取值范圍是，C錯誤；對于D，當時，可得四點共面，所以點的軌跡在內(nèi)（包括邊界），由選項B知，，是平面的一個法向量，設(shè)點在平面的內(nèi)的投影為，因為，所以為的中心，所以點到平面的距離為，若，則，即點落在以為圓心，為半徑的圓上（如上右圖），點到三邊的距離為，此時，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長度為，即D正確；故選：AD.11.過拋物線上一點作斜率分別為，的兩條直線，與分別交于兩點（異于點），則（）A.過點與相切的直線方程為B.若點，關(guān)于軸對稱，則為定值C.若，則直線經(jīng)過定點D.分別以，，為切點作拋物線的三條切線，，，若，兩點的橫坐標相等，則【答案】ABD【解析】因為點在拋物線上，所以，所以，所以拋物線的方程為.對于A，設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立，得，所以，所以，所以切線方程為，故A正確；對于B，由題意設(shè)，，則，又因為，于為定值，故B正確；對于C，設(shè)，，由題意可知，直線斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，，，所以，，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過定點，故C錯誤；對于D，設(shè)，，以為切點的切線方程為，則，令，得，所以切線方程為，同理可得以為切點的切線方程為：，以為切點的切線方程為，聯(lián)立與的方程可得，即點的橫坐標為，由題意，則切線的斜率，又直線的斜率，即，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點坐標是______.【答案】【解析】由題意知化簡為，所以焦點坐標為.故答案為：13.蓄有水的圓柱體茶杯，適當傾斜能得到橢圓形水面，當橢圓形水面與圓柱底面所成的二面角為30°時，則水面橢圓的離心率為_____________.【答案】【解析】設(shè)圓柱形杯子的底面半徑為，畫示意圖如圖所示：則是橢圓的長半軸長，等于橢圓的短半軸長，則，又，則故答案為：.14.如圖，在正方體中，，分別為棱和上的點，則與所成角的余弦值范圍為_____________.【答案】【解析】以為空間直角坐標原點，分別以為，，軸建系如圖，設(shè)，，設(shè)，則，①當或時，；②當且時，令，（當且僅當取等號），令，函數(shù)在為增函數(shù)，故.故，所以.綜上：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點.過定點的動直線與圓交于，兩點，為坐標原點.（1）求圓的標準方程；（2）求的最大值.解：（1）中點坐標為，，故中垂線為，即，與聯(lián)立，解得圓心點坐標為，圓的半徑，故圓（2）法一：設(shè)中點坐標為，，故點在為直徑的圓上，設(shè)中點，，，則，所以，以為直徑的圓的方程：，故，當且僅當三點共線時取等號，故.法二：①當直線的斜率不存在時，中點坐標，；②當直線斜率存在時，設(shè)直線：代入整理得：，設(shè)，則，，，，因為求的最大值，可令，代入上式可得：，當且僅當，即時取等號.易求，故.16.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率，左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，與軸交于點，且，（1）求雙曲線方程；（2）過右焦點且傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，若的中點為，為坐標原點，直線交直線于點，求的最小值.解：（1）由題意結(jié)合雙曲線的對稱性可知，得，即軸，把代入方程，可得，又，即，又，解得，，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，化簡得，設(shè)，則，，結(jié)合直線的方程得，即中