2024-2025學(xué)年安徽省縣中聯(lián)盟高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省縣中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，則9是該數(shù)列的（）A.第42項(xiàng) B.第41項(xiàng) C.第9項(xiàng) D.第8項(xiàng)【答案】B【解析】由已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，即，，，，，…，，…，則數(shù)列的第項(xiàng)為，令，解得，所以9是該數(shù)列的第41項(xiàng).故選：B.2.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)與直線垂直的直線方程是，代入點(diǎn)，得，解得，所以所求的直線方程是.故選：A3.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，則（）A.8 B.3 C.4 D.-4【答案】C【解析】因?yàn)榍芯€方程為，可知當(dāng)時(shí)，，且切線斜率為3，即，，所以.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.外切 C.外離 D.內(nèi)切【答案】C【解析】，得，則，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為，半徑，兩圓的圓心距為，滿足，所以兩個(gè)圓外離.故選：C.6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.單調(diào)減區(qū)間是 B.是極大值點(diǎn)C.沒(méi)有最大值 D.最多能有四個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】由圖可知：當(dāng)或時(shí)，f'x<0當(dāng)或時(shí)，f'x>0因此函數(shù)在和0,4上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；不是極值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；函數(shù)在處取得極大值，當(dāng)不小于函數(shù)在，上的所有函數(shù)值時(shí)，函數(shù)有最大值，C錯(cuò)誤；當(dāng)，，，且函數(shù)在，上的圖象都與軸相交時(shí)，函數(shù)在，，0,4，上各有1個(gè)零點(diǎn)，共有4個(gè)零點(diǎn)，因此最多能有四個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：D.7.在直三棱柱中,,,若點(diǎn)滿足，其中，則直線與平面所成角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別取，中點(diǎn)，，則，即平面，連接，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，，，則，，因?yàn)?，，，易知平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線與平面所成角為，，則，所以時(shí)，，即的最大值是.故選：B.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，兩點(diǎn)在拋物線上，所以可以設(shè)點(diǎn)，，則，由直線交于，兩點(diǎn)，故直線不與軸平行或重合，故可設(shè)直線解析式為，聯(lián)立，得，，所以，解得，所以直線與軸的交點(diǎn)為，由，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，且點(diǎn)不與點(diǎn)重合，故可知的軌跡方程為：（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)），所以，，即.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A. B.是的一個(gè)極值點(diǎn)C.在上的平均變化率為1 D.在處的瞬時(shí)變化率為2【答案】BD【解析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，由，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且時(shí)，f'x>0，時(shí)，f'x<0，故由在上的平均變化率為，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：BD.10.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線的距離之比為定值，則（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.C.D.若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題意，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A正確；對(duì)于BC，設(shè)Px0,y0所以，所以恒成立，可得且，且，顯然，解得，，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，由，解得，或，所以交點(diǎn)為，，則，D正確.故選：ACD.11.如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直,且,為內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界）,過(guò)分別作平面、平面、平面的垂線，垂足分別為，，.則（）A.直線與直線是異面直線B.為定值C.三棱錐的外接球表面積的最小值為D.當(dāng)時(shí)，平面與平面的夾角為【答案】BC【解析】對(duì)于B，設(shè)，，，由題意，即，所以，即為定值，故B正確；對(duì)于C，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，由題意可知，，兩兩垂直，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，即的最小值為，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，故C正確；對(duì)于D，如圖，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，,因?yàn)椋?，此時(shí)，為的中心，，，，因?yàn)椋?，平面，所以平面，?即為平面的一個(gè)法向量，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，，則，所以平面與平面夾角的余弦值為，故D錯(cuò)誤；由D可知，當(dāng)為的中心時(shí)，，則，所以，所以直線與直線共面，故A錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，若，則______.【答案】【解析】由，得，所以.故答案為：.13.已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，，可得，，兩式相減可得，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，且直線，可得，，，即有，即，，，故雙曲線的離心率為.故答案為：2.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,若對(duì)任意實(shí)數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【解析】令，則，由題意可得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，由，則，即，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，則不等式可化為，即，即，則有，即，即，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程.解：（1）線段的中點(diǎn)2,1，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，，因此圓的圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)到直線的距離為2，即直線與圓相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得，因此方程為，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.解：（1）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)闀r(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），所以.因?yàn)?，所以，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，所以，所以.17.已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為2，3.（1）求，的值，并求出函數(shù)的極值；（2）已知，求證：不等式在上恒成立.解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為2，3，所以解得此時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f當(dāng)時(shí)，f'x故函數(shù)在0,2，上單調(diào)遞增，在2,3上單調(diào)遞減，滿足的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為2，3，極大值點(diǎn)為2，極小值點(diǎn)為3，所以函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）等價(jià)于，即，令，則，若，則h'x>0恒成立，hx所以；若，令，得，當(dāng)時(shí)，h'x當(dāng)時(shí)，h'x故hx上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以hx極小值為，也是最小值.令，，則，所以在上單調(diào)遞減，.綜上所述，在x∈0,+∞即不等式在x∈0,+∞上恒成立18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，，且.（1）求的方程；（2）若點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，直線交于另外一點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.①記，的面積分別為，，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若直線交于另外一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意知解得，，所以的方程為.（2）由題意可知，A-2,0，，設(shè)，因?yàn)橹本€交于另外一點(diǎn)（不同于點(diǎn)），所以，又雙曲線的漸近線為，故，解得，所以直線，即，由，消得，所以，解得，所以.①因?yàn)?，，又，所以，解得或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.②直線，即，由，消得，，即，所以，解得，所以，所以直線斜率，所以直線的方程為，令，得，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，即，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以是定值，且定值為.安徽省縣中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，則9是該數(shù)列的（）A.第42項(xiàng) B.第41項(xiàng) C.第9項(xiàng) D.第8項(xiàng)【答案】B【解析】由已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，即，，，，，…，，…，則數(shù)列的第項(xiàng)為，令，解得，所以9是該數(shù)列的第41項(xiàng).故選：B.2.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)與直線垂直的直線方程是，代入點(diǎn)，得，解得，所以所求的直線方程是.故選：A3.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，則（）A.8 B.3 C.4 D.-4【答案】C【解析】因?yàn)榍芯€方程為，可知當(dāng)時(shí)，，且切線斜率為3，即，，所以.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.外切 C.外離 D.內(nèi)切【答案】C【解析】，得，則，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為，半徑，兩圓的圓心距為，滿足，所以兩個(gè)圓外離.故選：C.6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.單調(diào)減區(qū)間是 B.是極大值點(diǎn)C.沒(méi)有最大值 D.最多能有四個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】由圖可知：當(dāng)或時(shí)，f'x<0當(dāng)或時(shí)，f'x>0因此函數(shù)在和0,4上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；不是極值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；函數(shù)在處取得極大值，當(dāng)不小于函數(shù)在，上的所有函數(shù)值時(shí)，函數(shù)有最大值，C錯(cuò)誤；當(dāng)，，，且函數(shù)在，上的圖象都與軸相交時(shí)，函數(shù)在，，0,4，上各有1個(gè)零點(diǎn)，共有4個(gè)零點(diǎn)，因此最多能有四個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：D.7.在直三棱柱中,,,若點(diǎn)滿足，其中，則直線與平面所成角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別取，中點(diǎn)，，則，即平面，連接，因?yàn)椋?，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，，，則，，因?yàn)?，，，易知平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線與平面所成角為，，則，所以時(shí)，，即的最大值是.故選：B.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，兩點(diǎn)在拋物線上，所以可以設(shè)點(diǎn)，，則，由直線交于，兩點(diǎn)，故直線不與軸平行或重合，故可設(shè)直線解析式為，聯(lián)立，得，，所以，解得，所以直線與軸的交點(diǎn)為，由，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，且點(diǎn)不與點(diǎn)重合，故可知的軌跡方程為：（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)），所以，，即.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A. B.是的一個(gè)極值點(diǎn)C.在上的平均變化率為1 D.在處的瞬時(shí)變化率為2【答案】BD【解析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，由，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且時(shí)，f'x>0，時(shí)，f'x<0，故由在上的平均變化率為，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：BD.10.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線的距離之比為定值，則（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.C.D.若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題意，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A正確；對(duì)于BC，設(shè)Px0,y0所以，所以恒成立，可得且，且，顯然，解得，，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，由，解得，或，所以交點(diǎn)為，，則，D正確.故選：ACD.11.如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直,且,為內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界）,過(guò)分別作平面、平面、平面的垂線，垂足分別為，，.則（）A.直線與直線是異面直線B.為定值C.三棱錐的外接球表面積的最小值為D.當(dāng)時(shí)，平面與平面的夾角為【答案】BC【解析】對(duì)于B，設(shè)，，，由題意，即，所以，即為定值，故B正確；對(duì)于C，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，由題意可知，，兩兩垂直，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，即的最小值為，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，故C正確；對(duì)于D，如圖，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，,因?yàn)椋?，此時(shí)，為的中心，，，，因?yàn)?，，平面，所以平面，?即為平面的一個(gè)法向量，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，，則，所以平面與平面夾角的余弦值為，故D錯(cuò)誤；由D可知，當(dāng)為的中心時(shí)，，則，所以，所以直線與直線共面，故A錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，若，則______.【答案】【解析】由，得，所以.故答案為：.13.已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，，可得，，兩式相減可得，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，且直線，可得，，，即有，即，，，故雙曲線的離心率為.故答案為：2.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,若對(duì)任意實(shí)數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【解析】令，則，由題意可得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，由，則，即，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，則不等式可化為，即，即，則有，即，即，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程.解：（1）線段的中點(diǎn)2,1，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，，因此圓的圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)到直線的距離為2，即直線與圓相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得，因此方程為，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.解：